1、第三章 复变函数的积分,工程数学-复变函数,1 复变函数积分的概念,1. 积分的定义,定义,和在局部弧段上任意取点,极限,为A终点为B的一条光滑的有向曲线.,设函数w =f (z)定义在区域D内,都存在且唯一，,则称此极限为函数,沿曲线弧C的积分.,若对C 的任意分割,C为在区域D内起点,工程数学-复变函数,关于定义的说明:,工程数学-复变函数,2.积分的性质,工程数学-复变函数,例1.,证明:,证明,其中 C 为正向圆周：,利用积分估值性质，有,工程数学-复变函数,2.积分存在的条件及计算法,定理:,C 的参数方程为,则曲线积分存在, 且有,连续,工程数学-复变函数,例2.,解:,计算,的正
2、向圆周， 为整数.,其中 C 为以 中心，为半径,工程数学-复变函数,例3.,解:,(1) 积分路径的参数方程为,计算,其中C为:,(1) 从原点到点1+i的直线段;,(2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;,y=x,工程数学-复变函数,y=x,(2) 积分路径由两段直线段构成,x 轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,工程数学-复变函数,例4.,解:,(1) 积分路径的参数方程为,计算,其中C为:,(1) 从原点到点1+i的直线段;,(2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;,y=x,工程数学-复变函数,y=x,(2) 积分路径由两段直线段构成,x
3、轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,工程数学-复变函数,2 柯西定理,B 内处处解析,定理1,任何一条封闭曲线 C 的积分,则 f (z) 在B内,(黎曼证明，把条件加强：假设 连续 .),证明：,假设在单连通域 B 内,解析,连续.,1.柯西定理,如果函数 f (z) 在单连通域,为零:,工程数学-复变函数,因为,所以,在B 内连续，,且满足C-R条件.,任取B内闭曲线C,则积分,由格林公式得,所以,工程数学-复变函数,函数 f (z)处处解析,定理2,在单连通域 B 内，,与路径无关.,函数 f (z),定理3,B为C的内部，,C 为一条封闭曲线,在B内解析，,在 上连续
4、，,则,工程数学-复变函数,解：,由柯西定理, 有,计算积分,例1.,因为函数,在,内解析，,工程数学-复变函数,解：,由柯西定理, 有,计算积分,因为函数,都在,上解析，,例2.,和,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,2. 原函数与不定积分,如果函数 f (z)在单连通域,定理4,与路径无关.,B 内处处解析,则积分,定理5,处处解析,如果 f (z)在单连通域B内,则函数,F (z) = f (z),必为B内的一个解析函数, 并且,工程数学-复变函数,利用导数的定义来证.,证：,由于积分与路线无关,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,由积分的估值性质,工程数学-复变函数,证毕,工
5、程数学-复变函数,定义1,如果在区域 B 内,在区域 B 内的原函数.,F (z) = f (z) ,则称 F(z) 为 f (z),在区域 B上的原函数全体,不定积分,记作,定义2,定理6,如果 f (z) 在单连通域 B 内处处解析,的一个原函数, 则,这里z0, z1为域 B 内的两点.,G(z)为 f (z),工程数学-复变函数,例3.,解:,计算积分,工程数学-复变函数,3.复合闭路定理,定理7,是在 C 内部的简单闭曲线, 且,设C为多连通域 D 内的,互不包含也互不相交, 另外以,C, C1, C2, . , Cn 为边界的区域,如果 f (z) 在D内解析, 则,一条简单闭曲线
6、, C1, C2, . , Cn,全含于D.,工程数学-复变函数,证明：,这样区域D就被分为D1和D2两,考虑只有两条围线C0, C1 的情况.,区域，,作辅助线段L1和L2连接 C0,和C1，,域,而且 f (z) 在 内解析,由柯西积分定理，有,所以,显然D1和D2都是单连通,工程数学-复变函数,所以,即,或,工程数学-复变函数,例4.,解:,计算,的正向简单闭曲线.,包含圆周,为奇点.,在C内作互不相交，互不包含的,只包含,只包含,其中 C 为,圆周,由复合闭路定理，得,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,例5.,解:,计算,其中 C 为,正向圆周：,工程数学-复变函数,解:,圆环域
7、的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例6.,计算积分,其中 为正向圆周,和负向圆周 组成.,工程数学-复变函数,3 柯西公式,温故而知新,B 内处处解析,任何一条封闭曲线 C 的积分,则 f (z) 在B内,如果函数 f (z) 在单连通域,为零:,工程数学-复变函数,思考,？,3 柯西公式,工程数学-复变函数,3 柯西公式,定理1,如果 f (z) 在区域 D 内处处解析,C 为 D 内的任何一条正向简单,闭曲线,它的内部完全含于 D,z0为 C 内的任一点, 则,1.柯西公式,工程数学-复变函数,证明：,当,时，,由于f (z) 在 连续，,所以,在C内部作圆周,那么,工程数学-复变
8、函数,而,即,所以,工程数学-复变函数,注：,1）柯西公式常写作,2）,平均值公式,工程数学-复变函数,例1.,解:,计算,其中 C 为,(1)正向圆周：,(3)正向圆周：,(2)正向圆周：,(1),(2),(3),工程数学-复变函数,求下列积分的值.,解：,例2.,工程数学-复变函数,(2) 注意到函数,工程数学-复变函数,故得到,设,例3.,根据柯西积分公式，得到,解：,求,工程数学-复变函数,2. 解析函数的高阶导数,解析函数 f (z)的导数仍为解析函数,其中 C 为在 f (z) 的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向,简单曲线, 而且它的内部全含于D.,定理2,它的n阶导数为:,
9、注：高阶导数公式常写成如下形式,工程数学-复变函数,例4.,解:,计算,的正向闭曲线.,其中 C 为绕,工程数学-复变函数,例5.,解:,计算,在 内有奇点：,作圆周,于是,工程数学-复变函数,所以,工程数学-复变函数,4 解析函数与调和函数的关系,定义1,导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程,若 为解析函数，,定理1,则其实部 u,和虚部 v 都是调和函数.,设 f (z)=u+iv 在区域D内解析,则由C.-R.条件,证：,工程数学-复变函数,得,同理,即u及v都是D内的调和函数.,因 与 D内连续，,它们 必定相等，,故在D内有,工程数学-复变函数,定义2,定理2,设,则 v(x,
10、y)必为 u(x,y),的共轭调和函数.,u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R.,条件：,则称 v(x,y) 为 u(x,y),的共轭调和函数.,是区域 D 的解析函数，,工程数学-复变函数,例1.,解:,已知,是右半复平面的调和函数，,求调和函数 u，使 u 的共轭调和函数是 v.,由C-R方程，得,工程数学-复变函数,例2.,解:,已知,验证u是调和函数，,并求以 u,为实部的解析函数 f (z), 使 f (0) = i.,因为,所以u是调和函数.,又 f (0) = i ，,所以,工程数学-复变函数,ch3 复变函数积分,一、知识要点,1. 复积分基本计算法,曲线
11、C:,工程数学-复变函数,2. 柯西-古萨基本定理,函数 f (z)处处解析.,在单连通域 B 内，,与路径无关.,1),其中C是 B 任意一条简单封闭曲线.,2),解析, 并且,3),4),工程数学-复变函数,3.复合闭路定理,工程数学-复变函数,4. 柯西积分公式,工程数学-复变函数,5.调和函数,1). 调和函数,2).共轭调和函数,若 为解析函数，,3).,则其虚部 v,是实部 u 的共轭调和函数.,工程数学-复变函数,二、典型例题,解:,分以下四种情况讨论：,例1.,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,解法一 不定积分法 利用柯西黎曼方程,例2.,工程数学-复变函数,因而得到解析函数,（C是任意实数）,工程数学-复变函数,解法二 线积分法,因而得到解析函数,（C是任意实数）,工程数学-复变函数,解法三 全微分法,（C是任意实数）,工程数学-复变函数,解法四,所以有,那么,工程数学-复变函数,所以,也就是,（C2是任意实数）,
