1、2015 届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合 ，则21|log,1|,2UyxPyxUCPA B C D (0,)2(0,),)1(,0),)2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A B C D xytanyx3yx3logyx3、已知复数 满足 (其中 i 为虚数单位)，则 的虚部为z2015()izzA B C D 12 12i4、等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ，则anS32175,a5aA B C D 125、设变量
2、满足约束条件 ，则目标,xy13xy函数 的最小值为23zA6 B7 C8 D23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是 8 的概率为A B C D 5316215127、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D4 1053038、执行右下方的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 的值为NSA B 2411232C D 135459、在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则(sin,co)8Psin(2)1A B C D 3232210、在四面体 S-ABC 中， 平面 ，SA,10,1BASACB则该四面体的外接球的表面积为A B C
3、D 1734311、已知 F 是抛物线 的焦点，直线 与该抛物线交于第一象限24xy1ykx内的零点 ，若 ，则 的值是,3AFA B C D 3232312、设函数 ，记21,(),01,9ifxfxa 1021|()|()|kkkkSfaffaf，则下列结论正确的是998|()()|1kkaA B C D 12S2S1212S第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。.13、已知向量 ，且 与 共线，则 x 的值为 (2,1)(,)abxab14、已知 ，则 8 2801(1)x 7a15、设点 P、Q 分别是曲线 是自然对数的底数）和直线
4、 上的动点，则 P、Q 两(xye 3yx点间距离的最小值为 16、在平面直角坐标系中有一点列 对 ，点 在函数12(,)(,),(),nPabPab nNn的图象上，又点 构成等腰三角形，且(01)xya100nnAAnnPA若对 ，以 为边长能构成一个三角形，则 的取值范围是 nN12,nb a三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、 （本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且满足ABC, ,abccos(2)cos()AaB（1）求角 B 的大小；（2）若 的面积为 ，求 的值。4,b318、 （本小题满分 12 分）4 月
5、 23 人是“世界读书日” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜” ，低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面 的列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为“读书谜”与性别2有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人中的“读书谜”的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求
6、 X 的分布列，期望 E（X）和方程 D（X）19、 （本小题满分 12 分）已知 平面 。PA,4,1BCDABDCAPB（1）求证： 平面 ；P（2）M 为线段 CP 上的点，当 时，求二面角 的余弦值。MM20、 （本小题满分 12 分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 。2:1(0)xyCab3(1,)232（1）求椭圆 的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交 y 轴于点lC,AB，若 ，求直线 的方程。(0,)3P1cos3APBl21、 （本小题满分 12 分）已知函数 是自然对数的底数， 。2,(xfeae)aR（1）求函数 的单调递增区间；（2
7、）若 为整数， ，且当 时， 恒成立，其中 为 的导函数，k1a0x1kxffxf求 的最大值。请考生在第（22） 、 （23） （24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22、 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图： 的直径 的延长线于弦 CD 的延长线相交于OAB点 P，E 为 上一点， 交 于点 F。A,ECDAB（1）求证： 四点共圆；,F（2）求证： .P23、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程 为参数） ，以坐标原点
8、为极点， 轴xOyl12(3xty x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： 。4cos（1）直线 的参数方程化为极坐标方程；l（2）求直线 的曲线 交点的极坐标（ ）0,224、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 。21(0),2fxaxgx（1）当 时，求不等式 的解集；f（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。fxga2015 年石家庄市高三数学二模（理科答案）1、选择题：1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB2、填空题：13. 14. 15 16. 823125a三、解答题：17.解: （） cos()cosbAaBQ1 分cos(
9、2)bB3 分incs(2ins)cCA()oA 5 分1cos2B 6 分3() 由 得 a c48 分.=sinABCSac由余弦定理得 b2a 2c 2+ac 10 分216(+)c ac 12 分518解（1）完成下面的 列联表如下非读书迷 读书迷 合计男 40 15 55女 20 25 45合计 60 40 100 3 分8.2492210(4510)6K8.249 6.635，故有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关。.6 分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率为 . 由题意可知52XB（3， ） ，P(x=i)= （i=0，1，2，3）8 分5
10、332()5ii从而分布列为X 0 1 2 3P 1257453618 10 分E(x)=np= (或 0.6)，D(x)=np(1-p）= (或 0.72) 12 分621819.（1）证明：因为 PA平面 ABCD，PA 平面 ADP，所以平面 ADP平面 ABCD. 2 分又因为平面 ADP平面 ABCD=AD，CDAD，所以 CD平面 ADP. 4 分（2）AD，AP，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则 A（0，0，0） ，B（0，0，1） ，C（4，0，4） ，P（0，4，0） ，则 ，)1,0(AB， ， .),(),(4PC6 分设 M（x, y , z), ，则)10(
11、.)4(zxP所以 ， ，),(y)4,(4zyx， .),4,(M)1,(BMz x y 因为 BMAC，所以 ， ，解得 ，0ACBM)14,(0,(81所以 M ，. 8 分21,7设 为平面 ABM 的法向量，),(11zyxn则 ，又因为 ，01AB)1,0(ABM21,7所以 .2171zyxz令 得 为平面 ABM 的一个法向量.1)0,(1n又因为 AP平面 ABC，所以 为平面 ABC 的一个法向量.10 分),4(2，|,cos2121nn1054所以二面角 CABM 的余弦值为 .12 分法 2： 在平面 ABCD 内过点 B 作 BHAC 于 H，在平面 ACP 内过点
12、 H 作 HMAP 交 PC 于点 M，连接 MB 6 分，因为 AP平面 ABCD，所以 HM平面 ABCD.又因为 AC 平面 ABCD，所以 HMAC.又 BHHM=H, BH 平面 BHM，HM 平面 BHM，所以 AC平面 BHM.所以 ACBM，点 M 即为所求点. 8 分在直角 中，AH= ，ABH2AB又 AC= ，所以 .42DC81CH又 HMAP，所以在 中， .ACP81M在平面 PCD 内过点 M 作 MNCD 交 DP 于点 N，则在 中， .PCD81N因为 ABCD，所以 MNBA.连接 AN，由（1）知 CD平面 ADP，所以 AB平面 ADP.所以 ABAD
13、，ABAN.所以DAN 为二面角 CABM 的平面角.10 分在 中，过点 N 作 NSPA 交 DA 于 S，则 ，PAD81AD所以 AS= ， ，所以 NA= .21278PAS25所以 . 10coscsNS所以二面角 CABM 的余弦值为 . 12 分220解：（）由题意得 ，解得 ， 23=14cab=2a1b所以椭圆 的方程是 4 分Cxy（）设直线 的方程设为 ，设 ，lkt12(,)(,)AxyB联立 消去 得214ykxty22(4)840kt则有 ， ，1228ktx214txk由 ；04t 6 分1212122()4tykxkxk设 的中点为 ，则 ，,AB,Dmn11
14、224ytnk因为直线 于直线 垂直，所以 得 8 分PDl 13PDnkm2149tk204190ktt因为 所以 ,21coscos3AB 3cosAPtan2APD所以 ，由点到直线距离公式和弦长公式可得 ，2PD 21tk222 211 28441ttABkxxk10 分224tk由 和 解得22214231tABPDtk2149tk，19,0t直线 的方程为 或 . 12 分lyx21yx解法二（）设直线 的斜率为 ，设 ， 的中点为 ，lk12(,)(,)AB,A0,Dxy所以 ， ，12ykx120x10y由题意 ，212()4xy式 式得(1)1212121204xyy1212
15、04yyxx014ykx又因为直线 与直线 垂直，所以PDl031kxA由 解得 6 分00143ykxA0194yxk因为 所以 ,21coscos3PBD 3cosAPDtan2APD所以 ， 8 分2AD222 200014139Pxyxk设直线 的方程设为 ，l200kyx联立 消去 得22419kyxy22284141() 099kkxx， ，12089xk2122419kx由 2222 211 2419849kkABkxx10 分2280194k，解得 ，满足 .221289ABkPD2k20k，由 得直线 的方程为 或 . 12 分 24kyxl1yx1yx21.解析：（1） .
16、Rxaef,)(/若 ，则 恒成立，所以， 在区间 上单调递增.2 分0a0/x)(f,若 ，当 时， ， 在 上单调递增.,ln0/xflna综上，当 时， 的增区间为 ；当 时， 的增区间为 .)(xf,0)(xf,lna. 4 分 （2）由于 ，所以，1a()1()1xkfkex当 时， ，故 6 分 0x0xexxe令 ，则()1xg.1)2(12/ xxeg函数 在 上单调递增，而2)(eh,0.0)(,)h所以 在 上存在唯一的零点，x,故 在 上存在唯一的零点. .8 分)(/g设此零点为 ，则 .2,1当 时， ；当 时， ；,0x0)(/xg,0)(/xg所以， 在 上的最小
17、值为 .由 可得 )(, )(,/,2e10 分 所以， 由于式等价于 .3,21)(g )(gk故整数 的最大值为 2. .12 分k22解析：（1）连接 ， ，OCE因为 ，所以 ，.2 分AE12ACOE又因为 ，12D则 ，所以 四点共圆.5 分,OCF（2）因为 和 是 的两条割线，PBAOA所以 ，7 分D因为 四点共圆,CF所以 ，又因为 ，PDPFC则 ，O所以 ，即DCA则 .10 分FBA23解析：（1）将直线 （ 为参数）消去参数 ，化为普通方程 ，:l123xtyt320xy2 分将 代入 得 .4 分cosinxy320xy3cosin230（2）方法一： 的普通方程为 .6 分C4x由 解得： 或 8 分2304xy13yy所以 与 交点的极坐标分别为： ， .10 分l 5(2,)(,)6方法二：由 ，6 分3cosin04得： ，又因为 8 分sin(2)0,2所以 或25336所以 与 交点的极坐标分别为： ， .10 分lC5(2,)3(,)624解析：（1）当 时，1a|1|2xx无解，24x，11022+xx3 分34xx综上，不等式的解集为 .5 分20（2） ，转化为|21|xax|21|0xax令 ，()|2h因为 a0,所以 ， 8 分153,()21,xahxx在 a0 下易得 ,令 得 10 分min()2ah0,a2.
