1、 数学 5 第一章 解三角形第 1 课时课题: 111 正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考： C 的大
2、小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C .讲授新课探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , sinaAcibBsin1cCA则 b ciiic从而在直角三角形 ABC 中， C a BsinisinabcAB(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、
3、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC从而 A c BsiniabABsincC(图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作 ， Cj由向量的加法可得 BC则 A B()jj jAjjB j00cos9cos9jC ，即iniasinaA同理，过点 C 作 ，可得 jBibcB从而 siisiC类似可推出，当 ABC 是钝角三
4、角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsinc理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；iaikickC（2） 等价于 ， ，sinibABsincCsiinabsiincbBsiaAincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解
5、三角形。例题分析例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.8；06.2根据正弦定理，；0sin4.9si81()3aBbcmA根据正弦定理， 0si2.si6.74.()nCc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，AB2a8b04A01边长精确到 1cm）。解：根据正弦定理， 0sin8i4i .92ba因为 ，所以 ，或0B016B016. 当 时，64，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B，008()8(
6、41)24A0sin2i3.aCcc评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。补充练习 已知 ABC 中， ，求sin:isi1:23ABC:abc（答案：1：2：3）.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；siiabsic0insiinkABC或 ， ，sinakAbkBkC(0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。第 2 课时课题: 1.1.2 余弦定理教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。教学重点余弦定理的发
7、现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程.课题导入 C如图 11-4，在 ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C，求边 c b aA c B(图 11-4).讲授新课探索研究用正弦定理试求，发现因 A、 B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 11-5，设 ， ， ，那么 ，则 CababbcC B 22 c a从而 (图 11-5)2cosabC同理可证 2AB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
8、。即 22cosabABcC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：22cosbaAcB22cosbaC理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例
9、 1在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A23a62c0B解： 22cosbaB= cos2(3)6)() 045=12431)=8 .b求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos22222()6)(31,cab 06.解法二：sin 023sinsi45,AB又 2.41.8,3.6, ，即 ac0A09, 6.A评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形134.6acm87.bc16.7cm解：由余弦定理的推论得：cos22bc22287.16.34.705,；Acos22cabB2134.6.78.1089,；25001
10、()(5623)CAB补充练习 在 ABC 中，若 ，求角 A（答案： A=120 ）abc0.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。第 3 课时课题: 1 13 解三角形的进一步讨论教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三
11、角形的有关性质的综合运用。教学过程.课题导入思考：在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形。2acm5b013A.讲授新课探索研究例 1在 ABC 中，已知 ，讨论三角形解的情况,abA分析：先由 可进一步求出 B；siniB则 08()C从而 sinacA1当 A 为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。ab2当 A 为锐角时，如果 ，那么只有一解；b如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：a（1）若 ，则有两解；sin（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解。i（以上解答过程详见课本第 9 10 页）:评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且时
12、，有两解；其它情况时则只有一解或无解。sinbAa随堂练习 1（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。80a1b045A（2）在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个。2c0C（3）在 ABC 中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，axmb45B求 x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）2x例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，判断 ABC 的类型。7a5b3c分析：由余弦定理可知 22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角c是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角 是 锐
13、 角 三 角 形解： ，即 ，227532ab 。ABC是 钝 角 三 角 形随堂练习 2（1）在 ABC 中，已知 ，判断 ABC 的类型。 sin:isi1:23ABC（2）已知 ABC 满足条件 ，判断 ABC 的类型。 cosab（答案：（1） ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）ABC是 钝 角 三 角 形例 3在 ABC 中， ， ，面积为 ，求 的值061b3sinisinabcABC分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理11sinisin22SabCcbsiniabABsincCiiicAB解：由 得 ，132S则 =3，即 ，2coaba从而 sinisinABC2iA.
14、课堂练习（1）在 ABC 中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角 C5a16b203S（2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 ，求角 C 224abc（答案：（1） 或 ；（2） ）061045.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。.课后作业（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。4b10c03B（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。（3）在 ABC 中， ， ， ，判断 ABC 的形状。06A1a2
15、bc（4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 的根，25760x求这个三角形的面积。第 4 课时课题: 2.2 解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程.课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知
16、和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解(2)例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= ， ACB= 。5175求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)启发提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦
17、定理算出 AB 边。解：根据正弦定理，得= ACBsinACsinAB = B= sin5= )7180(= 54sin 65.7(m)答:A、B 两点间的距离为 65.7 米变式练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东30 ，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。解略： a km2例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确
18、定 C、 D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得BCA= ，ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理得AC = = )(180sina)sin(aBC = = i计算出 AC 和 BC 后，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离AB = cos22BCAC分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距 40
19、 米的 C、D 两点，测得BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA =60略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）
20、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课题: 2.2 解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学过程.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课范例讲解例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。分析：求
21、 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是 、 ，CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在 ACD 中，根据正 弦定理可得AC = )sin(AB = AE + h= AC + hi= + h)sn(a例 4、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 =54 ，在塔底 C 处测得 A04处的俯角 =50 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 C
22、D(精确到 1 m)1师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在 ABD 中求CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出 BD 边。师：那如何求 BD 边呢？生：可首先求出 AB 边，再根据 BAD= 求得。解:在 ABC 中, BCA=90 + , ABC =90 - , BAC= - , BAD = .根据正弦定理,= )sin(BC)90si(A所以 AB = =)sin()sin(coBC解 Rt ABD 中,得 BD =ABsin BAD=)si(将测量数据代入上式,得BD = )1504sin(ico3.27= 93si.177 (m)CD =BD -BC
23、177-27.3=150(m)答:山的高度约为 150 米.师：有没有别的解法呢？例 5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度 CD.师：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在 BCD 中师：在 BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件 ,易计算出哪条边的长？生：BC 边解:在 ABC 中, A=15 , C= 25 -15 =10 ,根据正弦定理 ,= ,ABCsinBC = =is10in5
24、 7.4524(km)CD=BC tan DBCBC tan8 1047(m)答:山的高度约为 1047 米.课后作业1、 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30，测得塔基 B 的俯角为 45 ，则塔 AB 的高度为多少 m？ 答案：20+ (m)320课题: 2.2 解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程.课题导入范例讲解例 6、如图，一艘海轮从 A
25、 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角ABC，即可用余弦定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角CAB。解：在 ABC 中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，AC= ABCAB
26、Ccos22= 1370.54670.54.67113.15根据正弦定理, = CABsinsinsin CAB = = 0.3255,15.3704所以 CAB =19.0 ,75 - CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mile补充例 1、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ，再继续前进 10 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4 ，3求 的大小和建筑物 AE 的高。师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思
27、考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD 中，AC=BC=30， AD=DC=10 ，3ADC =180 -4 ，= 。2sin10)48i(0因为 sin4 =2sin2 cos2cos2 = ,得 2 =303=15 ，在 Rt ADE 中，AE=ADsin60 =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h在 Rt ACE 中,(10 + x) + h =30322在 Rt ADE 中,x +h =(10 )2两式相减，得 x=5 ,h=153在 Rt A
28、CE 中,tan2 = =xh1032 =30 , =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得BAC= ， CAD=2 ，AC = BC =30m , AD = CD =10 m3在 Rt ACE 中，sin2 = - 0x在 Rt ADE 中，sin4 = , - 314 得 cos2 = ,2 =30 , =15 ，AE=ADsin60 =152答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m补充例 2、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东75 的方向以 10 海里/小时的速度向
29、我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB= + = 754120(14x) = 9 + (10x) -2 9 10xcos2120化简得 32x -30x-27=0，即 x= ,或 x=- (舍去)369所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 si
30、n BAC = = =ABC120sin5143BAC =38 ,或 BAC =141 （钝角不合题意，舍去），3 738 + =831451答：巡逻艇应该沿北偏东 83 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.3.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业2、我舰在敌岛 A 南偏西 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 的方向以 1050 10海里/小时的速度航行.问
31、我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）第 7 课时课题: 2.2 解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教学过程.课题导入创设情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h 、h 、h ，那么它们如何用已知边abc和角表示？生：h =bsinC=csinBah =cs
32、inA=asinCbh =asinB=bsinaAc师：根据以前学过的三角形面积公式 S= ah,应用以上求出的高的公式如 h =bsinC 代入，21a可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB2121师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.讲授新课范例讲解例 7、在 ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm ） 2（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.
33、5 ;（2）已知 B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用 S= acsinB，得21S= 14.8 23.5 sin148.5 90.9(cm )2(2)根据正弦定理，= BbsinCcsic = S = bcsinA = b212BAsinA = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=5
34、1.5S = 3.16 4.0(cm )2127.62sin5182(3)根据余弦定理的推论，得cosB = cab2= 4.1738.20.7697sinB = 0.6384B2cos12697.0应用 S= acsinB，得S 41.4 38.7 0.6384511.4(cm )22例 8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm ）？2师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
35、由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= cab2= 0.7532681272sinB= 0.657853.0应用 S= acsinB 2S 68 127 0.65782840.38(m )12答：这个区域的面积是 2840.38m 。2例 3、在 ABC 中，求证：（1） ;sin22CBAcba（2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设= = = kAasinBb
36、iCcsin显然 k 0，所以左边= kBAc222sin= =右边CB2sin（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc +ca +ab )bca2cab2abc2=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边22变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 ,求 a 及 ABC 的面积 S3提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9 ;a=12,S=1833变式练习 2：判断满足下列条件的三角形形状，（1） acosA = bcosB（2） sinC = BAcosini提示：利用正弦
37、定理或余弦定理，“化边为角”或“ 化角为边 ”（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生 1：（余弦定理）得a =bbca2cab2c =4)()(2222a或根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生 2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A与 2B 两个角互补，即 2A+2B=180 ，A+B=90(2)（解略）直角三
38、角形第 8 课时(复习课)一教学重点1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。2. 根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三角形的问题。二教学难点：正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题。进行边角转化三教学过程1.本章知识结构框图用正弦定理解三角形知两角及一边解三角形知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）解三角形的应用举例两
39、点间距离的测量物体高度的测量角度的测量BD CA2、例题讲解：例 1在 中，已知 ， ， 。试求最长边的长度。ABC4560C1c例 2在 中，已知 ，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的ABC:3:72abc和。例 3如图，我炮兵阵地位于 A 处，两观察所分别设于 C、D，已知 为边长等于 aABC的正三角形，当目标出现于 B 时，测得 ， ，试求炮击目标的距45B75离 AB。三、巩固练习1在 中， 试试判断此角形的形状并求出最小角。ABCsin:si3:24BC用余弦定理知道两边及这两边的夹角解三解形知三边求三角2在 中，a,b,c 分别是 ， ， 的对边，且ABCABCcos2BbCac（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的值。B13,4baca3a,b,c 分别是 的三边，若 ，则角 为- 度。ABC223acbacB4测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在 A 处测得塔顶 C 的仰角，再前进 20 米到 B 点，这时测得 C 的仰角为 ，试求此塔的高度 CD。0 60
