1、三角形易错点 8：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.易错题 9：如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上， BC1， CE3， H 是AF 的中点，则 CH 的长为 （ ）A.2.5 B. 5 C. 32 D.2HGFEBCDA错解：D正解：B赏析：本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解. 正确的解法是：如图，连接 AC、 CF，在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC1， CE3，由勾股定理或三角函数可得
2、AC 2， CF 3 ，又 ACD FCG45， ACF90，在 Rt ACF 中，由勾股定理，得 AF2ACF 22()3)2 5，又 H 是 AF 的中点， CH 1AF 2 5 .不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一. HGFEBCDA易错点 9：勾股定理及其逆定理的综合应用，在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.易错题 10：如图，矩形 ABCD 中， AB3，BC4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把 B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处，当 CEB为直角三角形时， BE 的长为_. BEBCDA错解：3正解：3 或 2 赏析：本题只
3、考虑了 B EC90的一种情况而造成错解.本题应分三种情况讨论求解：当 B EC90时，如图 1， BEB90，又由折叠可得 BEA B EA, BEA B EA45， ABE、 AB E 均为等腰直角三角形，四边形 ABEB为正方形，点 B落在 AD 上， BE 3；当 EB C90时，如图2，由折叠可得 B AB E90，点 B恰好落在 AC 上， AB AB3，在 RtABC 中，由勾股定理得 AC 2AC 2345， CB AC AB532，由折叠得 BE B E,设 BE B E x，则 EC BC BE4 x，在 Rt EB C 中，由勾股定理得 x22 2(4 x)2，解得 x
4、BE；当 ECB90时，则点 B落在 CD 上，则 BCA B CA45，这与已知四边形 ABCD 为矩形相矛盾， 此种情况不存在.故 BE 的长为 3 或 . BEBCDA图1BEBCDA图2易错点 11：锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.易错题 12：如图是以 ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作CD AB 于点 D.已知 cos ACD 35， BC4，则 AC 的长为 （ ）A.1 B. 20 C.3 D.163BCDAO错解：B正解：D赏析：本题主要对锐角的三种三角函数正弦、余弦及正切的概念理解不清造成错解.如图，在 Rt A
5、BC 中， C90， AB c， AC b， BC a，则 sinA c，cos A b，tan Aab. cbaBCA本题正确的解法是： AB 是半圆 O 的直径， ACB90，又 CD AB， A ACD90， A B90， ACD B，cos ACDcos B 35,在 Rt ABC 中，cos B CA， 4 35，解得 AB 203，在 Rt ABC 中，由勾股定理得AC 2AC 2043（ ） 16.（也可用 B 的正弦或正切求解）易错点 12：解直角三角形的应用，特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.易错题 13：为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟
6、停车位，每个车位是长 5 米，宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出_个这样的停车位.（ 21.4） 56图错解：18正解：17赏析：本题可能对题意没有理解清楚，不知怎样求每个车位所占路段长而导致错解，也可能是计算出错导致错解.正确的解法是：首先计算右侧第一个车位所占路段长：如图 1，由题意，得 ACB、EDB 均为等腰直角三角形，在 EDB 中，cos EBD BDE, BD BE cos EBD2.2 21.11.41.54，同理， CB AB cos ABC5 2.51.43.5， CD CB BD1.54 3.55.04（米），即第一个车位所占路段
7、长；再计算每增加一个车位所需路段长：如图 2，由题意，得 ABC 为等腰直角三角形，cos CAB ACB, AB coscs45ACB2.2 2.21.43.08（米），即每增加一个车位所需路段长；接下来，可设可以划出 x 个车位，由题意，得5.043.08( x1)56，解得 x .03817.5， x 取最大整数， x17.注意：本题结果取近似值时应采用去尾法，只舍不入，这也是造成本题错解的可能原因之一.EBCDA图1BCA图2易错点 13：相似三角形的性质，三角形相似的判定.易错题 14：如图，在直 角三角形 ABC 中， C90，其内部放置边长分别为 3,4， x的三个正方形，则 x
8、 的值为 （ ）A.5 B.6 C.7 D.8x43 BCA错解：A正解：C赏析：本题图形中，相似三角形比较多，由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解，从而造成错解.本题应找出能够用 3,4， x 或含 x 的式子表示出三边的两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解，如图， C90， CFG CGF90，又 EFG90， DFE CFG90， DFE CGF，又 FG HM， CGF GMH， DFE GMH，又 DEG GHM90， DFEGMH， DEFGHM, DE3， GH x4， FE x3， MH4 ， 34x，化简得x27 x0， x10， x27， x0， x7. MHG
9、x43FEBCDA易错点 14：相似三角形面积之比等于相似比的平方. 易错题 15：如图，平行于 BC 的直线 DE 把 ABC 分成的两部分面积相等，则ADB_. EBCDA错解： 12 正解：赏析：本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解，相似三角形的面积之比等于相似比的平方.正确的解法应是： S ADE S 四边形 DBCE，设 S ADE x，则 S 四边形 DBCE x， SABC x x2 x，12ADEBCx，又 DE BC， ADEABC， ()AEBS， ()， 12ADB.易错点 15：相似与全等的综合运用；相似与锐角三角函数的综合运用.易错题 16：如图，矩形
10、 ABCD 中， AB3， AD4， E 为 AB 上一点， AE1， M 为射线 AD上一动点， AM a(a 为大于 0 的常数)，直线 EM 与直线 CD 交于点 F，过点 M 作 MG EM，交直线 BC 于点 G.（1）若 M 为边 AD 的中点，求证： EFG 是等腰三角形；（2）若点 G 与点 C 重合，求线段 MG 的长；（3）请用含 a 的代数式表示 EFG 的面积 S，并指出 S 的最小整数值. MGFEBCDA错解：（1）证明：如图 1，四边形 ABCD 是矩形， A MDF90， M 为边AD 的中点， MA MD，在 MAE 和 MDF 中，MDFE, MAEMDF（
11、AAS）， EM FM，又 MG EM， EG FG， EFG 是等腰三角形； 【来源：21cnj*y.co*m】（2）解：如图2， AB3， AD4， AE1， AM a， BE AB AE312， BC AD4，在 Rt EAM 中， EM2 AE2 AM2， EM21 a2，在 Rt EBC 中， EC2 BE2 BC2， EC22 24 241620. 在 Rt EMC 中， EM2 EC2 EM2， CM220(1 a2)201 a221 a2， CM 21a.点 G 与点 C 重合， GM 1.（3）如图 3， AB3， AD4， AE1， AM a， MD AD AM4 a，在
12、Rt EAM 中， EM2 AE2 AM2， EM 2a. A MDF90， AME DMF， MAEMDF， AMEDF, 4FM, FM 241a， EF EM+FM 21+241a 2a.由（2）得， MG 2， EFG 的面积S EFMG 1 2 21aa，当 a2 时， S最小，为 S 22 5. MGFEBCDA图1M(G)FEBCDA图2MGFEBCDA图3 NMGFEBCDA图4正解：（1）证明：如图 1，四边形 ABCD 是矩形， A MDF90， M 为边 AD 的中点， MA MD，在 MAE 和 MDF 中，AMDFE, MAE MDF（ASA）， EM FM，又 MG
13、 EM， EG FG， EFG 是等腰三角形；（2）解：如图 2， AB3， AD4， AE1， AM a， BE AB AE312， BC AD4，在 Rt EAM 中， EM2 AE2 AM2， EM21 a2，在 Rt EBC 中， EC2 BE2 BC2， EC22 24 241620. 在 Rt EMC 中， EM2 EC2 EM2， CM220(1 a2)201 a219 a2， CM 9.点 G 与点 C 重合， GM 21a.（3）如图 4，过点 M 作 MN BC 于点 N， AB3， AD4， AE1， AM a， MD AD AM4 a，在 Rt EAM 中， EM2 A
14、E2 AM2， EM . A MDF90， AME DMF， MAE MDF， MEDF,214a, FM 2， EF EM+FM 1a+ 241a 24. AD BC， MGN DMG， AME AEM90， AME DMG90， AEM DMG， MGN AEM， MNG MAE 90， MNG MAE， AMENG,213a, MG 2， EFG 的面积 S 1EFMG 12 24a 231 6a， a2越大， S 就越小，且 S 为最小整数值，当 a26，即 a 6时， S 有最小整数值，为 S167. 赏析：第一小题错在对全等的两种判定方法 ASA 和 AAS 没有分清楚，第二小题错
15、在第三次运用勾股定理时出现了错误，第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用，因为条件变了，不能拿来用，应另求高 MG 的值.本题综合了全等三角形，等腰三角形，直角三角形和相似三角形的有关内容，且涉及函数的最值问题，是一道非常好的三角形综合题，需要同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力.易错练1. 如图，四边形 ABCD 中， AD BC， DE BC，垂足为点 E，连接 AC 交 DE 于点 F，点 G 为AF 的中点， ACD=2 ACB，若 DG=3， EC=1，则 DE 的长为 （ ）A.2 3 B.2 2 C. 6 D. 10 GFEBCDA图1 i=1图3BCDA2图FEBCDA图
16、32.如图是拦水坝的横断面， 斜坡 AB 的水平宽度为 15 米，斜面坡度为 13，则斜坡 AB 的长为（ ）A.5 3米 B.5 5米 C.10 5米 D.30 米3.如图，在 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点， EC 交对角线 BD 于点 F，若 S DEF1，则 S 四边形 ABFE_.4.小明坐于堤边垂钓，河堤 AC 的坡角为 30， AC 长 32米.钓竿 AO 的倾斜角是 60，其长度为 3 米，若 AO 与钓鱼线 OB 的夹角为 60，求浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离. 图OBCA5.在 ABC 中， CAB90， AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，
17、EC 与 AD 交于点 G，点 F在 BC 上. （1）如图 1， AC AB12， EF CB 于点 F.求证： EF CD.（2）如图 2， AC AB1 3， EF CE 于点 E.求 EF EG 的值.GFEBCDA图1GFEBCDA图2参考答案2.C 解析：过点 B 作 BE AD 于点 E，由题意得 AE15， 13A,解得 BE5，在 Rt AEB 中，由勾股定理得 AB 22150AEB(米). S DEF1， S CBF4，又 2EDFC， S CDF2， S BCD S CBF S CDF246， S ADB S BCD6， S 四边形 ABFE S ADB S DEF61
18、5.4.解：延长 OA 交 BC 于点 D， AO 的倾斜角是 60， ODB60， ACD30， CAD180 ODB ACD90.5.解：（1）证明： AC AB12，点 E 为 AB 的中点， AC BE. CAB90， AD BC， B DAC. AD BC， EF CB， ADC EFB90， EFB CDA， EF CD.（2）解：如图 3，过点 E 作 EM BD 于点 M， EN AD 于点 N. AD BC，四边形 DNEM 为矩形， NEM90.又 EF CE， NEG MEF， ENG EMF90， EMF ENG， FEG. AD BC，tan B AC, AC AB1 3，tan B1 3 ， B30， NAE60，sin NAE NEA, EN 2AE，图OBCDA
