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类型《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计.doc

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:4035596
  • 上传时间:2018-12-05
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    《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计.doc
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    1、 1 / 12正弦函数、余弦函数的图象一、教学目标(一)学习目标1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数图象.2.会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数简图.3.掌握作正弦函数和余弦函数图象的特征,能利用其解决三角不等式等问题.(二)学习重点正弦函数和余弦函数图像的作法.(三)学习难点1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.2.运用图象变换法作余弦函数图象.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第 30 页到 32 页.(2)想一想:用三角函数线如何画正弦函数的图象.(3)画一画:三角函数线.2.预习自测(1)给定角 ,画出它的的正弦线、余弦线.(2)任意给定一个实数 ,有

    2、 唯一确定的值 (或 )与之对应,由这个对应法则所确定xxsincos的函数 (或 )叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域为 .sinycosy R(3)用五点法作图,在正弦函数 的图象上,起关键作用的 5 个点为:20,sixy、_ _、_ _、_ _、_ _.0,12,03,12,0(二)课堂设计1.知识回顾(1)正弦线、余弦线:设任意角 的终边与单位圆相交于点 ,过 作 轴的垂线,()Pxy, x垂足为 ,则有向线段 PM 叫做角 的正弦线,有向线段 OM 叫做角 的余弦线.M 2 / 12(2)函数图像的画法(描点法):列表、描点、连线.【设计意图】回顾旧知,让探究始于思维邻近发展区.

    3、2.问题探究探究一 如何得到正弦函数 的图象?sinyx学生方法:列表描点法.(步骤:列表,描点,连线)如果我们仍用描点法来画正弦函数图象,由于对于角的每一个取值,在计算相应的函数值时,都是利用计算机或数学用表得来的,大多是近似值,因此不易描出对应点的准确位置,画出的图象不够准确.为此我们应考虑其他方法来作正弦函数的图象.【设计意图】利用已有知识经验解决新问题.(一)正弦函数的图象(1)几何法:用单位圆中的正弦线-几何画法;第一步:列表.在平面内建立一平面直角坐标系,然后在直角坐标系的 轴上任意取一点x,以 为圆心作单位圆,从 与 轴的交点 起把 分成 12 等份(份数宜取 6 的倍数,1O1

    4、 1OxA1O份数越多,画出的图象越精确).过 上的各分点作 轴的垂线,可以得到对应于 、x0、 、 、 等角的正弦线(例如有向线段 对应于 角的正弦线).621B2第二步:描点.把 轴上从 0 到 这一段( 6.28)分成 12 等份(例如,从原点起向右的x2第四个点,就是对应于 角的点),把角 的正弦线向右平移,使它的起点与 轴上的点 重x xx合( 例如,把正弦线 向右平移,使点 与 轴上的点 重合).1OB1O2第三步:连线.把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来. xy 2322BO1 OA我们看到的这段光滑曲线就是函数 在 上的函数.sinyx0,2因为终边相同的角有相同的三角函数值

    5、,所以函数 在sinyx3 / 12上的图象与函数 在 上的图象的形状完全21(0)xkkZ , , 且 sinyx0,2一样,只是位置不同,于是我们只要将函数 , 的图象向左、右平行移动(每次 个单位长度),就可以得到正弦函数 在 上的图象.siyxRxy 5432-3-2-4x-5 O这时,我们看到的这支曲线就是正弦函数 在整个定义域上的图象,我们也可把它sinyx称为正弦曲线.【设计意图】让学生体会原有的描点法的优缺点:精确度较高但步骤繁琐.思考:用前面的方法来作图象,虽然比较精确,但不太实用,我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?(2) 用五点法作正弦函数的简图在函数 的图象上,起着关

    6、键作用的点只有以下五个:2,0sinxy3(),)()0()(,112,0), , , -, ,事实上,描出这五个点后,函数 的图象的形状就基本上确定了.因此,,sinxy在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就可得到函数的简图.今后,我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.【设计意图】让学生通过前面作的正弦函数的图象,捕捉这种周期函数图象的关键信息,归纳简图作法的关键节点与图象大致走势,培养学生的图形直观,归纳总结的能力.探究二 如何得到余弦函数 的图象?cosyx(二)余弦函数的图象活动:你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形

    7、变换得到余弦函数的图象吗?(1)图象变换法:利用图象平移, ,将正弦函数 的图象向左平移sin()cos2xxsinyx个单位即可得到余弦函数 的图象.2coy4 / 12由诱导公式可知: 余弦函数 与函数()sin()2=cosi2yxx cosyxR,是同一个函数.2)sin(yxR ,而 的图象可通过将正弦曲线向左平行移动 个单位长度而得到.x , 2x6yo-12345-2-3-41现在看到的曲线也就是余弦函数 在 上的图象,即余弦曲线.csyxR(2)五点法:活动:类似于正弦函数图象的 5 个关键点,请找出余弦函数的 5 个关键点,并填入下表,然后作出 的简图2,0cosxys同样,

    8、可发现在函数 的图象上,起着关键作用的点是以下五个:2,0cosxy与画函数 的简图类似,通0,113(),)()(,)(),12, , , -, , 2,0sinxy过这五个点,可以画出函数 的简图.csxy活动 巩固基础,检查反馈例 1 用“五点法 ”作出下列函数的简图(1) (2) 2sin0,2yx , ; 2cos0,2.yx,【知识点】五点法作三角函数的图象【数学思想】数形结合x6yo-12345-2-3-415 / 12【思路点拨】在 上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可.0,2 【解题过程】 (1)列表: x0 232sin0 1 0 -1 0121 3 1 -1 1在直角坐

    9、标系中描出五点 ,然后用光滑曲线3,2,()(), , , ,顺次连接起来,就得到 的图象.12sin 0,2yx ,(2)列表: x0 232cos1 0 -1 0 123 2 1 2 3描点连线,如图【设计意图】 (1)巩固新知;(2)从层次上逐层深化、拾级而上,为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础.同类训练用五点法作函数 的简图.2cos()3yx【知识点】五点法作 的函数图像A【数学思想】数形结合,函数复合【思路点拨】令 , , , , 可得03x232275-,363x , , 【解题过程】 (1)列表:6 / 123x0 2 326752cos3x2 0 -2 0 2(2)描

    10、点连线 xy 5376236-3O【设计意图】 在例 1 的基础上做变式拓展,培养整体思想与复合函数的思想.活动 4 强化提升、灵活应用例 3 画出 的简图,并根据图像写出 时 x 的集合.sinyx12y【知识点】三角函数线和三角函数图像的应用【数学思想】数形结合【思路点拨】利用正弦函数与余弦函数图象或单位圆寻求满足条件的取值.【解题过程】利用“ 五点法 ”作出 的简图,过点 作 轴的平行线,在 上直sinyx10,2x0,2线 与正弦曲线交于 , 两点.在 内,满足 时 的集合为12y1,625,yx.因此,当 时,若 ,则 的集合为56xxR12yx522,66xkkZ【答案】 52,6

    11、xkxkZ【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题,在这一过程中巩固新知,感受数形结合的魅力.7 / 12例 3 判断方程 根的个数. 04xcos 【知识点】三角函数图像的应用【数学思想】函数方程与数形结合【思路点拨】当求解的方程不是普通方程时,经常采用数形结合法求解,即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【解题过程】设 ,在同一直角坐标系中画出 的图象,如 4xfgcosx , fxg与图:由图可知, 的图象有三个交点,故方程 有三个根.fxg与 04xcos 【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题,在这一过程中巩固新知,感受数形结合的魅力.

    12、3. 课堂总结知识梳理(1) 正弦函数图象的几何作图法.(2) 正弦函数图象的五点作图法(注意五点的选取).(3) 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象.重难点归纳(1)正、余弦函数图象的简单应用.(难点)(2)正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)(三)课后作业基础型 自主突破1.下列叙述正确的是( ) 的图象关于点 成中心对称;,02ysinx , ()0P, 的图象关于直线 成轴对称;co , x正、余弦函数的图象不超过直线 所夹的范围.1y 和 -8 / 12A.0 B.1 个 C.2 个 D.3 个【知识点】正弦函数、余弦函数的图象的认识.【解题过程】分别画出函数 和 的图象,由图

    13、象观察可,02ysinx , ,02ycosx ,知均正确.【思路点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可. 【答案】D.2.用五点法作函数 的图象时,首先应指出的五点的横坐标可以是( )2sin1yxA. ; B. ;320, , , 3420, , ,C. ; D. ., , , 46, , 【知识点】五点法作图的应用【解题过程】与作函数 的图象所取的五点的横坐标一样.sinyx【思路点拨】 结合五点法作函数 的图象即可解答.si【答案】A.3.将余弦函数 的图象向右至少平移 个单位,可以得到函数 的图象,则cosyxmsinyx( )mA. B. C. D. 23234【知识点】图象变

    14、换的应用【解题过程】根据诱导公式得, 故欲得到 的3sincocos22yxx, sinyx图象,需将 的图象向右至少平移 个单位长度.cosyx, 3【思路点拨】 利用诱导公式或函数图象左右平移方法即可解答【答案】C.4.函数 的图象与直线 的交点有( )sin0,2yx, 12yA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【知识点】正弦函数图象的应用【数学思想】数学结合9 / 12【解题过程】在 内使 的角 所以 的图象与直0,21sin2x716x为 和 sin0,2yx,线 有 2 个交点.1y【思路点拨】画出 的图象与直线 即可解答sin0,2yx, 12y【答案】B5. 用“五点

    15、法 ”作出函数 的简图 .(si)yx【知识点】 “五点法 ”作图【数学思想】【解题过程】列表,描点、连线,如图所示.【思路点拨】利用关键的“五点” 作图【答案】上图所示能力型 师生共研6.函数 的大致图象为( )cos0,2yx ,【知识点】函数图象的应用【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由题意得32cos,02,2,xxy或【思路点拨】函数解析式含绝对值,一般原则去绝对值符号,画出分段函数图象,图象问题的选择题也可利用函数性质,例如单调性,对称性等解答.【答案】D10 / 127.求函数 的定义域.2sin1yx【知识点】函数图象的应用【数学思想】数形结合【解题过程】要使 有意义,则必须

    16、满足 结合正弦曲线或三角函数2sin1yx2sin10x,线,如图所示:【思路点拨】利用正弦函数图象或三角函数线法.【答案】 722,66xkxkZ8.方程 的实数解的个数是_.co0s【知识点】余弦函数图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】作函数 的图象,如图所示,2cosyx与由图象,可知原方程有两个实数解.【思路点拨】作函数 的图象.2cosyx与【答案】2自助餐1.以下对于正弦函数 的图象描述不正确的是( )sinyxA.在 上的图象形状相同,只是位置不同2,xkkZ ,B.关于 轴对称C.介于直线 之间1y 和 -D.与 轴仅有一个交点【知识点】正弦函数图象的应用.【解题过程】

    17、逐一判断.11 / 12【思路点拨】利用正弦函数图象【答案】B2.用“五点法”作函数 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是 ( )cos2yxA. B.320, , , 3420, , ,C. D.4, , , , 6, , 【知识点】 “五点法 ”作余弦函数图象 .【数学思想】转化与化归思想【解题过程】令 ,得3202x , , , 和 30,42x , , 【思路点拨】利用作余弦函数图象的关键五点.【答案】B3.点 在函数 的图象上,则 等于( ),2MmsinyxmA.0 B.1 C.1 D.2【知识点】正弦函数的图象.【数学思想】【解题过程】由题意 sin1.2mm-, , -【思路点拨】点代入函数解析式.【答案】C4.在 内,不等式 的解集是( )0,23sin2xA. B. C. D. (,) 4,45,5,23【知识点】正弦函数的图象应用.【数学思想】数形结合思想【解题过程】画出 的草图如下:sin0,2yx,12 / 12【思路点拨】画出草图解不等式.【答案】C

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