1、高中数学必修二复习基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面
2、 1、按是否共面可分为两类： （1）共面： 平行、 相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为 ( 0，90 ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点相交直线；（2）没有公共点 平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 直线在平面内有无数个公共点 直线和平面相交有且只有
3、一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的 范围为 0，90 角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的 角 三垂线定理 定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任 一条直线都垂直， 们 直线a和平面 互相垂直.直线a 平面 的垂线，平面 直线a的垂面。 直线与平面
4、垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的 定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么 们 这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的 定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：
5、 两个平面平行-没有公共点； 两个平面相交-有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 两个平面平行的 定理：如果两个平行平面同时和 三个平面相交，那么交线平行。 b、相交 二面角 （1） 平面：平面内的一条直线 这个平面分成两个 分， 中 一个 分 平面。 （2） 二面角：从一条直线 的两个 平面所 成的 二面角。二面角的 范围为 0，180 （3） 二面角的 ：这一条直线 二面角的 。 （4） 二面角的面：这两个 平面 二面角的面。 （5） 二面角的平面角： 二面角的 上任 一点为 点，在两个面内分别 垂直于 的
6、两条射线，这两条射线所成的角 二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角 直二面角。 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角， 这两个平面互相垂直。 为 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的 定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。Attention： 二面角 法：直法（ 平面角）、三垂线定理 定理、面射影定理、空间向量法向量法（ 的角与所 的角间的等关系） currency1面 “ “的定义：有两个面互相平行， 面都是边 ，并且 两个边 的公共
7、边都互相平行，这fi面围成的fl何 “。 “的 （1） 都相等， 面是平行边 （2）两个面与平行于面的面是等的currency1边 （3）过不相的两条 的面（ 角面）是平行边 的定义：有一个面是currency1边 ， 面都是有一个公共点的三角 ，这fi面围成的fl何 的 ： （1） 交于一点。 面都是三角 （2） 平行于面的面与面是相的currency1边 。且 面等于得的 的高与” 高的的平方 的定义：如果一个 面是currency1边 ，并且点在面内的射影是面的中，这的 。 的 ： （1） 交于一点且相等， 面都是等的等 三角 。等 三角 边上的高相等，它 的斜高。 （3） curren
8、cy1个 的直角三角 esp： a、相两 互相垂直的三 ，由三垂线定理可得点在面的射影为面三角 的垂。 b、面中有三 异面直线，若有两 互相垂直，可得 三 也互相垂直。且点在面的射影为面三角 的垂。 直线与方（1）直线的斜角定义：x向与直线向上方向间所成的角 直线的斜角。别，直线与x平行或时, 们规定它的斜角为0度。 此，斜角的 范围是0180（2）直线的斜定义：斜角不是90的直线，它的斜角的 这条直线的斜。直线的斜用k。 。斜 直线与的斜度。 时， ； 时， ； 时， 不 在。过两点的直线的斜公 ： 面点：(1) 时，公 边无 义，直线的斜不 在，斜角为90；(2)k与P1、P2的 无关；(
9、3) 斜可不通过斜角 由直线上两点的 直 得；(4) 直线的斜角可由直线上两点的 斜得 。（3）直线方点斜 ： 直线斜k，且过点 ：直线的斜为0时，k=0，直线的方是y=y1。直线的斜为90时，直线的斜不 在，它的方不 用点斜 l上 一点的 都等于x1，所 它的方是x=x1。斜 ： ，直线斜为k，直线在y上的距为b两点 ： （ ）直线两点 ， ： 中直线 与 交于点 ,与 交于点 , 与 、 的距分别为 。一 ： （A，B不为0） ： 1 的用范围 2 的方如：平行于x的直线： （b为数）； 平行于y的直线： （a为数）； （4）直线系方：有一共同 的直线（一）平行直线系平行于 直线 （ 是不
10、为0的数）的直线系： （C为数）（二）垂直直线系垂直于 直线 （ 是不为0的数）的直线系： （C为数）（三）过定点的直线系 斜为k的直线系： ，直线过定点 ； 过两条直线 ， 的交点的直线系方为（ 为 数）， 中直线 不在直线系中。（5）两直线平行与垂直 ， 时，； ： 用斜判 直线的平行与垂直时， 斜的 在与否。（6）两条直线的交点相交交点 方 的一 。方 无 ； 方 有无数 与 （7）两点间距离公 ： 是平面直角 系中的两个点， （8）点 直线距离公 ：一点 直线 的距离 （9）两平行直线距离公 在任一直线上任 一点， 为点 直线的距离行 。的方（1） 方 ， ， 为r；（2）一 方 时，
11、方 ，此时 为 ， 为 时，一个点； 时，方不任何 。（3） 方的方法：一 都用定系数法： 。定一个 三个 条 ，若 用 的 方， a，b，r；若 用一 方， D，E，F；另外 currency1 用 的fl何 ：如 的中垂线必经过原点， 此来定 的位置。直线与 的位置关系直线与 的位置关系有相离，相 ，相交三种情况：（1）直线 ， ， l的距离为 ，有 ； ； （2）过 外一点的 线：k不 在，验证是否成 k 在，点斜 方，用 该直线距离= ，k，得 方【一定两 】(3)过 上一点的 线方： (x-a)2+(y-b)2=r2， 上一点为(x0，y0)，过此点的 线方为(x0-a)(x-a)+
12、(y0-b)(y-b)= r2 与 的位置关系通过两 的和（差），与 距（d）间的大 较来定。 ， 两 的位置关系通过两 的和（差），与 距（d）间的大 较来定。 时两 外离，此时有公 线条； 时两 外 ，连线过 点，有外公 线两条，内公 线一条； 时两 相交，连线垂直平分公共 ，有两条外公 线； 时，两 内 ，连线经过 点，只有一条公 线； 时，两 内含； 时，为同 。 ： 上两点， 必在中垂线上； 两 相 ，两 与 点共线的辅助线一 为连 与 线或者连 与 中点一次函数一、定义与定义 ：自变量x和 变量y有如 关系：y=kx+b此时称y是x的一次函数。别，b=0时，y是x的例函数。：y=k
13、x （k为数，k0）二、一次函数的 ：1.y的变 与 应的x的变 成例， 为k：y=kx+b （k为任 不为零的实数 b 任何实数）2.x=0时，b为函数在y上的距。三、一次函数的 像 ：1 法与 ：通过如 3个步骤（1）列；（2）描点；（3）连线，可 一次函数的 像一条直线。 此， 一次函数的 像只 道2点，并连成直线可。（通找函数 像与x和y的交点）2 ：（1）在一次函数上的任 一点P（x，y），都满足等 ：y=kx+b。（2）一次函数与y交点的 总是（0，b)，与x总是交于（-b/k，0）例函数的 像总是过原点。3 k，b与函数 像所在象限：k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大 增
14、大；k0时，直线必通过二、象限，y随x的增大 减 。b0时，直线必通过一、二象限；b=0时，直线通过原点b0时，直线必通过三、象限。别，b=O时，直线通过原点O（0，0）的是例函数的 像。这时，k0时，直线只通过一、三象限；k0时，直线只通过二、象限。、定一次函数的达 ： 点A（x1，y1）；B（x2，y2），请定过点A、B的一次函数的达 。（1）一次函数的达 （也 析 ）为y=kx+b。（2） 为在一次函数上的任 一点P（x，y），都满足等 y=kx+b。所 可 列 2个方：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3） 这个二元一次方，得 k，b的 。（4） 得 一次函数的达 。五、一次函
15、数在生活中的应用：1.时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。水池中原有水量S。g=S-ft。六、用公 ：（不，希望有人充）1. 函数 像的k ：（y1-y2)/(x1-x2)2. 与x平行线段的中点：|x1-x2|/23. 与y平行线段的中点：|y1-y2|/24. 任 线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （：根号 （x1-x2)与（y1-y2)的平方和）二次函数I.定义与定义达 一 ，自变量x和 变量y间 在如 关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时
16、，y=a(x-h)2的 象可由抛物线y=ax2向 平行移动h个单位得 ，h0,k0时，将抛物线y=ax2向 平行移动h个单位， 向上移动k个单位， 可 得 y=a(x-h)2 +k的 象；h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位， 向上移动k个单位可得 y=a(x-h)2+k的 象；h0时，开口向上，a0，x -b/2a时，y随x的增大 减 ；x -b/2a时，y随x的增大 增大 若a0， 象与x交于两点A(x?，0)和B(x?，0)， 中的x1,x2是一元二次方ax2+bx+c=0(a0)的两根 这两点间的距离AB=|x?-x?| =0 象与x只有一个交点； 0时， 象落在x的上方，x
17、为任何实数时，都有y0；a0(a0)，x= -b/2a时，y (大) =(4ac-b2)/4a 点的 ，是 得 时的自变量 ，点的纵 ，是 的 6 用定系数法 二次函数的 析 (1)题给条 为 象经过三个 点或 x、y的三 应 时，可 析 为一 ：y=ax2+bx+c(a0) (2)题给条 为 象的点 或 称时，可 析 为点 ：y=a(x-h)2+k(a0) (3)题给条 为 象与x的两个交点 时，可 析 为两根 ：y=a(x-x?)(x-x?)(a0) 7 二次函数 识很容易与 它 识综应用， 成较为复杂的综题目。 此， 二次函数 识为主的综 题目是中考的热点考题，往往 大题 现 例函数如
18、ykx(k为数且k0) 的函数， 例函数。自变量x的 范围是不等于0的一 实数。例函数 像 ：例函数的 像为双曲线。由于 例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x), 像关于原点 称。另外，从 例函数的 析 可 得 ，在 例函数的 像上任 一点，向两个 垂线，这点、两个垂足 原点所围成的 面是定 ，为k。如 ，上面给 了k分别为和负（2和-2）时的函数 像。K0时， 例函数 像经过一，三象限，是减函数K0时， 例函数 像经过二，象限，是增函数例函数 像只 无限趋向于 ，无法和 相交。 识点：1.过 例函数 象上任 一点 两 的垂线段，这两条垂线段与 围成的 的面为| k |。2. 于双曲线yk
19、x ，若在分母上加减任 一个实数 ( yk（xm）m为数)， 相于将双曲线象向左或 平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向 平移）数函数数函数的一 为 ，它实际上 是指数函数 的 函数。 此指数函数里 于a的规定，同用于 数函数。给 于不同大 a所的函数 ：可 看 数函数的 只不过的指数函数的 的关于直线y=x的 称 ， 为它们互为 函数。（1） 数函数的定义域为大于0的实数集。（2） 数函数的 域为 实数集。（3）函数总是通过（1，0）这点。（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a 于1大于0时，函数为单调递减函数，并且 。（5） 数函数无 。指数函数指数函数的一 为 ，从上
20、面 们 于 函数的 论 可 道， 得x 整个实数集为定义域，只有 得 如 所为a的不同大 影 函数 的情况。可 看 ：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集，这里的 提是a大于0， 于a不大于0的情况，必 得函数的定义域不 在连 的 间， 此 们不 考 。（2） 指数函数的 域为大于0的实数集。（3） 函数 都是 的。（4） a大于1，指数函数单调递增；a 于1大于0，为单调递减的。（5） 可 看 一个 的规 ， 是a从0趋向于无 大的过中（ 不 等于0），函数的曲线从分别 于Y与X的 的单调递减函数的位置，趋向分别 于Y的 与X的负 的单调递增函数的位置。 中水平直线y=1是从递减 递增的一
21、个过 位置。（6） 函数总是在一个方向上无限趋向于X, 不相交。（7） 函数总是通过（0，1）这点。（8） 指数函数无 。 奇 ：（1）为奇函数（2）为 函数1 定义一 ， 于函数f(x)（1）如果 于函数定义域内的任 一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x) 奇函数。（2）如果 于函数定义域内的任 一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x) 函数。（3）如果 于函数定义域内的任 一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成 ，那么函数f(x)既是奇函数 是 函数，称为既奇 函数。（4）如果 于函数定义域内的任 一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x
22、)都不 成 ，那么函数f(x)既不是奇函数 不是 函数，称为 奇 函数。：奇、 是函数的整 ， 整个定义域 奇、 函数的定义域一定关于原点 称，如果一个函数的定义域不关于原点 称，这个函数一定不是奇（或 ）函数。（分析：判 函数的奇 ， 是 验 定义域是否关于原点 称， 按 奇、 的定义经过、整理、 与f(x)较得 论）判 或证 函数是否有奇 的根 是定义2 奇 函数 像的：定理 奇函数的 像关于原点成中 称 ， 函数的 象关于y或 称 。f(x)为奇函数f(x)的 像关于原点 称点（x,y）（-x,-y）奇函数在一 间上单调递增，在它的 称 间上也是单调递增。函数 在一 间上单调递增，在它的
23、 称 间上单调递减。 3. 奇 函数(1) . 两个 函数相加所得的和为 函数.(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) . 一个 函数与一个奇函数相加所得的和为 奇函数与 函数.(4) . 两个 函数相乘所得的为 函数.(5) . 两个奇函数相乘所得的为 函数.(6) . 一个 函数与一个奇函数相乘所得的为奇函数.定义域（高中函数定义）A,B是两个 空的数集，如果按个定的 应关系f, 于集A中的任 一个数x，在集B中都有唯一定的数f(x)和它 应，那么 称f:A-B为集A 集B的一个函数， y=f(x),x属于集A。 中，x 自变量，x的 范围A 函数的定义域； 域称定义函数中，应
24、变量的 范围 这个函数的 域函数的 域,在数学中是函数在定义域中应变量所有 的集 用的 域的方法（1） currency1法；（2） 象法（数 ）， （3）函数单调 法， （4）配方法，（5）元法，（6） 函数法（ 法），（7）判别 法，（8）复函数法，（9）三角“法，（10）基本不等 法等 关于函数 域 定义域、 应法、 域是函数的三个基本fi元 fl。平时数学中，实行fi定义域 fl的原，无可置。 物有二 ，在 定义域 题的同时，往往 或 了， 域 题的究，成了一”fifl一”fifl， 学生 函数的 时时 ，实上，定义域与 域二者的位置是相的，不 此，何况它们二者随时于互相 中（的例子是
25、互为 函数定义域与 域的相互 ）。如果函数的 域是无限集的，那么 函数 域不总是容易的， 不等 的 有时并不 ，还必 系函数的奇 、单调 、有 、 来考 函数的 情况。 得 ，从这个角度来 ， 域的 题有时 定义域 题 ，实 证 ，如果加了 域 法的研究和 论，有 于 定义域内函的理，从 函数本 的 识。fi范围fl与fi 域fl相同 fi范围fl与fi 域fl是 们在学习中经 的两个概念， currency1同学将它们 为一，实际上这是两个不同的概念。fi 域fl是所有函数 的集（集中 一个元 都是这个函数的 ）， fi范围fl只是满足个条 的一fi 所在的集（集中的元 不一定都满足这个条 ）。也 是 :“ 域fl是一个fi范围fl， fi范围fl 不一定是fi 域fl。
