1、 第 1 页 共 9 页 2015-2016 学年高中数学 1.3 简单曲线的极点坐标方程练习 新人教A 版选修 4-4预习梳理1定义如果曲线 C 上的点与方程 f( ， )0 有如下关系：(1)曲线 C 上任一点的坐标_方程 f( ， )0；(2)方程 f( ， )0 的_为坐标的点_则曲线 C 的方程是f( ， )0.2圆的极坐标方程(1)圆心在( a，0)( a0)半径为 a 的圆的极坐标方程为_(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标的方程为_3直线的极坐标方程(1)直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角为 ，则直线 l 的极坐标方程为 4_(2)过点 A(a，0)( a0)且垂
2、直于极轴的直线 l 的极坐标方程为_(3)直线 l 过点 P( 1， 1)且与极轴所成的角为 ，则直线 l 的极坐标方程为_预习思考1几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为_；(2)圆心位于 M(1，0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为_；(3)圆心位于 M ，半径为 1 的圆的极坐标方程为_(1， 2)2几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点且过点 M 的极坐标方程为_；(1， 6)(2)直线过点 M(1，0)且垂直于极轴的极坐标方程为_；(3)直线过点 M 且平行于极轴的极坐标方程为_ ,(1， 2)预习梳理1(1)符合 (2)所有解 都
3、在曲线 C 上第 2 页 共 9 页 2(1) 2 acos (2) r3(1) ， R (2) cos a 4(3) sin( ) 1sin( 1)预习思考1(1) 1 (2) 2cos (3) 2sin 2(1) ， R (2) cos 1 (3) sin 1 6一 层 练 习1曲线的极坐标方程 4cos 化成直角坐标方程为_1( x2) 2 y242极坐标方程分别为 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是_2.223极坐标方程 cos 所表示的曲线是_( 4 )3圆4(2014湛江高考调研)极坐标系内，点 到直线 cos 2 的距离是(1， 2)_4命题立意：本题考查极坐标与直角坐标的转
4、化，难度较小解析：点 的直角坐标为(0，1)，直线 cos 2 的直角坐标方程为 x2，故(1， 2)点(0，1)到直线 x2 的距离是 d2.答案：25(2014揭阳二模)在极坐标系中，过点 A 引圆 4sin 的一条切线，(4， 2)则切线长_二 层 练 习5命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，难度中等解析：先将圆的极坐标方程转化为普通方程，将点的极坐标转化为直角坐标，再利用解直角三角形求其切线长圆的普通方程为 x2( y2) 24，点 A 的直角坐标为(0，4)，点 A 与圆心的距离为|42|6，所以切线长为 4 .62 22 2答案：4 2第 3 页 共 9 页 6过
5、点 P 且平行于极轴的直线的极坐标方程是_(2， 3)6 sin 37(2014湛江二模拟)极坐标系中，圆 O： 22 cos 30 的圆心到直线 cos sin 70 的距离是_7命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，难度中等解析：先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求距离大小圆的直角坐标方程为( x1) 2 y24，圆心为(1，0)，直线的直角坐标方程为 x y70，所以圆心到直线的距离为 4 .| 1 0 7|2 2答案：4 28(2014汕头质量检测)如图所示的极坐标系中，以 M 为圆心，半径 r1 的(4， 6)圆 M 的极坐
6、标方程是_8命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程间的转化，难度中等解析：依题意，题中的圆 M 的圆心的直角坐标是(2 ，2)，因此圆 M 的直角坐标方程3是( x2 )2( y2) 21，即 x2 y24 x4 y150 ，相应的极坐标方程是3 3 24 cos 4 sin 150，即 28 cos 150.3 ( 6)答案： 28 cos 150( 6)9(2014佛山一模)在极坐标系中，设曲线 C1： cos 1 与 C2： 4cos 的交点分别为 A， B，则| AB|_9命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的转化，难度中等解析：依题意，两条曲线相应的直角坐标方程
7、分别是 x1 与 x2 y24 x，而圆x2 y24 x 的圆心坐标是 C2(2，0)、半径是 2，圆心 C2(2，0)到直线 x1 的距离为 1，因第 4 页 共 9 页 此| AB|2 2 .22 12 3答案：2 310在极坐标系中，直线 l： cos t(常数 t0)与曲线 C： 2sin 相切，则 t_10111在极坐标系中，已知直线 l： (sin cos ) a 把曲线 C： 2cos 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数 a 的值是_11112(2014深圳第二次调研)在极坐标系中， A， B 分别是直线 3 cos 4 sin 50 和圆 2cos 上的动点，则 A， B
8、 两点之间距离的最小值是_12命题立意：本题考查直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离，难度中等解析：由题意，得直线的平面直角坐标方程为 3x4 y50，圆的普通方程为( x1)2 y21，则圆心(1，0)到直线的距离 d ，所以 A， B 两点之间|31 40 5|32 42 85距离的最小值为 d r 1 .85 35答案：35三 层 练 习13(2014陕西高考文科 T15)在极坐标系中，点 到直线 sin 1(2， 6) ( 6)的距离是_13解题提示：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，从而求得此点到直线的距离解析：由于直线的极坐标方程是 sin 1，化为直角
9、坐标方程为( 6)x y 20，点 的直角坐标为 ( ，1)3 (2， 6) 3故该点到直线的距离 d 1.3 31 21 3答案：114(2014上海高考理科 T7)已知曲线 C 的极坐标方程为 (3cos 4sin )1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是_第 5 页 共 9 页 14解题提示：首先将极坐标方程化为直角坐标方程为 3x4 y1，则 C 与极轴的交点即为直线，与 x 轴的交点，即得结论解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为 3x4 y1，则 C 与极轴的交点即为直线与x 轴的交点 ，极点即为原点，故距离为 .(13， 0) 13答案：1315(2014广东高考文科 T14)在极
10、坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为2 cos2 sin 与 cos 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线 C1与 C2交点的直角坐标为_15解析：2 cos2 sin 即 2 2cos2 sin ，则 2x2 y， cos 1 即 x1.联合解得， x1， y2.曲线 C1与 C2交点的直角坐标为(1，2)答案：(1，2)误区警示：曲线 C1的方程化为直角方程看不出思路，可通过等式变形找关系16(2014天津高考理科 T13)在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin 相交于 A， B 两点若 AOB 是等边三角形，则 的值为
11、_16解析：圆的普通方程为 x2( y2) 24，直线为 y .因为 AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为 ，代入圆的方程可得 3.( 3， )答案：317.6217(2015韶关市高三模拟考试)在极坐标中，已知直线 l 方程为 (cos sin )1，点 Q 的坐标为 ，则点 Q 到 l 的距离 d 为_(2， 3)18(2015全国卷，数学文理 23)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x2，圆C2：( x1) 2( y2) 21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程；(2)若直线 C3的极坐标为 ( R)，设 C2与 C3的交
12、点为 M， N，求 C2MN 的面 4积18解析：(1)因为 x cos ， y sin ，所以 C1的极坐标方程为第 6 页 共 9 页 cos 2， C2的极坐标方程为 22 cos 4 sin 40.(2)将 代入 22 cos 4 sin 40，得 23 40，解得 4 2 12 ， 2 .故 1 2 ，即| MN| .2 2 2 2由于 C2的半径为 1，所以 C2MN 的面积为 .121建立曲线的极坐标方程的方法步骤：(1)在曲线上任取一点 P( ， )；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起 、 的方程；(3)验证求得的方程为曲线的
13、方程2利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致如定义法、直接法、参数法等3不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答4处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：(1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理；(2)根据 、 的几何意义进行
14、旋转或伸缩变换【习题 1.3】1解析：(1)表示圆心在极点，半径为 5 的圆(图略)(2)表示过极点，倾斜角为 的直线(图略)56第 7 页 共 9 页 (3)表示过极点，圆心在 半径为 1 的圆(图略)(1， 2)2解析：(1) ( R) 3(2)如图所示，设过点 A 且与极轴垂直的直线与极轴交于点 B，点 P( ， )是直线上任意一(2， 3)点因为 AOB ， OA2，所以 OB2cos 1，从而 cos ，即 cos ，所 3 3 OBOP 1以所求的极坐标方程为 cos 1.(3)如图所示，设 P( ， )是圆上任意一点当 O， A， P 三点不共线时，在 OPA 中利用余弦定理得到
15、| OA|2| OP|22| OA|OP|cos | AP|2，所以 1 22 cos 1，即( 4) ( 4) 2cos .( 4)当 O， A， P 三点共线时，点 P 的坐标为 或 ，这两点的坐标满足，所(0，34) (2， 4)以就是所求的圆的极坐标方程(4)如图所示，第 8 页 共 9 页 设 P( ， )是圆上任意一点，当 O， A， P 三点不共线时，在 OPA 中利用余弦定理得|OA|2| OP|22| OA|OP|cos | AP|2，所以 a2 22 a sin a2，即( 2 ) 2 asin .当 O， A， P 三点共线时，点 P 的坐标为(0，0)或 ，这两点的坐标
16、满足，所(2a， 2)以就是所求的圆的极坐标方程3(1) cos 4.(2) sin 2.(3)2 cos 3 sin 10.(4) 2cos 2 16.4(1) y2.(2)2x5 y40.(3)(x5) 2 y225.(4)(x1) 2( y2) 25.5解析：以极点为直角坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程 sin 化为直角坐标方程得 x y1，把点 A 的极坐标 化( 4) 22 (2， 74)为直角坐标得( ， )在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式得 A( ， )2 2 2 2到直线 x y1 的距离 d .所以点 A 到直线 sin 的距离为
17、.22 (2， 74) ( 4) 22 226(1)证明：以椭圆中心 O 为原点，长轴所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为 1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得 x2a2 y2b2 （ cos ） 2a21，即 2 ，由于 OA OB，可设 A( 1， 1)， B（ sin ） 2b2 a2b2b2cos2 a2cos2 ，则 ， .于( 2， 1 2) 21 a2b2b2cos2 1 a2sin2 1 2 a2b2b2sin2 1 a2cos2 1第 9 页 共 9 页 是 1|OA|2 1|OB|2 b2cos 2 1 a2sin2 1 b2sin2 1 a2cos2 1a2b2.所以 为定值a2 b2a2b2 1|OA|2 1|OB|2(2)解析：依题意得到 S AOB |OA|OB| 1 2 12 12 12 a2b2（ b2cos2 1 a2sin2 1） （ b2sin2 1 a2cos2 1） 12，当且仅当 sin22 11， S AOB有最小值为 ；当 sin2 a2b2（ a2 b2） 2sin22 14 a2b2 a2b2a2 b22 10， S AOB有最大值为 .ab2
