1、 Born To Win破解考研数学重灾区：中值定理证明思路小结还有不到 40天就到了 2016考研初试的时间了，为了让学生能够更好地应对考研，本文将讨论一下中值定理这块的相应证明题的一般解题思路。中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面跨考教育数学教研室佟老师就和大家来一起分析一下这块内容。一、具体考点分析首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?第一：闭区
2、间连续函数的性质。最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)费马引理：函数 f(x)在点 的某邻域 U()内有定义，并且在 处可导，如果对于任意的 xU()，都有 f(x)f() (或 f(x)f() )，那么 f()=0。罗尔定理：如果函数 f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;在区间端点
3、处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点 (aB)，使得 f?()=“0.Born To Win几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于 x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。拉格朗日中值定理：如果函数 f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点 (aB)，使得 f?()=“0.柯西中值定理：如果函数 f(x)及 F(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;
4、(2)在开区间(a,b)内可导;(3)对任一 x(a,b)，F(x)0那么在(a,b) 内至少有一点 ，使等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f()/F()成立。第三：积分中值定理：如果函数 f(x) 在积分区间a, b上连续，则在 a, b上至少存在一个点 ，使下式成立加强版：如果函数 f(x) 在积分区间a, b上连续，则在 (a, b)上至少存在一个点 ，使下式成立Born To Win第四：变限积分求导定理： 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，则积分变上限函数在a,b上具有导数，并且导数为：第五：牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间a,b 上连续，并且存在原函数F
5、(x) ，则以上定理要求理解并掌握定理内容和相应证明过程。二、注意事项针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的“小信号”，希望大家理解清楚并掌握：1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的 所属区间是闭区间。2. 拉格朗日中值定理是函数 f(x)与导函数 f(x)之间的桥梁。3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。其次对
6、于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明 f()=0，f()=k (k 为任意常数)，Born To Winf(1)=g(2)，f()=0，f()=g()，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。最后希望同学们仔细研究这块内容的历年真题，通过研究真正的把处理方法转化为自己的，跨考教育祝大家考研成功!
