1、1三 圆的切线的性质及判定定理课标解读1.掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切.1切线的性质定理及推论图 231(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径如图 231，已知 AB 切 O 于点 A，则 OA AB.(2)推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线1 “以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗？为什么？【提示】 正确如图 AB、 CD 分别切 O 于 E、 F，连接 EO 并延长交 CD 于
2、F， AB是 O 的切线， OE AB. AB CD， OF CD， F为切点， F与 F 重合，即 EF是 O 的直径22判定直线与圆相切共有哪几种方法？【提示】 判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线3从圆的切线的性质定理及推论，你能得出怎样的结论？【提示】 分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个垂直于切线；过切点；过圆心于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径圆的切
3、线性质的应用图 232如图 232 所示，已知 AB 是 O 的直径，直线 CD 与 O 相切于点 C， AC 平分 DAB， AD CD.(1)求证： OC AD；(2)若 AD2， AC ，求 AB 的长5【思路探究】 (1)要证 OC AD，只需证明 OC CD.(2)利用 ADC ACB 可求得3【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. CD 为 O 的切线， OC CD.又 AD CD， OC AD.(2) AC 平分 DAB， DAC CAB. AB 为 O 的直径， ACB90.又 AD CD， ADC90， ADC ACB. ， AC2 ADAB.ADAC ACAB AD2，
4、 AC ， AB .5521利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系2常作的辅助线：(1)连接切点与圆心的半径(2)构造直径所对的圆周角如图 233，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，过 D 作 O 的切线交 AC 于 E.求证： DE AC.图 233【证明】 如图，连接 OD、 AD. AB 为 O 直径， AD BC.4 AB AC，即 ABC 为等腰三角形， AD 为 BC 边上的中线，即 BD DC.又 OA OB， OD 为 ABC 的中位线 OD AC. DE 切 O 于 D， OD D
5、E. DE AC.圆的切线的判定如图 234， AB 是 O 的直径， AE 平分 BAF 交 O 于点 E，过 E 作直线与AF 垂直，交 AF 的延长线于点 D，且交 AB 的延长线于点 C.求证： CD 是 O 的切线图 234【思路探究】 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：过半径的外端；该直线与某一条半径所在的直线垂直【自主解答】 如图，连接 OE. OA OE，12.又 AE 平分 BAF，23.13， OE AD. AD CD， OE CD. CD 与 O 相切于点 E.1解答本题的关键是证明 OE CD，而已知 AD CD，故只需证明 OE AD.2
6、判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法5(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直” ；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径” 图 235(2013洛阳模拟)如图 235，直角梯形 ABCD 中， A B90， AD BC， E为 AB 上的点， DE 平分 ADC， CE 平分 BCD，以 AB 为直径的圆与 CD 有怎样的位置关系？【解】 如题图，过 E 作 EF CD 于 F， DE 平分 ADC， CE 平分 BC
7、D， A B90， AE EF BE AB.12以 AB 为直径的圆的圆心为 E， EF 是圆心 E 到 CD 的距离，且 EF AB，12以 AB 为直径的圆与边 CD 是相切关系.圆的切线性质和判定定理的综合应用如图 236， AB 为 O 的直径， D 是 的中点， DE AC 交 AC 的延长线于BCE， O 的切线 BF 交 AD 的延长线于点 F.图 23 6(1)求证： DE 是 O 的切线；6(2)若 DE3， O 的半径为 5，求 BF 的长【思路探究】 (1)利用圆的切线判定定理证明(2)作 DG AB 于 G，利用 ADG AFB 求解【自主解答】 (1)连接 OD， D
8、 是 中点BC12. OA OD，23，13， OD AE. DE AE， DE OD，即 DE 是 O 的切线(2)过 D 作 DG AB，12， DG DE3.在 Rt ODG 中， OG 4，52 32 AG459. DG AB， FB AB， DG FB. ADG AFB， .DGBF AGAB ， BF .3BF 910 1031解答本题(2)的关键是作出辅助线 DG AB 于 G，然后利用三角形相似求解2对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果已知如图 237， A 是 O 上一点，半径 OC 的延长线与过点
9、 A 的直线交于 B 点，OC BC， AC OB.127图 237(1)求证： AB 为 O 的切线；(2)若 ACD45， OC2，求弦 CD 的长【解】 (1)证明：如图，连接 OA， OC BC， AC OB，12 OC BC CA OA， ACO 为等边三角形， O60， B30， OAB90， AB 为 O 的切线(2)作 AE CD 于点 E， O60， D30.又 ACD45， AC OC2，在 Rt ACE 中， CE AE ，2在 Rt ADE 中， D30， AD2 ， DE .2 6 CD DE CE .6 2(教材第 32 页习题 2.3 第 3 题)如图 238，
10、AB 是 O 的直径， BC 是 O的切线，切点为 B， OC 平行于弦 AD.求证： DC 是 O 的切线图 238(2013江苏高考)8图 239如图 239， AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D， C， AC 经过圆心 O，且 BC2 OC.求证：AC2 AD.【命题意图】 考查圆的切线性质、相似三角形的判定与性质考查推理论证能力及分析问题、解决问题的能力【证明】 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D， C，所以 ADO ACB90.又因为 A A，所以 Rt ADORt ACB.所以 .BCOD ACAD又 BC2 OC2 OD，故 AC2 AD.1 A
11、B 是 O 的切线，能确定 CD AB 的条件是( )A O CD B CD 过切点C O CD，且 CD 过切点 D CD 是 O 的直径【解析】 由切线的性质定理知，选项 C 正确【答案】 C2.图 2310如图 2310 所示，直线 l 与 O 相切， P 是 l 上任一点，当 OP l 时，则( )A P 不在 O 上9B P 在 O 上C P 不可能是切点D OP 大于 O 的半径【解析】 由切线性质定理的推论 1，经过圆心 O 垂直于切线 l 的直线必过切点，故P 为切点，应选 B.【答案】 B图 23113如图 2311， AP 为圆 O 的切线， P 为切点， OA 交圆 O
12、于点 B，若 A40，则 APB 等于( )A25 B20C40 D35【解析】 如图，连接 OP， AP 为圆 O 的切线， OPA90， A40， AOP904050. OP OB， OPB (18050)65.12 APB OPA OPB906525.【答案】 A4如图 2312， AB 是半圆 O 的直径， BAC30， BC 为半圆的切线，且BC4 ，则点 O 到 AC 的距离 OD_.3图 2312【解析】 如图， BC 为半圆的切线， AB BC.10又 BAC30， C60.设 AC 交半圆 O 于 E，连接 BE，则 BE AC， CBE30， EC BC2 ，12 3 BE
13、 6，BC2 EC2 43 2 23 2 OD BE3.12【答案】 3一、选择题1下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线其中正确的有( )A BC D【解析】 根据切线的定义及判定定理知正确【答案】 C2 AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， AC 交 O 于 D， AB6， BC8，则 BD 等于( )A4 B4.8 C5.2 D6【解析】 AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， AB CB， BD AC. AC 10，AB2 BC2 BD 4.8.ABBCA
14、C 6810【答案】 C11图 23133如图 2313 所示， O 是正 ABC 的内切圆，切点分别为 E、 F、 G，点 P 是弧 EG上的任意一点，则 EPF( )A120 B90C60 D30【解析】 如图所示，连接 OE、 OF. OE AB， OF BC， BEO BFO90. EOF ABC180. EOF120. EPF EOF60.12【答案】 C图 23144如图 2314 所示， AC 切 O 于 D， AO 的延长线交 O 于 B，且 AB BC，若AD AC12，则 AO OB( )A21 B11C12 D11.5【解析】 如图所示，连接 OD、 OC，则 OD AC
15、.12 AB BC， ODC OBC90. OB OD， OC OC， CDO CBO. BC DC. ， AD DC.ADAC 12 BC AC，12又 OB BC， A30， OB OD AO， .12 AOOB 21【答案】 A二、填空题5.图 2315(2013开封模拟)如图 2315，在 Rt ABC 中， ACB90，AC5， BC12， O 分别与边 AB、 AC 相切，切点分别为 E、 C.则 O 的半径是_【解析】 连接 OE，设 OE r， OC OE r， BC12，则 BO12 r， AB 13，122 52由 BEO BCA，得 ，BOAB OEAC即 ，解得 r .
16、12 r13 r5 103【答案】 1036(2012广东高考)13图 2316如图 2316 所示，圆 O 的半径为 1， A， B， C 是圆周上的三点，满足 ABC30，过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA_.【解析】 连接 OA. AP 为 O 的切线， OA AP.又 ABC30， AOC60.在 Rt AOP 中， OA1， PA OAtan 60 .3【答案】 3三、解答题图 23177如图 2317， AB 是 O 的直径， BAC30， M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 E
17、N 于点 F，且 ECF E.求证： CF 是 O 的切线【证明】 如图，连接 OC， AB 是 O 的直径， ACB90. BAC30， ABC60，14又 OB OC. OCB OBC60，在 Rt EMB 中， E MBE90， E30. E ECF， ECF30， ECF OCB90.又 ECF OCB OCF180， OCF90. CF 为 O 的切线8如图 2318， AB 是 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CD AB 于E， POC PCE.图 2318(1)求证： PC 是 O 的切线；(2)若 OE EA12， PA6，求 O 半径【解】 (1)证明：在 OC
18、P 与 CEP 中， POC PCE， OPC CPE， OCP CEP. CD AB， CEP90， OCP90.又 C 点在圆上， PC 是 O 的切线(2)法一 设 OE x，则 EA2 x， OC OA3 x. COE AOC， OEC OCP90， OCE OPC， .OCOE OPOC即(3 x)2 x(3x6)， x1， OA3 x3，即圆的半径为 3.法二 由(1)知 PC 是 O 的切线， OCP90.又 CD OP，由射影定理知 OC2 OEOP，以下同法一9如图 2319， AD 是 O 的直径， BC 切 O 于点 D， AB、 AC 与圆分别相交于点E、 F.15图
19、2319(1)AEAB 与 AFAC 有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线 BC 向上或向下平移，得到图(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？【解】 (1) AEAB AFAC.证明：连接 DE. AD 为 O 的直径， DEA90.又 BC 与 O 相切于点 D， AD BC，即 ADB90， ADB DEA.又 BAD DAE， BAD DAE， ，即 AD2 ABAE.ABAD ADAE同理 AD2 AFAC， AEAB AFAC.(2)(1)中的结论仍成立因为 BC 在平移时始终与 AD 垂直，设垂足为 D，则 AD B90. AD 为圆的直径， A
20、ED AD B90.又 DAE BAD. ABD ADE. ， ABAE ADAD.ABAD ADAE同理 AFAC ADAD，故 AEAB AFAC.1610.如图，正方形 ABCD 是 O 的内接正方形，延长 BA 到 E，使 AE AB，连接 ED.(1)求证：直线 ED 是 O 的切线；(2)连接 EO 交 AD 于点 F，求证： EF2 FO.【解】 (1)证明：连接 OD.四边形 ABCD 为正方形，AE AB， AE AB AD， EAD DAB90. EDA45， ODA45. ODE ADE ODA90.直线 ED 是 O 的切线(2)作 OM AB 于 M. O 为正方形的中心， M 为 AB 的中点 AE AB2 AM， AF OM. 2， EF2 FO.EFFO AEAM
