1、1专题一 智者千虑有一失 例谈集合中的空集在数学解题过程中，常常因 考虑不周而造成求解不全，甚至错误。而这些问题正是帮助学生澄清概念，培养思维严密性的绝好素材。正所谓“智者千虑，必有一失” ，而在解决集合问题时，空集经常是那“一失” 。【金题典例 1】 （必修 1 第 44 页复习参考题 A 组第 4 题）已知集合 21Ax，集合 1Bxa，若 AB，求实数 a的值.【错解】由题； 1,， ,BA 1或 B，解得； 1a。【错题剖析】本题以方程的解为载体，考查了集合的子集概念。易忽视空集的情况，即空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。概念不清造成漏解。【正解】 由题； 1,A， , 当
2、 B时，则 0a，而 1时， a；1B时， a；综上可得； 01a。变式 1. 2|60Ax， |10Bxm，且 AB，则 m的取值是_.【答案】 10,3m【解析】由 2603,2Ax，当 B 时， 0 ，当 时， 1x ，所以 1 或 ,所以 1m或 ,所以 1,23m变式 2关于 x 的不等式 2680kx的解集为空集，求实数 k 的取值范围.2【 答 案 】 1,0【解析】 （1）当 k 时，原不等式化为 80，为空集，符合题意；(2)当 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足：0)8(4)6(02kk解得 1，综合(1)(2)得 的取值范围为 1,0.变式 3.已知 AxBxm|
3、 | 23121， ，若 AB，求实数 m 的范围。【答案】 (，1下列说法中，正确的是（ ）A空集没有子集 B空集是任何一个集合的真子集C空 集的元素个数为零 D任何一个集合必有两个或两个以上的子集2下列四个集合中，是空集的是（ ）A 3|x B ,|),(2RyxyxC 0|2 D 01|23. B，MP|P 为 A 的子集，NQ|Q 为 B 的子集，那么（ ）3A. MN B. MNC. AB D. AB4.已知集合 0xa，集合 1Bxa，若 ，实数 a的值为_.5.已知集合 269m若 ，则 m的取值范围为_.6若关于 x 的不等式|x1|x2|a 2+a+1（xR）的解集为空集，则
4、实数 a 的取值范围是 7已知集合 2|10,AaxR， a为实数.（1）若 是空集，求 的取值范围；（2）若 是单元素集，求 的值；（3）若 中至多只有一个元素，求 a的取值范围.8已知： 01)(2|,04| 22 axxBxA （1）若 ,B求 的值；（2）若 求 a的值.9已知集合 |210Axm，其中 mR，集合 102xB.（1）当 2时，求 B；（2）若 B，求实数 的取值范围.10已知集合 A=,R,01)2(| xaxB 0|x，试问是否存在实数 a，使得 AB=？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.11已知函数 4log,16fx的值域是集合 A，关于 x的不等式
5、 312xaR的解集为 B，集合 5|0C，集合 |120Dxmm.（1）若 A，求实数 a的取值范围；（2）若 D，求实数 m的取值范围.4参考答案1C【解析】A空集是任何集合的子集，即 A 不正确；B空集是任何一个非空集合的真子集，故 B 不正确；C 空集不含有任何元素，故 C 正确；D 空集只有 1 个子集，即 D 不正确故选 C2D【解析】A 中 |30x；B 中 2(,)|,0,xyxyR；C 中 2|； D 中 |13.B5.【答案】 (1,3)【解析】集合 23Ax，集合 9Bxm若 B，则 92m或 3即 1或 3那么 ，则 1评注：本题正面考虑不太好想，所以采用了“反 证法”
6、的“正难则反”的思想，从反面入手先解得满足 AB的 的取值范围，再利用补集思想转回来解决了问题所以只要 是出现 AB求参数范围的问题，我们都可以从它的对立面利用 解决问题方便的原则来考虑6.【答案】 （，1）（0，+）【解析】分析：根据绝对值的性质，我们可以求出|x1|x2|的最大值，结合不等式|x1|x2|a 2+a+1（xR）的解集为空集，可得|x1|x2|a 2+a+1恒成立，即 a2+a+1 大于|x1|x2|的最5大值，解不等式可得实数 a 的取值范围解：|x1|x2|=|x1|2x|x1x+2|=1若不等式|x1|x2|a 2+a+1（xR）的解集为空集，则|x1|x2| a 2+
7、a+1 恒成立，即 a2+a+11解得 x1 或 x0，实数 a 的取值范围是（，1）（0，+）反思：本题考查的知识点是绝对值不等式的 解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式左边的最值是解答的关键7.【答案 】 （1） a （2）0 或 1； （3）9 或 1a.【解析】分析：（1）由方程无解列 0， ，解不等式可得 a的取值范围；（2）按一次与二次分类讨论方程解的个数：当 时， 2x；当 0时， .解方程可得 a的值；（3） A中至多只有一个元素，就是（1）与（2）两者情况，所以取并集得 的取值范围.试题解析：（1）若 A是空集，则只需 21a无实数解， 0显然方程显然有解，故
8、 0a，所以只需 40a，即 1即可.当 0a时，原方程化为 2x解得 2x；当 0a时，只需 4a.即 1，故所求 的值为 0 或 1；综合（1） （2）可知， A中至多有一个元素时， 的值为 9 或 1.8.【答案】 （1） a（2） 或 a.9.【答案】(1) |2 x ；(2) 为 32m或 .6【解析】分析：(1)求解分式不等式得到集合 B，然后求解二次不等式得到集合 A，最后去并集可得 |2 ABx；(2)由题意得到关于实数 m 的不等式组，求解不等式组可得实数 m的取值范围是 3m或 .解析：（1）集合 1|0 |21 2xx 当 2时， ， 可化为 20，解得 12x，所以集合
9、 1|2 Ax， 故 | ABx （2）方法一：（1）当 时， 13m，不符合题意。（2）当 时， 13.当 m，即 时， |21 Ax又因为 BA，所以132 ，所以 m 当 21m，即 3时， |1 Ax又因为 BA，所以12 m，所以 32 综上所述：实数 的取值范围为 或 方法二：因为 BA，所以对于 |21 xBx， 210mx恒成立. 令 21fxmx，则 0 f，即 1210， 解得 3或 ，所以实数 的取值范围为 3m或 10.【答案】存在满足条件 AB=的实数 a,其取值范围是（-4， +）7【解析】方法一 假设存在实数 a 满足条件 AB=，则有（1）当 A时，由 AB ,
10、B=0|Rx，知集合 A 中的元素为非正数，设方程 x2+(2+a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系，得 01;0,)(42xaa得（2）当 A 时 ，则有 2()4 ，解得； 40a综上（1） 、 （2） ，知存在满足条件 AB= 的实数 其取值范围是 (,)11.【答案】 （1） ,4；（2） 0,3.【解析】分析（1）依据题设条件先求出 2,1A，再解不等式由 312xaR求得 ,4aB，然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式 4的解集，得到实数的取值范围为 ,.（2）依据题设条件解不等式 501x求得 1,5C，再借助 DC，分 D和 两种情形分类求出 02m和
11、3，最后再整合求出实数 m的取值范围.解析：（1）因为 41，所以 fx在区间 146， 上单调递增，所以 4 4minmaxlog2,log6fxf，所以 2,1A.由 312axR，可得 3，即 3xa，8所以 4ax，所以 ,4aB.又因为 A，所以 A 所以 1，解得 4a，所以实数 a的取值范围为 ,（2）由 501x，解得 15x，所以 ,5C因为 DC，当 m，即 2m时， D，满足 ；当 12，即 时， ，所以 5，解得 3，又因为 2m，所以 ， 综上所述，实数 m的取值范围为 0,3.反思：解答本题的第一问时，先 依据题设条件先求出 2,1A，再解不等式由312xaR求得集
12、合 ,4aB ，然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式4的解集，得到实数 a的取值范围为 ,.第二问的求解依据题设条件解不等式 501x求得1,5C，再借助 DC分 和 两种情形分类求出 02m和 3，最后再整合求出实数 m的取值范围是 0,3.9在集合中有一 个特殊的集合空集，而且作为初学者，空集是一个难理解的抽象的概念，同时也是在解题过程中常常容易忽略的一个知识点。1.理解空集的概念：空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作符号 .我们可以举几个在数学解题中经常出现的空集的形式，比如方程、不等式无解的情况来理解空集的概念：例如方程无解 2|1xR=-；不等式的解集 |21xR为空集.2.几个“相近”概念的理解：问题思考：0，0， ,， 之间有什么关系？ 解：元素与集合的关系： .0， ， ， 0集合与集合的关系：.， ，从以上的关系，我们可以发现：由于数字 0，在人们的观念里表示“没有” ，所以容易和空集的概念进行混淆，于是对上面 4 个概念要区分清楚：（1）0 只是一个数字. （2）0是含有一个元素 0 的集合.（3） 是不含有任何元素的集合，即空集. （4） 是含有一个元素 的集合.同时要注意两点：1.空集是任何集合的子集；2.空集是任何非空集合的真子集.
