1、步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 12008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数 学（理）一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分)1已知 ，复数 的实部为 ，虚部为 1，则 的取值范围是（ ）02azazA B C D(5)， (13)， ()， (13)，2记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）nnS1240S6A16 B24 C36 D483某校共有学生 2000名，各年级男、女生人数如表1已 知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概 率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A24 B18
2、C16 D12 表 14若变量 满足 则 的最大值是（ ）xy， 2405xy， 32zxyA90 B80 C70 D405将正三棱柱截去三个角（如图 1所示） ，A 、B、C 分别是 三边的中点得到几何GHI体如图 2，则该几何体按图 2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）6已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命:p:q题的是（ ）A B C D()q()p()pq7设 ，若函数 y=eax+3x， 有大于零的极值点，则（ ）aRR一年级 二年级 三年级女生 373 xy男生 377 370 z步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 2A B C D3a
3、3a13a13a8在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线CDAOE， AE与 交于点 若 ， ，则 （ ）FabFA B C D142ab13124ab23ab二、填空题(本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分)（一）必做题（912 题）9阅读图 3的程序框图，若输入 ，n=3，则输出m， ai（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）:10已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于26(1)kx8x120，则 11经过圆 的圆心 ，且与直线 垂220yC0y直 的直线方程是 12已知函数 ， ，则()sinco)sifxxR的 ()f
4、x最小正周期是 （二）选做题（13-15 题，考生只能从中选做两题）13 （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的极坐标方 12C，程分别为 ， ，cos34cos0， 则曲线 与 交点的极坐标为 1C214 （不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，aRx2104xa则 的取值范围是 a15 （几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， 是圆 的PAOA2PCO直径， 与圆 交于点 ， ，则圆 的半径 PCOB1R开始 1in 整除a? 是输入 mn，结束输出 i， 1i 图 3否步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 3AyxO BGFF1图 4三、解答题（本大题共 6小题
5、，满分 80分）16 （ 13分）已知函数 ， 的最大值是 1，其()sin()0)fxA， xR图象经过点 132M，（1）求 的解析式；()fx（2）已知 ，且 ， ，求 的值02， ， 3()5f12()3f()f17 （ 13 分）随机抽取某厂的某种产品 200件，经质检，其中有一等品 126件、二等品 50件、三等品 20件、次品 4件已知生产 1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2万元、1 万元，而 1件次品亏损 2万元设 1件产品的利润（单位：万元）为 （1）求 的分布列；（2）求 1件产品的平均利润（即 的数学期望） ；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降
6、为 ，一等品率提高%为 如果此时要求 1件产品的平均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多70%少？18 （ 14 分）设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 0b21xyb如图 4所示，过点 作 轴的平行线，28()xy(0)F， x与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 处切线经GG过椭圆的右焦点 1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得AB， P为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体P求出这些点的坐标）步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 419 （ 14分）设 ，函数 ， ，
7、 ，试kR1()xfx， ， ()FxfkxR讨论函数 的单调性()Fx20 （14 分）如图 5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边PABCDR形，其中 是圆的直径， ， ， 垂直底面 ，BD6045PABCD， 分别是 PB、CD 上的点，且 ，过点 作 的平行线交2PREF， EF于 CG（1）求 与平面 所成角 的正弦值；AP（2）证明： 是直角三角形；（3）当 时，求 的面积12EBG21 （ 12分）设 p、q 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足20xpqnx， ， （ ） 1x212nnxpq34， ，（1）证明： ， ；（2）求数列 的通项公式；nx（3）若 ，
8、 ，求 的前 项和 p14qnxnS图 5步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 5参考答案一、选择题1.C 2. D 3. C 4. C 5.A 6.D 7.B 8.B二、填空题 912,3 101 11. 1210xy13 14 15(23,)640a3三、解答题16解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得1A()sin)fx1(,)32M，sin()32而 ， ， ，故 ；05362()sin)cosfxx（2）依题意有 ，而 ，1cos,s320，22345sin1(),in()51.312456(coscsosinf17解：（1） 的所有可能取值有 6，2，1，-2. ，(6)0.3
9、P, ，50(2).P0().P22故 的分布列为：6 2 1 -2P0.63 0.25 0.1 0.02（2） （万元）0.3.510.().24.3E（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时 1件产品的平均利润为xE(x)=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)0.01=4.76-x(0x0.29)步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 6依题意，知 ，即 ，解得()4.73Ex.64.73x0.3x所以三等品率最多为 %18解：（1）由 得 ，28()yb218b当 得 ， G 点的坐标为 ，yb4x(4,)， ，4|1x过点 G 的切线方程为 ，即 ，(2)ybx2yx
10、b令 得 ， 点的坐标为 ，0y2x1F(,0)由椭圆方程得点 的坐标为 ， 即 ，1(,0)1即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；2xy28()xy（2） 过点 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ,AP以 为直角的 RtABP 只有一个；同理，PB以 为直角的 RtABP 也只有一个.若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为P21(,)8xAB和 ， .(2,0)(,) 014561222 xBA关于 的一元二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 RtABPx xAPB有两个，因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形.P19解：，1,1,()kxFxf21,1,()kxF
11、x对于 ，()(1)kx当 时，函数 在 上是增函数；0kF,当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；()x,1)k1(,)k对于 ，)(kxF步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 7当 时，函数 在 上是减函数；0k()Fx1,当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数.24,k,412k20解：（1）在 RtBAD 中，60ABD,3RAD而 PD 垂直底面 ABCD， 222()(3)1PRR,2()(P在PAB 中， ,即PAB 为以 为直角的三角形.2ABPAB设点 到面 的距离为 h,D由 有 PAABh=ABADPD,PABPV即 ,1623RRh .16sinBD(2
12、)证明： ,而 ,/,PEGCDFBC即 GFPD, ，而 BCEG， ,FGPGE是直角三角形.E（3）解：当 时， , ,12B13CP23D即 ,324,45sin3 RPFRR .9432212GFESF 21 （1）证明：由求根公式，不妨设 ，得224,pqpq，2244pqpq 224（2）解：设 ，则 ，由112()nnxstxs12()nnxststx12nxpq步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 8得， ，消去 ，得 ， 是方程 的根，stpqt20spqs20xpq由题意可知， 12,当 时，此时方程组 的解记为stpq21tst或112(),nnxx(),nnxx 、
13、 分别是公比为 、 的等比数列，tt1s2由等比数列的性质可得 , ,12()nnxx 2121()nnxx两式相减，得 221()()， ，21,xpqx2x，nn22)( nn2212)(， ， （）1nx1nx1nnx当 时，即方程 有重根， ，20pq240pq即 ，得 ，不妨设 ，由可知2()40st(),ststst， ，2121(nnxx2121()nnxx，等式两边同时除以 ，得 ，即n n1nx数列 是以 1为公差的等差数列，n 1()nxnx综上所述，1,()n（3）解：把 ， 代入 ，得 ，解得1p4q20xpq2104x12nnx2步步高系列丛书努力每一天，成 绩步步高 9 nnnS 2121321213 =1- nn 3111()2()()()22nnnn
