1.3.1 相似三角形的判定 学案（人教A版选修4-1）.doc

1、三 相似三角形的判定及性质1 相似三角形的判定课标解读1.了解三角形相似的定义2.掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法.1相似三角形的有关概念(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(2)相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比( 或相似系数)2预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似3相似三角形的判定定理名称 定理内容 简述判定定理 1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 两角对应相等，两三角形相似判定定理 2对于任意两个三角形，如果一个三

2、角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 三边对应成比例，两三角形相似.4.引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例 ，那么这条直线平行于三角形的第三边5直角三角形相似的判定(1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角形(2)定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似(3)定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似(4)定理 3：如果一

3、个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似1用符号表示相似三角形时，应注意哪些问题？【提示】 (1)用符号表示相似三角形时，在两个相似三角形中，三边对应成比例，即 ，每个比的前 项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另ABA B BCB C CAC A一个三角形的对应边，它们的位置不能写 错(2)用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以很快地找到相似三角形的对应角或对应边如若 ABCDEF，则 A D，B E，CF， ABDE .ACDF BCEF2三角形相似的判定定理一是最常用的判断方法，使用此判定方法解题

4、的常用基本图形有哪几种？【提示】 (1)平行线型：(2)相交线型：(3)旋转型：3直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形是什么关系？【提示】 分成的两个直角三角形与原三角形相似相似三角形的判定如图 131，已知 ，求证：ABDACE.ABAD BCDE ACAE图 131【思路探究】 由于已知 ，得 ，则要证明 ABDACE，只需证明ABAD ACAE ABAC ADAEDABEAC 即可【自主解答】 因为 ，所以 ABCADE.ABAD BCDE ACAE所以BAC EAD， BACDAC EAD DAC，即 DABEAC.又 ，即 ，ABAD ACAE ABAC ADAE所以A

5、BDACE.1本题中，DAB 与EAC 的相等关系不易直接找到，这里用BAC EAD，在 BAC和 EAD中分别减去同一个角 DAC，间接证明2判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就推 导出这些条件图 132如图 132，已知在ABC 中，ABAC ，A36，BD 是角平分线，证明：ABC BCD.【证明】 A36，ABAC ，ABCC72.又 BD平分ABC ，ABDCBD36ACBD.又C C，ABCBCD.证明线段成比例如图 133，已知ABC 中，BAC 90，AD BC 于 D，E 是AC 的中点，连接 ED

6、并延长与 AB 的延长线交于 F.求证： .ABAC DFAF图 133【思路探究】 由条件知：AB ACBDAD，转证 BDAD DFAF，变为证 FADFDB.其中 BDAD正是两对相似三角形的中间比【自主解答】 BAC90， ADBC，CBAD， RtADBRtCDA.ABACBDAD.又 E是 AC的中点，AEDEEC，DAEADE ，BADBDF .又F F，FDBFAD.BDADDFAF，即 ABACDFAF.1本题根据 ，把欲证明的问题转化为证明 是解题的关键ABAC BDAD BDAD DFAF2求证的成比例线段所在的三角形不相似 时， 应考虑用中 间比过渡，也就是转证其他三角

7、形相似，得到比例线段，最后得证结论(2013郑洲模拟)已知如图 1 34，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且BP 3PC，Q 是 CD 的中点求证：ADQQCP.图 134【证明】 在正方形 ABCD 中，Q 是 CD 的中点， 2.ADQC 3， 4.BPPC BCPC又 BC2DQ， 2.DQCP在ADQ 和 QCP 中， ，CD90 ，ADQC DQCPADQ QCP .证明两直线平行如图 135，D 为ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作DEBC ，DF AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH.图 135求证：GHAB.【思路探究】 结合图形

8、的特点可以先证比例式 成立，再 证EGH EDB，由EGED EHEB此得 EHGEBD 即可【自主解答】 DEBC， ，即 ，GEFC AGAF DGFB GEDG CFFB又 DFAC， .EHHB CFFB ， ，GEDG EHHB GEED EHEB又GEH DEB ，EGHEDB，EHGEBD，GHAB.1由平行线可以得到比例式，由比例式也可以确定两直线 的平行关系2证明平行关系时，可以由引理找到比例式得证，也可以使用平行线的其他判定方法图 136如图 136，在平行四边形 ABCD 中，直线 EFAB，在 EF 上任取两点 E、F，连接 AE、BF、DE、CF，分别交于 G、H，连

9、接 GH.求证： GHBC.【证明】 四边形 ABCD为平行四边形，ABCD，AB CD.又 EFAB，ABEFCD，BAGFEG，DCHEFH， ， ， ，FGBG EFABFECD FHCH FGGB FHHCGHBC.(教材第 19 页习题 1.3 第 7 题)如图 137，ABC 是钝角三角形，AD、BE、 CF分别是ABC 的三条高，求证：ADBCBEAC.图 137(2011陕西高考) 如图138，BD，AE BC ，ACD90 ，且 AB6 ，AC4，AD12，则AE _.图 138【命题意图】 本题依托三角形求值问题，主要考 查相似三角形的判定，同时考查了学生的计算能力【解析】

10、 由B D，AEBC 及 ACD90 可以推得：RtABERtADC，故 AE 2.AEAC ABAD 6412【答案】 2图 1391如图 139 所示，在ABC 中，FD GEBC，则与AFD 相似的三角形有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个【解析】 FDGE BC，AFDAGEABC.【答案】 B2给出下列四个命题：三边对应成比例的两个三角形相似；一个角对应相等的两个直角三角形相似；一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；一个角对应相等的两个等腰三角形相似其中正确的命题是( )A BC D【解析】 都是判定定理，显然正确，中若相等的角是直角，则不一定相似，故不正确 中，若相等的角在

11、一个三角形中是 顶角，在另一个三角形中是底角，则不一定相似，故不正确【答案】 A3如图 1310 所示，DE 与 BC 不平行，当 _时，ABCAED.ABAC图 1310【解析】 ABC 与AED 有一个公共角 A，当 A的两夹边对应成比例，即 时，ABAC AEAD这两个三角形相似【答案】 AEAD4如图 1311 所示，在ABC 中，ACB 90 ，CDAB，AC6，AD3，则AB _.图 1311【解析】 在ACD 和ABC 中，AA，ADC ACB90.ACDABC， ，ACAB ADAC ，AB12.6AB 36【答案】 12一、选择题1.图 1312如图 1312，每个大正方形均

12、由边长为 1 的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分 )与 ABC 相似的是( )【解析】 ABC 中，AB ，BC2， ABC135.2选项 A 的三角形，有一个内角为 135，且该角的两边长分别为 1 和 ，根据相似三角形2的判定定理 2 知，两三角形相似，故选 A.【答案】 A图 13132如图 1313，在ABC 中，M 在 BC 上，N 在 AM 上，CMCN ，且 ，AMAN BMCN下列结论中正确的是( )AABM ACBBANC AMBCANC ACMDCMNBCA【解析】 CMCN，CMNCNM ，AMBCNMMCN，ANCCMN MCN，AMBANC.又 ，ANCAM

13、B.AMAN BMCN【答案】 B图 13143如图 1314，正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AFDE 于点 O，则 等于( )AODOA. B.255 13C. D.23 12【解析】 AFDE，RtDAORtDEA， .AODO AEDA 12【答案】 D图 13154如图 1315 所示，已知点 E、F 分别是ABC 中 AC、AB 边的中点，BE、CF相交于点 G，FG2，则 CF 的长为( )A4 B4.5C5 D6【解析】 E、F 分别是ABC 中 AC、AB边的中点，FEBC ，由相似三角形的预备定理，得FEGCBG， .FGGC EFBC 12又 FG2， GC4

14、， CF6.【答案】 D二、填空题图 13165(2013洛阳模拟)如图 1 316，BD，AEBC，ACD90，且AB 6，AC4 ，AD 12，则 AE_.【解析】 由于B D，AEBACD，所以 AEBACD，从而得 ，所以ABAD AEACAE 2.ABACAD【答案】 2图 13176如图 1317，在平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DEEC12，则BF BE_.【解析】 DEEC 12，DCEC3 2，ABEC32.ABEC，ABFCEF， ， .BFEF ABEC 32 BFBE 35【答案】 35图 1318三、解答题7如图 1318 所示，四边形 ABCD 是

15、平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F.求证：(1)ABEADF；(2)EAFABC.【证明】 (1)由题意可知，D B，AEBAFD90，ABE ADF.(2)由(1)知ABEADF ， ，BAE DAF，ABAD AEAF又 ADBC， .ABBC AEAFAFCD，CDAB，ABAF .BAE EAF90.又AEBC， BAEB90EAF B，ABCEAF .图 13198已知如图 1319，ABC 中，ABAC ，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作CFAB ，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于点 F.求证：BP 2PEPF.【证明】 连接 PC.ABAC，A

16、BC ACB.AD是中线， AD垂直平分 BC，PBPC，PBDPCD.ABPACP.又 CFAB，ABPF ACP，而CPE FPC.PCEPFC. ，PC2PE PF，PEPC PCPF即 BP2PEPF.图 13209如图 1320，某市经济开发区建有 B、C、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区 A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB CD900 米，ADBC1700 米自来水公司已经修好一条自来水主管道 AN，B、C两厂之间的公路与自来水主管道交于 E 处，EC500 米若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价 800 元(1)要使

17、修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】 (1)如图， 过 B，C，D分别作 AN的垂线段 BH，CF，DG交 AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线(2)在 RtABE 中，AB900 米，BE1 7005001 200 米，AE 1 500(米)，1 2002 9002由ABE CFE，得到 ，CFAB CEAE即 ，CF900 5001 500可得 CF300(米)由BHECFE，得 ，BHCF BECE即 ，可得 BH720(米) BH300 1 200500

18、由ABE DGA，得 ，ABDG AEAD即 ，900DG 1 5001 700可得 DG1020(米)所以，B，C，D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是 720800576 000(元)，300800240 000(元)，1 020 800816 000( 元)10如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，M 是 AD 上一点，BM ，CM 的延长线分别交AC，AB 于 F， E 两点求证：EFBC.【证明】 法一 延长 AD至 G，使 DGMD，连接 BG，CG，如右图所示BDDC，MDDG，四 边形 BGCM为平行四边形ECBG，FBCG. ， .AEAB AMAGAFAC AMAG ，EFBC.AEAB AFAC法二 过点 A作 BC的平行线，与 BF，CE 的延长线分别交于 G，H两点，如图所示AHDC，AGBD， ， . .AHDC AMMDAGBD AMMDAHDC AGBDBDDC，AHAG .HGBC， ， .AEEB AHBCAFFC AGBCAHAG， .EFBC.AEEB AFFC法三 过点 M作 BC的平行线，分 别与 AB，AC交于 G，H两点，如右图所示则 ， .GMBD AMADMHDC AMAD .GMBD MHDCBDDC，GM MH.GHBC， ， .EMEC GMBCFMFB MHBCGMMH， .EFBC.EMEC FMFB