1、 第 1 页 共 7 页 21.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 预习梳理1.圆的参数方程点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 都是 t 的函数：(t 为参数)x rcos t，y rsin t)我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为 r 的圆的参数方程圆的圆心为 O1(a， b)，半径为 r 的圆的参数方程为：(t 为参数)x a rcos t，y b rsin t)预习思考1圆 x2 y216 的参数方程为：_2圆( x6) 2 y24 的参数方程为：_ ,预习思考1. (t 为参数)x 4cos t，y 4sin t)2. ( 为参数 )x 6 2cos ，y 2sin )圆的参数
2、方程与普通方程互化圆的参数方程应用一 层 练 习1圆( x1) 2 y24 上的点可以表示为( )A(1cos ，sin )B(1sin ，cos )C(12cos ，2sin )D(12cos ，2sin )1D 2 P(x， y)是曲线 (0 ， 是参数 )上的动点，则 的取值x 2 cos ，y sin ) yx第 2 页 共 7 页 范围是( )A. B.33， 0 33， 33C. D.0，33 ( ， 332.A3曲线 C： ( 为参数)的普通方程为_ 如果曲线 C 与直线x cos ，y 1 sin )x y a0 有公共点，那么 a 的取值范围是_3 x2( y1) 21 1
3、，1 2 24直线 (t 为参数， 0 )与圆 ( 为参数)相x tcos ，y tsin ) x 4 2cos ，y 2sin )切，则 _4. 或 6 565指出下列参数方程表示什么曲线：(1) ；x 3cos ，y 3sin )( 为 参 数 ， 0 2)(2) (t 为参数， t2)；x 2cos t，y 2sin t)(3) ( 为参数， 0 2)x 3 15cos ，y 2 15sin )5解析：(1)由 ( 为参数)得 x2 y29.x 3cos ，y 3sin )又由 0 ，得 0 x3，0 y3， 2所以所求方程为 x2 y29(0 x3 且 0 y3)这是一段圆弧(圆 x2
4、 y29 位于第一象限的部分)(2)由 (t 为参数 )得 x2 y24.x 2cos t，y 2sin t)由 t2，得2 x2，2 y0.所求圆方程为 x2 y24(2 x2，2 y0)这是一段半圆弧(圆 x2 y24 位于 y 轴下方的部分，包括端点)(3)由参数方程 ( 为参数)得( x3) 2( y2) 215 2，由x 3 15cos ，y 2 15sin )0 2 知这是一个整圆弧二 层 练 习第 3 页 共 7 页 6已知 ( 为参数)，则 的最大值为x 2 cos ，y sin ) （ x 5） 2 （ y 42）_667在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数
5、方程分别为：C1： ，x 5cos ，y 5sin )( 为 参 数 ， 0 2)C2： (t 为参数)，x 1 22t，y 22t )它们的交点坐标为_7(2，1)8在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为：C1： 和 C2： ( 为参数)，它们的交点坐标为x t，y t)(t为 参 数 ) x 2cos ，y 2sin )_8(1，1)9已知曲线 C 的极坐标方程是 2cos .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为_9. ( 为参数 )x 1 cos ，y sin )10已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) ， C 在
6、点(1，1)处的切线为x 2cos t，y 2sin t)l，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为_10 sin ( 4) 2三 层 练 习11直角坐标系 xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A， B 分别在曲线 C1： ( 为参数)和曲线 C2： 1 上，则| AB|的最大值x 2 cos ，y 5 sin )为_11512.(2015广州一模)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为第 4 页 共 7 页 ( 为参数 )和 (t 为参数 )以原点 O 为极点， x 轴正半x cos sin ，y co
7、s sin ) x 2 t，y t )轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 C1与 C2的交点的极坐标为_12.(2， 4)13如下图所示，已知定点 A(2，0)，点 Q 是圆 C： x2 y21 上的动点， AOQ 的平分线交 AQ 于点 M，当 Q 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹方程13解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则|AM|d |OA|OM|sin AOM，12 12|QM|d |OQ|OM|sin QOM.12 12又 AOM QOM，所以 .|AM|QM| |OA|OQ| 21所以 .AM 23AQ 因为点 Q 是圆 x2 y21 上的点，所以设点 Q 坐标为(cos ，s
8、in )， M(x， y)，得(x2， y0) (cos 2，sin 0)，23即 x cos ， y sin ，23 23 23两式平方相加，得 y2 ，(x23)2 49故点 M 的轨迹方程为 y2 .(x23)2 4914(2015福建卷，数学理)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为(t 为参数) 在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且x 1 3cos ty 2 3sin t)第 5 页 共 7 页 以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 sin( )2 4m，(mR)(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；(
9、2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值14分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得( x1) 2( y2) 29，利用x cos ， y sin 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解解析：(1)消去参数 t，得到圆的普通方程为( x1) 2( y2) 29，由 sin( 2) m，得 sin cos m0， 4所以直线 l 的直角坐标方程为 x y m0.(2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即 2，解得 m32|1 （ 2） m|2.21利用参数求曲线的轨迹方程(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：确定参数；求出参数
10、方程；消参；得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等2参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性例如，参数方程 消去参数 后的 x y1 ，它表示一条直线对吗？这是x cos2 ，y sin2 )不对的因为在参数方程 中， x， y 的取值范围是 0，1，所以x cos2 ，y sin2 )第 6 页 共 7 页 表示的是一条线段 x y1(0 x1)，而不是直线 x y1.x cos2 ，y
11、sin2 )3关于求 x、 y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解【习题 2.1】1解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为 x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为 (t 是参数，表示时x 100t，y 12gt2)间)，令 x1000，解得 t10.当 t10 时，由方程得到y g102 9.8102490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为 490 m.12 122解析：解法一 设经过时间 t，动点的位置是 M(x， y)，那么有x23 t， y14 t，于是点 M 的轨迹的参数方程为 (以时间 t 为
12、参数)x 2 3t，y 1 4t)解法二 设 M(x， y)是直线上任意一点，它与 M0(2，1)的有向距离为 t，根据已知条件，由速度合成的知识可知 x2 t， y1 t，于是点 M 的轨迹的参数方程为35 45(以位移 t 为参数 )x 2 35t，y 1 45t)3证明：不妨设 ABC 的外接圆的半径为 1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，第 7 页 共 7 页 使点 B， C 关于 x 轴对称，那么外接圆的参数方程是 ( 是参数)，x cos ，y sin )A， B， C 的坐标分别为(1，0)， ， .设点 M(cos ，sin )，则(12， 32) ( 12， 32)|MA
13、|2| MB|2| MC|2(cos 1) 2sin (cos 12)2 (sin 32)2 6.(cos 12)2 (sin 32)2 4解析：(1)消去 t 得 y2 x7，即普通方程为 y2 x7，表示直线(2)ycos 2 12cos 2 112 x2， xcos ，1 x1.普通方程为 y2 x2(1 x1)，表示以(1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧(3) (t 为参数)， 两式相减得 x2 y24，即普通方程x t 1t，y t 1t) x2 t2 1t2 2，y2 t2 1t2 2， )为 x2 y240，表示双曲线(4) ( 为参数 )，cos ，sin ，cos 2 sin x 5cos ，y 3sin ) x5 y32 1，普通方程为 1，表示椭圆x225 y29
