1、 第 1 页 共 5 页 排序不等式一、选择题1设 ab0，Pa 3b 3，Qa 2bab 2，则 P 与 Q 的大小关系是( )APQ BPQCP0，a 2b 20.因此 a3b 3a 2bab 2.(排序不等式)则 PQ .【答案】 B2设正实数 a1，a 2，a 3 的任一排列为 a 1，a 2，a 3，则 a1a 1 a2a 2的最小值为( )a3a 3A3 B6C9 D12【解析】 设 a1a 2a 30，则 0，由乱序和不小于反序和1a3 1a2 1a1知 3，a1a 1 a2a 2 a3a 3 a1a1 a2a2 a3a3 的最小值为 3，故选 A.a1a 1 a2a 2 a3a
2、 3【答案】 A3若 Ax x x ，Bx 1x2x 2x3x n1 xnx nx1，其中21 2 2nx1，x 2，x n都是正数，则 A 与 B 的大小关系为( )AA B BABCAB DAB【解析】 依序列x n的各项都是正数，不妨设 0x 1x 2x n，则第 2 页 共 5 页 x2，x 3，x n，x 1 为序列x n的一个排列依排序原理，得x1x1x 2x2x nxnx 1x2x 2x3x nx1，即x x x x 1x2x 2x3x nx1.故选 C.21 2 2n【答案】 C4已知 a，b，c 为正实数，则 a2(a2bc )b 2(b2ac)c 2(c2ab)的正负情况是
3、( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零【解析】 设 abc 0，所以 a3b 3c 3，根据排序原理，得 a3ab 3bc 3ca 3bb 3cc 3a.又知 abac bc，a 2b 2c 2，所以 a3bb 3cc 3aa 2bcb 2cac 2ab.a 4b 4c 4a 2bcb 2cac 2ab.即 a2(a2bc)b 2(b2ac)c 2(c2ab)0.【答案】 B二、填空题5有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s，每人个接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_s.【解析】 等候的最短时间为：3443527141(
4、s)【答案】 416若 a0，b 0 且 ab 1，则 的最小值是_b2a a2b【解析】 不妨设 ab0，则有 a2b 2，且 .1b 1a由排序不等式 a2 b2ab1，b2a a2b 1a 1b当且仅当 ab 时，等号成立12第 3 页 共 5 页 的最小值为 1.b2a a2b【答案】 1三、解答题7已知 a，b，c 为正实数，求证 abc.bca acb abc【证明】 不妨设 abc0 ，由 0，abac bc0.1c 1b 1a由排序不等式，得 ac bc ab abc .abc acb bca 1c 1b 1a当且仅当 abc 时等号成立故 abc.bca acb abc8设
5、a，b，c 大于 0，求证：(1)a3b 3ab (ab)；(2) .1a3 b3 abc 1b3 c3 abc 1c3 a3 abc 1abc【证明】 (1)不妨设 abc 0，则 a2b 2c 20.a 3b 3a 2ab 2ba 2bb 2a，a 3b 3ab(ab) (2)由(1)知，同理 b3c 3bc(bc) ，c 3a 3ac (ca)所以 1a3 b3 abc 1b3 c3 abc 1c3 a3 abc 1aba b abc 1bcb c abc 1aca c abc ( )1a b c1ab 1bc 1ca第 4 页 共 5 页 .1a b cc a babc 1abc故原不
6、等式得证9已知 a，b，c 都是正数，求 的最小值ab c bc a ca b【解】 由对称性，不妨设 0cba，则有abac bc 0， 0 .1a b 1a c 1b c由排序不等式得 ab c ba c ca b ， aa c ba b cb c ab c ba c ca b . ca c aa b bb c由知 2( )3，ab c ba c ca b .ab c ba c ca b 32当且仅当 abc 时， 取最小值 .ab c bc a ca b 32教师备选10已知 0 (sin 2 122sin 2sin 2)【证明】 0cos cos 0.根据排序不等式得：第 5 页 共 5 页 乱序和反序和sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)12故原不等式得证.
