1、 第 1 页 共 5 页 2015-2016 学年高中数学 第一讲 坐标系本讲小结 新人教 A 版选修 4-4一、基本内容简介1极坐标的有关概念；平面上点的直角坐标( x， y)和极坐标( ， )的意义以及二者间的相互关系2空间中点的直角坐标( x， y， z)和柱坐标( ， ， z)、球面坐标( r， ， )的意义，以及它们之间的相互关系3平面上曲线的极坐标方程的概念及求法4过极点以及与极轴垂直的直线的极坐标方程的形式5过极点且圆心在极轴上的圆的极坐标方程的形式，它与该圆的直角坐标方程的互化类似讨论过极点且圆心在射线 上的圆的极坐标方程 2二、求曲线极坐标方程1求极坐标方程的方法求曲线的极坐
2、标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的方法类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹将已知条件用曲线上的点的极坐标 、 的关系式 f( ， )0 表示出来，就得到曲线的极坐标方程具体步骤如下：(1)建立适当的极坐标系，设 P( ， )是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略2求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径 和极角 之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识，利用三角形的面
3、积相等来建立 、 之间的关系三、柱坐标与球坐标1柱坐标设空间中一点 M 的直角坐标为( x， y， z)，点 M 在 Oxy 坐标面上的投影点为 M0，点 M0在 Oxy 平面上的极坐标为( ， )，如图甲所示，则三个有序数 ， ， z 构成的数组( ， ， z)称为空间中点 M 的柱坐标在柱坐标中，限定 0，0 时它在下半空间， 0 时它是 Oxy 平面，如下图所示： 2 2 2四、极坐标系与直角坐标系的有关问题1极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？名师剖析：根据极径定义，极径是距离，当然是正的极径是负的，等于极角增加 .负极径的负与数学中
4、历来的习惯相同，用来表示“反向” ，比较来看，负极径比正极径多了一个操作：将射线 OP“反向延长” 而反向延长也可以说成旋转 ，因此，所谓“负”实质是管方向的如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的第 4 页 共 5 页 一般情况下，如果不做特殊说明，极径指的都是正的2为何我们不要把对直角坐标系内的点和曲线的认识套用到极坐标系内？用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？名师剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标( x， y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对( ， )只能与一个点 P 对应，但一个点 P
5、却可以与无数多个有序实数对( ， )对应例如( ，2 n )与( ，(2 n1) )(n为整数)表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标( ， )不是一一对应的(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的(3)在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线 ，设点 P 的一极坐标为，那么点 P 适合方程 ，从而是曲线上的一个
6、点，但点 P 的另一个极坐标( 4， 4)就不适合方程 了所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线( 4， 94)C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可五、几点需注意的问题1平面直角坐标系中的伸缩变换函数 y f(x )(xR， 0，且 1)的图象可以看作是 f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当 1 时)到原来的 或伸长(当 0 1 时)为原来的 倍而得到的(纵坐标不1变)函数 y Af(x)(xR， A0，且 A1)的图象可以看作是 f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当 A1 时)到原来的 A 倍或缩短(当 00，y y， 0， )新旧坐标2极坐标系及直线与圆的极坐标方程注意转化公式 (x0)和 的灵活运用 2 x2 y2，tan yx ) x cos ，y sin )3求轨迹方程第 5 页 共 5 页 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 、 的关系
