1、普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（一）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 为纯虚数，且 （ 为虚数单位） ，则 ( )A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的代数形式的运算法则、纯虚数的概念、模的计算公式即可得出【详解】（2+i）z=1+ai 3=1ai，（2i） （2+i）z=（2i） （1ai） ，z= ，z 为纯虚数， =0， 0，解得 a=2z=i|a+z|=|2i|= 故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计
2、算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2. （2017咸阳市二模)若 ，则 的值为 ( )A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因 ，故应选 B。考点：同角三角函数的关系及运用。3. 命题“ ，使得 ”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知选 A，故选 A【考点】本题主要考查特称命题的否定4. （2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为 0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（ ）A. 0.6 B. 0
3、.7 C. 0.8 D. 0.9【答案】C【解析】【分析】由题意可知 P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得 P（B 丨 A）的值【详解】设第一个路口遇到红灯的事件为 A，第二个路口遇到红灯的事件为 B，则 P（A）=0.5，P（AB）=0.4，则 P（B 丨 A）= =0.8，故选：C【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求 P(A)和P(AB)，再由 P(B|A) ,求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A) .5
4、. （2017海口市调研）当双曲线 的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得 62m0，即有 m3，由 c2=m2+8+62m=（m1） 2+13，可得 m=1 取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率【详解】由题意可得 62m0，即有 m3，由 c2=m2+8+62m=（m1） 2+13，可得当 m=1 时，焦距 2c 取得最小值，双曲线的方程为 =1，即有渐近线方程为 y= x渐近线的斜率为 x故选：B【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，考查了二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题6. 一个几何体的三视
5、图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半【详解】由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半该几何体的表面积= + + =6+ 故选：C【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. （2017合肥市质检）点 为 的重心（三角形三边中线的交点） ，设 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意作图辅助，从而利用平面向量线性运算求解即可
6、【详解】由题意知，+ = ，即 + = ，故 = 2 = 2 ，故选：C【点睛】本题考查了平面向量的线性运算法则及三角形的重心的概念，属于基础题.8. （2017太原市二模）设函数 的部分图象如图所示，若 ，且 ，则 ( )A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由图象可得代入点 可得 又即图中点的坐标为又 ，且故选 D考点：函数 的图像和性质9. 执行如图所示的程序框图,则输出 的值为( )A. 2 B. C. D. -1【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 a，n 的值，观察规律可得 a 的取值以 3 为周期，从而有当 i=2017 时，不满足条件
7、 n2016，退出循环，输出 a 的值为 2，从而得解【详解】模拟执行程序，可得a=2，n=1，满足条件 n2016，a= ，n=2满足条件 n2016，a=1，n=3满足条件 n2016，a=2，n=4观察规律可知，a 的取值以 3 为周期，由 2016=6723，从而有：满足条件 n2016，a=1，n=2016满足条件 n2016，a=2，n=2017不满足条件 n2016，退出循环，输出 a 的值为 2故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构
8、；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. （2017.南昌市二模） 展开式 项的系数为（ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】【分析】由题意利用乘方的意义，以及排列组合的知识，求得（x 2x+1） 3展开式中 x 项的系数【详解】 （x 2x+1） 3表示 3 个因式（x 2x+1）的积，故其中一个因式选x，其余的 2 个因式都取 1，即可得到含 x 的项，故含 x 项的系数
9、为 （1）=3，故选：A【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.11. （2017保定市二模）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5【答案】B【解析】【分析】利用三视图画出几何体的图形，通过三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，如图：去掉的三棱锥的高为 3，底面是等腰直
10、角三角形，直角边长为 1，所求几何体的体积为：213 =5故选：B【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值12. （2017济南市二模）设函数 是
11、 的导函数， ，且 ，则的解集是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】容易求出 f（0）=6，结合条件便可得出函数 f（x）的解析式，进而求出导函数，代入4f（x）f（x） ，根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程【详解】根据条件，3f（0）=3=f（0）3；f（0）=6；f（x）=2e 3x1，f（x）=6e 3x；由 4f（x）f（x）得：4（2e 3x1）6e 3x；整理得，e 3x2；3xln2；x ；原不等式的解集为（ ，+）故选：B【点睛】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性，属于中档题第卷（共 90 分）二、填
12、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足约束条件： 则 的取值范围是_【答案】 .【解析】约束条件对应 边际及内的区域：则视频14. 函数 为偶函数，则 _【答案】 .【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可【详解】g（x）=sinxlog 2（ +x）为偶函数，g（x）=g（x） ，即sinxlog 2（ x）=sinxlog 2（ +x） ，即 log2（ x）=log 2（ +x） ，则 log2（ x）+log 2（ +x）=0，即 log2（ x） （ +x）=log 2（x 2+2tx 2）=log 22t=0，即 t= ，故答案
13、为： 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系，利用好对数的运算法则是解决本题的关键.15. （2017.福建省质检）椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点 重合，点 是椭圆 和抛物线 的一个公共点，点 满足 ，则 的离心率为_【答案】 .【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案【详解】如图，由抛物线 E：y 2=4x，得 2P=4，p=2，F（1，0） ，又 Q（0，1）且 QFQP，QP 所在直线斜率为 1，则 QP 所在直线方程为 y=x+1，联立 ，解得 P（1，2） ，则 2a= = ，a
14、= ，则 e= 故答案为： 【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得 的值，直接代入公式 求解；（2）列出关于 的齐次方程(或不等式)，然后根据 ，消去 后转化成关于 的方程(或不等式)求解16. （2017泰安一模）已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 120，则 的模的取值范围为_【答案】 .【解析】【分析】设 ， ，由已知 与 的夹角为 120可得ABC=60，由正弦定理 =得| |= sinC ，从而可求| |的取值范围【详解】设 ， ，如图所示：则由又 与 的夹角为 120，ABC=60又由| |=| |=1由正弦定理 = 得| |= sinC| |（0， 故答案为： 【点
15、睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (2017.山西省质量检测）数列 满足，（1）求证：数列 是等差数列；（2）若 求数列 的前 999 项的和.【答案】(1)见解析.(2)【解析】试题分析：（1）作差 ，将 代入，只要差为差常数即可证明数列 是等差数列；（2） =6，由（）可得 ，则数列的前 999 项的和易求.试题解析：（1）证明： (n2).数列 是等差数列；（2） =6，由（）知数列 的前 999 项和 考点：等差数列的通项和性质
16、18. 如图，四棱锥 中， 底面 为 上一点，(1)证明： 平面(2)若 求二面角 的正弦值.【答案】(1)见解析.(2) 【解析】试题分析：（1）在 上取点 ，使 ，根据平几知识得四边形 是平行四边形，即得 ,最后根据线面平行判定定理证得 平面 （2）利用空间向量求二面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果试题解析：证明：（1）在 上取点 ，使 ，则 ， ，则四边形 是平行四边形，则 ， 则平面 平面 ， 平面 ， 平面 （2） 是正三角形，建立以 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则所以 设平
17、面 的法向量为则由 得 令 则 ，则 同理得平面 的法向量为 则 则二面角 的正弦值19. （2017石家庄模拟）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动员在篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果绘制如下频率分布直方图:(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2)在某场比赛中，考察前 4 次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于 4 米的计 1 分，否则扣掉 1 分，用随机变量表示第 4 次投篮后的总分，将频率视为概率，求 的分布
18、列和数学期望.【答案】(1) 该运动员到篮筐的水平距离的中位数是 4.25(米)(2)分布列见解析，【解析】试题分析：(1)由题意结合中位数将频率分布直方图分成左右面积相等的两部分列出方程，解方程可得：运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是 4.25 米.(2)由题意可知随机变量 X 的所有可能取值为4，2，0，2，4. 利用二项分布公式首先求得概率值，然后得出分布列，结合分布列计算可得均值为 .试题解析：(I)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为 x，0.2010.200.5； x4，5.由 0.40(5 x)0.2010.5，解得 x4.25，该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是 4.
19、25 米.(II)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过 4 米的概率为 p ，随机变量 X 的所有可能取值为4，2，0，2，4. ，X 的分布列为：X 4 2 0 2 4PE(X)(4) (2) 0 2 4 点睛：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为 n 次独立重复试验在每次试验中事件 A 发生的概率是否均为 p.二是随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数且 表示在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率.20. （2017唐山市二模） 已知点 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上三点，且点 在第一象限，直线 经过点 与抛物线 在点 处的切线
20、平行，点 为 的中点.(1)证明： 与 轴平行；(2)求 面积 的最小值.【答案】 （1）见解析.（2）16.【解析】【分析】（1）设出 A，B，D 三点坐标，根据 kBD=y 列方程根据根与系数的关系求出 M 的横坐标即可；（2）求出直线 BD 的方程，求出 AM 和 B 到直线 AM 的距离，则 SABD =2SABM ，求出 S 关于 xA的函数，利用基本不等式求出函数的最小值【详解】(1)证明：设 ， .由 得 ，又 ，所以 ，即 ，故 与 轴平行.(2)法一：由 共线可得 ，所以 ，因 ，所以 ，即 .直线 的方程为 ，所以 .由(1)得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为
21、 16.法二：直线 的方程为 ， .得 ，则 .设直线 ，代入 得 ，则 ，故 时等号成立).【点睛】：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 已知函数 .(1)若 ，求函数
22、的单调区间；(2)若 ，则当 时，函数 的图象是否总在直线 上方？请写出判断过程.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令 g（x）=x，讨论 m 的范围，根据函数的单调性求出 g（x）的最大值和 f（x）的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论【详解】(1)函数定义域为 ，.当 ，即 时， ,此时 在 上单调递增；当 ，即 ，时， ，此时 单调递增，时， ，此时 单调递减，时， ，此时 单调递增.当 ，即 时， ， ，此时 单调递增，时， ，此时 单调递减，时， ，此时 单调递增.综上所述，当 时，
23、在 上单调递增，当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减，当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减.(2)当 时，由(1)知 在 上单调递增，在 上单调递减.令 .当 时， ，所以函数 图象在 图象上方.当 时，函数 单调递减，所以其最小值为 ， 最大值为 ，所以下面判断 与 的大小，即判断 与 的大小，其中 ，令 ，令 ，则 ，因 ，所以 ， 单调递增；所以 ， 故存在 ，使得 ，所以 在 上单调递减，在 单调递增，所以 ，所以 时， ，即 ，也即 ，所以函数 的图象总在直线 上方.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）
24、若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ;（3）若 恒成立，可转化为 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位,以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴.已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，射线与曲线 分别交异于极点 的四点 .(1)若曲线 关于曲线 对称，求 的值，并把曲线 和 化成直角坐标方程；(2)求 的值.【答案】(1) , , .(2) .【解析】【分析】（1）曲线 C1的极坐标方程为 =2 sin（+ ） ，展
25、开可得：，把 2=x2+y2，x=cos，y=sin 代入可得直角坐标方程把 C2的方程化为直角坐标方程为 y=a，根据曲线 C1关于曲线 C2对称，故直线y=a 经过圆心解得 a，即可得出（2）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出【详解】(1) ，化为直角坐标方程为 .把 的方程化为直角坐标方程为 ，因为曲线 关于曲线 对称，故直线 经过圆心，解得 ，故 的直角坐标方程为 .(2)由题意可得， ， ， ，所以 .【点睛】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23. 选修 4-5：不等式选
26、讲设函数 .(1)证明： ；(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.【答案】(1)见解析.（2） .【解析】试题分析：（1）直接计算 ，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；（2） ，分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.试题解析： （1）证明：函数 f（x）=|xa|，a0，则 f（x）+f（ ）=|xa|+| a|=|xa|+| +a|（xa）+（ +a）|=|x+ |=|x|+ 2 =2（2）f（x）+f（2x）=|xa|+|2xa|，a0当 xa 时，f（x）=ax+a2x=2a3x，则 f（x）a；当 ax 时，f（x）=xa+a2x=x，则 f（x）a；当 x 时，f（x）=xa+2xa=3x2a，则 f（x） 则 f（x）的值域为 ，+）.不等式 f（x）+f（2x） 的解集非空，即为 ，解得，a1，由于 a0，则 a 的取值范围是 考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.2.基本不等式.
