1、 第 1 页 共 7 页 42 用数学归纳法证明不等式1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式1用数学归纳法证明含正整数 n 的不等式(其中 n 取无限多个值)( n1， nN *)思考 1 填空已知 x1，且 x0， nN *， n2.求证：(1 x)n1 nx.证明：(1)当 n_时，左边(1 x)212 x x2，右边12 x，因 x20，则原不等式成立(在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于 x20 是由已知条件 x0 获得的，为下面证明做铺垫)(2)假设 n k(k_)时，不等式成立，即_当 n k1 时，因为 x1，所以 1 x0，于是左边
2、(1 x)k1 (1 x)k(1 x)(1 x)(1 kx)1( k1) x kx2；右边1( k1) x.因为_，所以左边右边，即(1 x)k1 1( k1) x.这就是说，原不等式在n k1 时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立答案: 2 2， kN * (1 x)k1 kx kx202用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在 n k 时命题成立，再证明 n k1 时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重当然第一步是证明的基础，也是不能少的思考 2 用数学归纳法证明：1 1)时，第一步即证明不12 13 12n 1等式_答案: 1 n2成立的条件是(
3、 )A nN * B n4C n4 D n1 或 n4答案: D6对于不等式 n1( nN )；某学生的证明过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 1(2)假设当 n k(kN )时，不等式成立，即 k1.k2 k当 n k1 时， ( k（ k 1） 2 （ k 1） k2 3k 2 （ k2 3k 2） （ k 2） （ k 2） 21)1，当 n k1 时，不等式成立上述不等式成立由此可知( )A过程全部正确B n1 时的验证不正确C归纳假设不正确D从 n k 到 n k1 的推理不正确解析：证明过程未使用归纳假设答案：D第 3 页 共 7 页 7设 n 为正整数，
4、 f(n)1 ，计算得 f(2) ， f(4)2， f(8)12 13 1n 32 ， f(16)3， f(32) ，观察上述结果，可推测出的一般结论为( )52 72A f(2n) B f(n2)2n 12 n 22C f(2n) D以上都不对n 22解析： f(2) ， f(4) f(22) ， f(8) f(23) ， f(16) f(24) ， f(32) f(25)32 42 52 62 ，72所以推测 f(2n) .n 22答案：C8用数学归纳法证明“对于任意 x0 和正整数 n，都有xn xn2 xn4 n1” ，需验证的使命题成立的最小正整数值 n1xn 4 1xn 2 1xn
5、应满足( )A n1 B n2C n1，2 D以上答案均不正确答案：A9已知 f(n)1 (nN )，用数学归纳法证明 f(2n) 时， f(2k1 )12 13 1n n2 f(2k)_解析： f(2k1 )1 ， f(2k)12 13 12k 12k 1 12k 11 ，12 13 12k f(2k1 ) f(2k) .12k 1 12k 2 12k 1答案： .12k 1 12k 2 12k 110用数学归纳法证明：1 2 (其中 nN *)12 13 1n n证明：(1)当 n1 时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当 n k(k1， kN *)时，不等式成立，即1 2
6、，12 13 1k k那么 n k1 时，1 2 2 .12 13 1k 1k 1 k 1k 1 2k（ k 1） 1k 1 k k 1 1k 1 k 1所以当 n k1 时，不等式也成立第 4 页 共 7 页 根据(1)和(2)可知，不等式对任何 nN *都成立三 层 练 习11设数列 an满足 an1 a nan1， nN *.2n(1)当 a12 时，求 a2， a3， a4，并由此猜想 an的一个通项公式；(2)当 a13 时，证明对所有 n1，有： an n2； .11 a1 11 a2 11 an 12解析：(1)由 a12，得 a23， a34， a45，猜想an n1.(2)当
7、 n1 时， a1312，不等式成立假设当 n k(k1， kN *)时，不等式成立，即 ak k2，当 n k1 时， ak1 a kak1 ak(ak k)1( k2)( k2 k)2k12 k5 k3.即 ak1 ( k1)2，因此不等式成立 an n2 对于 nN *都成立由 an1 a nan1 及(1)知：2n当 k2 时， ak a ( k1) ak1 12k 1ak1 (ak1 k1)1 ak1 (k12 k1)12 ak1 1， ak12( ak1 1)即 2. ak12 k1 (a11)，ak 1ak 1 1 (k2)，11 ak 11 a1 12k 1 11 a1 11
8、a2 11 an11 a1(1 12 122 12n 1) .21 a11 (12)n 21 a1 1212证明：1 (nN *)122 132 1n2 3n2n 1证明：(1)当 n1 时，左边1，右边 1，3121 1左边右边即命题成立(2)假设 n k(k1， kN *)时，命题成立，即：1 .则当122 132 1k2 3k2k 1n k1 时，要证明 1 ，只要证 122 132 1k2 1（ k 1） 2 3（ k 1）2（ k 1） 1 3k2k 1第 5 页 共 7 页 .1（ k 1） 2 3（ k 1）2k 3 3（ k 1）2k 3 3k2k 1 1（ k 1） 2 34
9、（ k 1） 2 1 1（ k 1） 2 0，1 （ k 1） 2（ k 1） 24（ k 1） 2 1 k（ k 2）（ k 1） 2（ 4k2 8k 3） 成立，3k2k 1 1（ k 1） 2 3（ k 1）2k 3即 1 成立122 132 1k2 1（ k 1） 2 3（ k 1）2k 3 n k1 时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切 nN *命题都成立13等差数列 an中， a11，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn各项均为正数， b12，且 S2 b27， S4 b32.(1)求 an与 bn；(2)设 cn ， Tn c1c2c3cn，求证：a2n 1a2nTn (
10、nN *)12n(1)解析：设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，由题知：S2 b27， S4 b32， d2 q5，3 d q210，解得 q2 或 q8(舍去)， d1； an1( n1) n， bn2 n.(2)证明： cn ，a2n 1a2n cn .2n 12nTn .12 34 56 2n 12n下面用数学归纳法证明 Tn 对一切正整数成立12n(1)当 n1 时， T1 ，命题成立21 121 12(2)假设当 n k 时命题成立， Tk ，12k则当 n k1 时， Tk1 Tk 2k 12（ k 1） 12k 2k 12（ k 1） 12k 1 2k 12
11、kk 1 12k 1 ，4k2 4k 14k2 4k 12k 1这就是说当 n k1 时命题成立，综上所述，原命题成立第 6 页 共 7 页 14函数 f(x) x22 x3，定义数列 xn如下： x12， xn1 是过两点 P(4，5)，Qn(xn， f(xn)的直线 PQn与 x 轴交点的横坐标证明：2 xn0 即 xnxn1 ，综上可知 2 xnxn1 3 恒成立1用数学归纳法证明含正整数 n 的不等式(其中 n 取无限多个值)，要注意观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的2前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些但仔细研究，数学归纳法关键是由 n k 到 n k1 的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题(1)用数学归纳法证明的关键是“变项” ，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法第 7 页 共 7 页 (2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当 n k 时成立，再证当 n k1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法
