1、高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法 一、基 础过 关 1某 个命 题与 正整 数有 关 ，如果 当 n k(k N * ) 时，该命题 成立 ，那 么可 推 得 nk 1 时， 该命题 也成 立 现在 已知 当 n5 时 ，该 命题 成立 ， 那么可 推导 出 ( ) A当 n 6 时命 题不成 立 B当 n6 时 命题 成立 C当 n4 时 命题 不成 立 D当 n 4 时命 题成立 2 一个 与正 整数 n 有 关的 命题 ， 当 n2 时 命题 成立 ， 且 由 n k 时命 题成 立可 以推 得 nk 2
2、时 命题 也成 立， 则 ( ) A 该命 题对 于 n2 的自 然数 n 都成 立 B 该命 题对 于所 有的 正偶 数都成 立 C 该命 题何 时成 立与 k 取 值无关 D 以上 答案 都不 对 3在 应用 数学 归纳 法证 明 凸 n 边 形的 对角 线为 1 2 n(n3) 条时 ，第 一步 验证 n 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0 4若 f(n) 1 1 2 1 3 1 2n1 (nN * ) ，则 n1 时 f(n) 是 ( ) A 1 B. 1 3C 1 1 2 1 3D 以上 答案 均不 正确 5已 知 f(n) 1 n 1 n1 1 n2 1 n 2 ，则 (
3、 ) A f(n)中共有 n 项，当 n 2 时，f(2) 1 2 1 3B f(n) 中 共有 n1 项， 当 n 2 时，f(2) 1 2 1 3 1 4C f(n) 中 共有 n 2 n 项， 当 n2 时，f(2) 1 2 1 3高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ D f(n)中共有 n 2 n 1 项 ，当 n 2 时，f(2) 1 2 1 3 1 4高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 6在 数列a n 中，a 1 2 ，a n 1 a n 3a n 1 (nN * ) ，依次计 算 a 2 ，a 3 ，a 4
4、，归 纳推 测 出 a n 的通 项表达 式为 ( ) A. 2 4n3B. 2 6n 5C. 2 4n3D. 2 2 n 1二、能 力提 升 7用 数学 归纳 法证 明等 式(n1)(n2) (n n) 2 n 1 3 (2n1)(n N * ) ，从 k 到 k 1 左 端需要 增乘 的代 数式 为 ( ) A 2k 1 B 2(2k 1) C. 2k 1 k 1D. 2k 3 k 18 已 知 f(n) 1 n1 1 n 2 1 3n1 (nN * )，则 f(k 1) f(k) _. 9用 数学 归纳 法证 明： (1 1 3 )(1 1 4 )(1 1 5 ) (1 1 n2 ) 2
5、 n2 (nN * ) 10 用 数学 归纳 法证 明： 1 2 2 2 3 2 4 2 ( 1) n 1 n 2 ( 1) n 1 nn1 2 (nN * ) 高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 11 已知 数列a n 的第 一 项 a 1 5 且 S n 1 a n (n2 ，nN * ) ，S n 为数列a n 的前 n 项 和 (1) 求 a 2 ，a 3 ，a 4 ， 并由 此 猜想 a n 的 表达 式； (2) 用数学 归纳 法证 明a n 的通项 公式 三、探 究与 拓展 12 是 否存 在常 数 a 、b、c ，使 得等 式 12 2 2
6、3 2 34 2 n(n 1) 2 nn1 12 (an 2 bn c) 对 一切 正整 数成 立 ？并证 明你 的结 论 高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 答案 1B 2 B 3C 4C 5D 6B 7B 8. 1 3k 1 3k 1 1 3k 2 1 k 19证明 (1) 当 n 1 时 ， 左边1 1 3 2 3 ，右边 2 12 2 3 ， 等式成 立 (2) 假设 当 nk(k 1 ，k N * ) 时等式成 立， 即(1 1 3 )(1 1 4 )(1 1 5 ) (1 1 k 2 ) 2 k 2 ， 那么 当 nk 1 时， (1 1 3 )
7、(1 1 4 )(1 1 5 ) (1 1 k 2 )(1 1 k 3 ) 2 k 2 (1 1 k 3 ) 2k 2 k 2k 3 2 k 3 ， 所以 当 nk 1 时等 式也 成立 由(1)(2) 可知 ，对 于任 意 n N * 等式都成 立 10 证明 (1) 当 n 1 时， 左边1， 右边 ( 1) 1 1 12 2 1 ，结 论成 立 (2) 假设 当 nk 时 ，结 论成 立 即 1 2 2 2 3 2 4 2 ( 1) k 1 k 2 ( 1) k 1 k k 1 2 ， 那么 当 nk 1 时， 1 2 2 2 3 2 4 2 ( 1) k 1 k 2 ( 1) k (k
8、 1) 2( 1) k 1 k k 1 2 ( 1) k (k 1) 2( 1) k (k 1) k 2k 2 2( 1) k k 1k 2 2 . 即当 n k 1 时 结论 也成 立 由(1)(2) 可知 ，对 一切 正整 数 n 等 式都 成立 11 (1) 解 a 2 S 1 a 1 5 ， a 3 S 2 a 1 a 2 10， a 4 S 3 a 1 a 2 a 3 5 5 1020， 猜想 a n 5 n 1 52 n 2 ， n2，n N * . (2) 证明 当 n2 时，a 2 52 2 2 5 ，公 式成 立 假设 nk(k 2 ，k N * ) 时成立 ， 即 a k
9、52 k 2 ， 高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 那么 当 nk 1 时， 由已 知条件 和假 设有 a k 1 S k a 1 a 2 a 3 a k55 10 5 2 k 2 . 5 512 k 1 12 52 k 1 . 故当 n k 1 时 公式 也成 立 由 可知 ， 对 n2，n N * ，有 a n 5 2 n 2 . 所以数 列a n 的通 项公 式 为 a n 5 n 1 52 n 2n 2 ，nN * . 12 解 假 设存 在 a 、b 、c 使上 式对 nN * 均成立， 则当 n 1,2,3 时 上式 显然 也成立 ， 此时可
10、得 1 2 2 1 6 ab c ， 1 2 2 23 2 1 2 4a2b c ， 1 2 2 23 2 34 2 9a 3bc ，解此方 程组 可 得 a3，b 11 ，c 10， 下面用 数学 归纳 法证 明等 式 12 2 23 2 3 4 2 n(n 1) 2 nn1 12 (3n 2 11n 10) 对一切 正整 数均 成立 (1) 当 n1 时 ，命 题显 然成 立 (2) 假设 当 nk 时 ，命 题成 立 即 12 2 2 3 2 3 4 2 k(k 1) 2 k k 1 12 (3k 2 11k 10) ， 则当 n k 1 时 ，有 12 2 23 2 k(k 1) 2 (k 1)(k 2) 2 k k 1 12 (3k 2 11k 10) (k 1)(k 2) 2 k k 1 12 (k 2)(3k 5) (k 1)(k 2) 2 k 1k 2 12 (3k 2 5k 12k 24) k 1k 2 12 3(k 1) 2 11(k 1) 10 即当 n k 1 时 ，等 式也 成立 高考资源网 （ ） 您身 边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 由(1)(2) 可知 ，对 任何 正整 数 n ， 等式 都成 立
