1、20112012 学年第二学期高等数学（2-2） 期末试卷答案专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012 年月日 页 号 一 二 三 四 五 六本页满分 30 16 16 8 16 14总分本页得分阅卷人注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共四道大题，满分 100 分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共 6 页。A 卷一填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分）1 )5,4(a， )2,1(b，若 ba与 垂直，则 =7.2设 )ln()(rctnyxyxz，则 )1,(|dz)4dyx
2、3设 ),(yx由方程 0yze所确定，则 xe4设 ()10fx，而01()cos,2nasxx，其中02cosnandx，则 _.5已知 D是长方形 ab, y,()Dfxdy,则 badxf)(=2.6设曲线 C为圆周22Rx,则sC）（ 32= 3R二选择题（共 4 小题，每小题 3 分，共计 12 分）1下列级数中，绝对收敛的级数是（ C ）.(A) 1)(nn(B) 1)(n(C) 1)2(nn(D) 1n2设 1na是正项级数，则下列结论中错误的是（D ）.(A) 若n收敛，则12na也收敛 (B) 若1na收敛，则 0limna(C) 若 1n收敛，则部分和 nS有界 (D)
3、若 1n收敛,则1n3设曲线型构件 的密度函数为 ),(zyx,则构件对轴的转动惯量为 ( B ).(A) dszyx),( (B) dszyx),()(2(C) 2(D) ,4设有直线 L： 08-5zx及平面 03-2:zyx，则直线 L（B ）.(A) 平行于平面 (B) 与平面 的夹角为 6(C) 与平面 垂直 (D) 与平面 的夹角为 3三解答题（共 8 小题，每小题 8 分，共计 64 分）本页满分 30分本页得分本页满分 16 分1 计算二重积分.)(dxyID其中积分区域 D 为0,),(22Ryx（区域.解： 作极坐标变换： sincorr，有dxyID)(20 )is(dR
4、-3 分=20sincodr= -5 分2设 n为曲面 63:22zyx在点 P(1,1,1)处指向外側的法向量，求（1）函数 zeu)l(在点 (1,1,1)的梯度；（2）函数 yxy2n2在点 处沿方向 n的方向导数；解： n= （,6414cos,3cos1cos-1 分-e|2| , （ yxexuy-1 分1|,12（y-1 分|,1,（zu-1 分（1）函数 zyxey2)ln(2在点 P(1,1,1)的梯度1,grad-2 分(2)函数 uxy)l(2在点 处沿方向 n的方向导数14631e-4|n1, e（-2 分本页得分本页满分 16 分0 xy3计算三次积分2210xxyI
5、dzd的值.解：利用球面坐标系，积分化为 222400cosinIdrr-4 分0csind15-4 分或利用柱面坐标系2120rIdz-4 分32102zrrd5-4 分4设有幂级数 1)(nx，（1）求该幂级数的收敛半径 （）求该幂级数的收敛域是 （）求该幂级数的和解： (1) na1lim= )2(1lin=1收敛半径 R=1 -2 分(2) 由于 1)(n，1)(n收敛，所以收敛域为-1,1. -2 分(3) 1)nxS11nnx（11)(nn11)(nn00xxddxxnx010d1 ),()l( -3 分由于级数在 x=-1,x=1 处收敛，且xxx)ln(lim1 1)(nlim
6、1x) xS-1 分本页得分本页满分 8 分xyzOx5设 为曲面 ,22yxz上侧为曲面正侧,计算 22ddyxI解：法 1：补辅助面 0:1z2:),(2yxDyxy，下侧为正侧，22ddxyI=dz-1 分I1yxz)(12-1 分= 2Vzd)(= 2Vd-1 分=3+ 0203sincorr-2 分= + d2sinco= 3+13-1 分1=0)(21dxyzI2-2 分法 2：合一投影 ,22yxz： 2:2yxDy， ,2yxzxddI2yxz dxyx)2()z(12Dyx)(2(12D=3本页得分本页满分 16 分6.设有函数 00),( 22yxyxf，问(1) 函数 ,
7、yf在点 ),(是否连续？说明理由.(2) 求函数 x对 的偏导函数 ),(fx解：(1) 取 y=kx,则),(lim)0,(yfyx 2201)(likkx函数极限与 k 有关，极限不存在，由函数连续性定义，函数在(0,0)点不连续. -3 分(2) )0,(,yx时，222 )()( yxyfx 0lim,(lim,000 xffxx),(,)(),(2yxyfx-5 分7.设有力场 jiyF1,2，求变力沿曲线 L： 2从(1,0)到(0,1)的一段所做的功.解： 功 dyxd)()1(w2,-2 分,2yQP， xQP故积分路径无关 -2 分01103dx= 2-4 分8求函数 )4
8、(),(2yxyxf在由直线 6yx及坐标轴所围成的有界闭域 D 上的最大值、最小值.解：令 ,x 2)4(=0)38(),(yyfy =0，得驻点（0,0） ， （1,2）-3分本页得分本页满分 14 分本页得分在边界 )60(yx上， 0),(yxf； 在边界 )60(xy上，),(yf在边界 上， 2)6(,xz令 )2(xdxz=0，解得驻点 , -3 分64)4,(|2f ， 0)(|6fzx 4),1(f. 0),(f.故，函数的极大值也是最大值是 4，最小值是-64. -2 分四证明题（本题 6 分）设 ,0)(f且连续，试证 2)(Ddxyf，其中积分区域 D=21|,(yxy证：因为积分区域 D 关于直线 对称，所以dxfydyfxD )()(-1 分于是）（ dxyfyff DD )()(21)(-2 分dxfyfx）（D)()(21dy-3 分
