1、广东省东莞市 2018 年全国卷考前冲刺演练精品卷试题理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据 ，得 1 为方程 的解,解得 m,再解方程得集合 B，最后根据并集定义得结果.【详解】因为 ，所以 ，因此 ,选 A.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，
2、易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图2. 如图 1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具。它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图 2 是用 8 个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由几何概型及概率的计算可知，用黑色部分的面积比总面积，即可求解概率.详解：设白色部分的等腰直角三角形的斜边长为 ，则直角边的长为 ，所以所有白色部分的面积为 ，则黑色部分的等腰直角三角形
3、的腰长为 1，所有黑色部分的面积为 ，由几何概型可得其概率为 ，故选 B.点睛：本题考查了面积比的几何概型中概率的计算，其中正确求解黑色部分和白色部分的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3. （ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据降幂公式降次，再根据诱导公式化简得结果.【详解】,选 D.【点睛】本题考查降幂公式、诱导公式，考查基本化简能力.4. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】分析：由题意 ，可得 ，得 ，即可求解双曲线的离心率.详解：由题意，双曲线的一条渐近线过点 ，所以
4、 ，可得 ，又由 ，所以双曲线的离心率为 ，故选 C.点睛：本题考查了双曲线的离心率的求解，其中熟记双曲线的标准方程及几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球直径为（ ）A. 12 B. 13 C. 18 D. 20【答案】B【解析】【分析】先还原几何体，再通过补形法确定外接球球心，解得外接球直径.【详解】几何体为一个三棱锥，其中一个顶点出发的三条棱相互垂直，棱长分别为 3,4,12，所以可将此三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为 3,4,12，从而外接球直径为长方体的对角线长，即为 ，选 B.【点睛】若球面上四点 构成的三条线段 两两互
5、相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解6. 若 是函数 的极值点，则（ ）A. 有极大值 B. 有极小值C. 有极大值 0 D. 有极小值 0【答案】A【解析】【分析】先根据极值定义得 a,再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值.【详解】因为 是函数 的极值点，所以 ，当 时， 当 时， 因此 有极大值 ，选 A.【点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求 求方程 的根列表检验 在 的根的附近两侧的符号下结论.(3)已知极值求参数.若函数 在点
6、处取得极值，则 ，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象过点 ，则 的最小值是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】分析：首先利用三角函数关系式的平移变换，进一步利用正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.详解：函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，由于函数的图象经过点 ，所以 ，所以 或 ，解得 或 ，当 时， 或 ，由于 ，所以 ，故选 B.点睛：本题考查了三角函数点图象变换，以及正弦型函数点的图象与性质的应用，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输
7、出的 取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据程序框图，分析程序的功能，结合输出的自变量的范围条件，利用函数的性质可得结论.详解：模拟程序框图，可得程序框图的公式是计算输出 的值，当 时，则满足条件的输出为 ；当 时，则不满足条件，此时输出 ，综上可知，输出的结果的范围是 .点睛：本题考查了程序框图的识别与判断，条件分支结构的计算，其中利用函数的取值范围是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.9. 已知椭圆 ，点 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
8、析】根据椭圆几何性质得短轴端点（设为 M）对长轴张角最大，即得 ,再根据,解得离心率的最小值.【详解】设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得 ,即 ,因为 ，所以 ，,选 C.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 已知变量 满足 ，设 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示可行域内点到定点（-1，-1）距离的平方，确定 的取值范围.【详解】作可行域，P(4,3
9、),因为 表示可行域内点到定点 A（-1，-1）距离的平方，所以 的取值范围为 ,选C.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 已知函数 满足 ，且 时，则 （ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据 得函数周期，再根据周期求【详解】因为 ，所以 ，选 D.【点睛】函数对称性代数表示（1）函数 为奇函数 ，函数 为偶函数 （定义域关于原点对称）；（2）函数 关于点 对称
10、，函数 关于直线 对称，（3）函数周期为 T,则12. 已知不共线的两个向量 ，且 ，若存在 个点 （ ）关于点的对称点为 （ ）关于点 的对称点为 （ ） ，当点 为线段 中点时，则 （ ）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质得 ,再根据 最后根据向量数量积求结果.【详解】根据三角形中位线性质得 ,所以 ,因此 ，选 A.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二、填空题（每题 4 分
11、，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 为虚数单位，则 _.【答案】 .【解析】【分析】根据复数除法法则求结果.【详解】【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为14. 的展开式的常数项为 _. （用数字作答）【答案】30.【解析】【分析】先求 的展开式中含 x 项的系数，再根据多项式乘法得结果.【详解】因为 的展开式中含 x 项的系数为 ,所以 的展开式的常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开
12、式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.15. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 斜率为 的直线 与抛物线 交于点 （ 在 轴的上方） ，过 作 于点 ，连接 交抛物线 于点 ，则 _.【答案】2.【解析】【分析】根据抛物线定义可得 MF=MN，再根据直线倾斜角得三角形 MNF 为正三角形，即得 NF 倾斜角，联立方程可得 Q 横坐标，解得结果.【详解】由抛物线定义可得 MF=MN，又斜率为 的直线 倾斜角为 ， ,所以 ,即三角形 MNF 为正三角
13、形，因此 NF 倾斜角为 ，由 解得 ，即【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到16. 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。如图所示，已知 ，垂直放置的标杆 的高度米，大雁塔高度 米.某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与 的关系.该小组测得 的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离 ，使
14、 与的差较大时，可以提高测量精确度，求 最大时，标杆到大雁塔的距离 为_米. 【答案】 .【解析】【分析】根据题意建立 函数关系式，再根据基本不等式求最值，确定标杆到大雁塔的距离 .【详解】由题意得 ，因此 ，当且仅当 时取等号，因此当 时， 取最大值，即 取最大，即标杆到大雁塔的距离 为 .【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 1
15、7. 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，若 .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先解方程得 再根据和项与通项关系求数列 的通项公式；（2）因为为等比数列，所以利用等比数列和项公式求结果.【详解】 （1）由题意 ，因为 ，所以当 时， ，当 时，所以 ，即数列 的通项公式为 .（2） ，所以数列 是以 2 为首项，4 为公比的等比数列所以即数列 的前 项和为【点睛】应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18. 学校对甲、乙两个班级的同学进行了体能测验，成绩统计如下（每班
16、 50 人）：（1）成绩不低于 80 分记为“优秀”.请填写下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关？（2）从两个班级的成绩在 的所有学生中任选 2 人，其中，甲班被选出的学生数记为 ，求 的分布列与数学期望.赋： .【答案】(1)列联表见解析，有 的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关.(2) 的分布列见解析， .【解析】【分析】（1）根据数据对应填写表格，根据公式求卡方，对照参考数据确定把握率， （2）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】 （1） 列联表如下：所以有 的把握认为：“成绩优秀”与所在
17、教学班级有关.（2）由已知，甲、乙两个班级成绩在 的学生数分别为 6 人，8 人的取值为 0，1，2， ，的分布列：的数学期望： .【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离
18、散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 如图，在四棱锥 中， ， 平分 ， 平面 ， ，点在 上， .（1）求证： 平面 ；（2）若 ， ,求二面角 的余弦值 .【答案】(1)见解析.（2） .【解析】【分析】（1）先根据 平面 得 ，再根据已知 ，得 平面 ，即得，另一方面根据计算得 ，最后根据线面垂直判定定理得结论， （2）根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面 的
19、一个法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果.【详解】 （1）证明：因为 平面 ，所以 ，又因为 ， ，所以 平面所以作 交 于点 ，则 平面 ，在 中， ， ，设则易证因为 ，则所以 ，即 ，所以 平面 .（2）如图所示，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系因为垂直平分 ，所以 为直角三角形 的斜边上的中线所以因为 ， ，由 ，得，设平面 的一个法向量为 ，则 即 得 ，取 ，则 ，由（1）可知 为平面 的一个法向量，所以由图可知，所求二面角为锐角所以所求二面角的余弦值为 .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型
20、.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，左焦点为 ，点 为椭圆 上任一点，若直线 与 的斜率之积为 ，且椭圆 经过点 .（1）求椭圆的方程； （2）若 交直线 于 两点，过左焦点 作以 为直径的圆的切线.问切线长是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) .(2) 过左焦点 作以 为直径的圆的切线长为定值 .过程见解析.【解析】【分析】（1）设 点坐标,根据两点间斜率公式化简直线 与 的斜率之积得 ，再根据椭圆经过点 得 ，解方程组可得 （
21、2）设 为圆的一条切线，切点为 ，由切割线定理得 ，根据直线方程与椭圆方程联立方程组解得 M,N 坐标，代入化简可得 .【详解】 （1）设 点坐标为 ，由题意知 ，且则即 又因为椭圆经过点 .故 由可知，故椭圆的标准方程为 .（2）可知 设由 ，得所以直线 的方程为 ，令 ，则 ，故直线 方程为 ，令 ，则 ，故如图，因为 ，故以 为直径的圆在 轴同侧.设 为圆的一条切线，切点为 ，连结可知 故 ，则故故过左焦点 作以 为直径的圆的切线长为定值 .【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒
22、定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）设函数 .当 时，若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围.【答案】(1) 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.(2) .【解析】【分析】（1）求导，根据 正负讨论导函数符号，确定对应单调区间， （2）先利用导数研究正负，根据正负去绝对值将 化为分段函数，再利用导数分段研究 单调性，利用变量分离法转化为求对应函数最值问题，最后根据最值确定实数 的取值范围.【详解】 （1）对 求导得（i）若 ，当 时， ，
23、当 或 时，所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减（ii）若 ，当 时， ，当 或 时，所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.（2）记函数 ，考察函数 的符号对函数 求导得当 时， 恒成立当 时，从而 在 上恒成立，故 在 上单调递减.又曲线 在 上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的 ，使 ，所以当 时， ，当 时， ，由上述讨论过程可知曲线 在 上连续不断，又函数 为增函数所以 在 上恒成立当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立，记 ， ，则 ，当 变化时， ， 变化情况如下表：故“ 在 上恒成立”只需 ，即当 时， ，当 时， 在 上恒成立综合，知当 时，
24、函数 在 为增函数故实数 的取值范围是 .【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .（1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）若直线 与圆 交于 两点， 是圆 上不同于 两点的动点，求 面积的最大值.
25、【答案】(1) , .(2) .【解析】分析：（1）直接利用参数方程与普通方程的互化和极坐标与直角坐标的互化公式，即可把参数方程、极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程；（2）利用（1）的结论，再利用点到直线的距离公式，即可求解结果.详解：解：（1）圆 的普通方程为 ，直线 的方程可化为 ，即直线 的直角坐标方程为 .（2）圆心 到 的距离为所以 ，又因为圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，所以即 面积的最大值为 .点睛：本题考查了参数方程和极坐标方程与普通方程和直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离的应用，熟记互化公式和点到直线的距离公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.23. 选修 4-5：不等式选讲已知 ，且 ，证明：（1） ；（2） .【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）利用乘“1”法，可得 ，再利用基本不等式即可证明；（2）先求出 的值，可得 ，问题得以证明.详解：（1） , ,当且仅当 时，取得等号.（2）因为 ，且所以 ，所以 ，所以 .点睛：本题考查了不等式的证明问题，其中解答中注意运用乘“1”法和基本不等式的应用，以及灵活的化简和运算能力，着重考查了推理与论证能力，试题属于中档试题.
