1、普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(三)文科数学第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中全集 ，根据补集的性质及运算方法，先求出，再求出其补集，即可求出答案.【详解】 全集 ，集合 ， ，故选：A.【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键.2. 设 为复数 的共轭复数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出 ，从而求出
2、的值即可.【详解】 ，共轭复数 ，则 .故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.3. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递减区间是 C. 是奇函数，递增区间是 D. 是奇函数，递增区间是【答案】D【解析】【分析】由奇偶性的定义可得函数为奇函数，去绝对值结合二次函数可得单调性.【详解】由题意可得函数定义域为 R，函数 ，为奇函数，当 时， ，由二次函数可知，函数在 单调递增，在 单调递减；由奇函数的性质可得函数在 单调递增，在 单调递减.综合可得函数的递增区间为 .故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及奇偶性
3、的判定，属基础题.4. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点坐标为 ，则双曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出 、 ，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线 的一条渐近线方程是 ，可得 ，它的一个焦点坐标为 ，可得 ，即 ，解得 ，所求双曲线方程为： .故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.5. 从数字 ， ， ， ， 中任取 个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】可以构成的两位数的总数为
4、20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于 40的两位数有以 4开头的:41,42,43,45 共 4种;以 5开头的:51,52,53,54 共 4种.所以所求概率为 .本题选择 B选项.6. 已知函数 的部分图象如图所示，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象可得 A值和周期，由周期公式可得 ，代入点 可得 值，从而得解析式，再由和同角三角函数基本关系可得.【详解】由图象可得 ， ，解得 ，故 ，代入点 可得 ，即有 ，又 ，故 .又 ，.，.故选：D.【点睛】根据 y Asin(x ) k的图象求其解析式
5、的问题，主要从以下四个方面来考虑： A的确定：根据图象的最高点和最低点，即 ； k的确定：根据图象的最高点和最低点，即 ； 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 ( 0)来确定 ； 的确定：由函数 y Asin(x ) k最开始与 x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令 x 0， x )确定 .7. 我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 的值，当 ，满足条件
6、 ，退出循环，输出 的值为 4，从而得解.【详解】模拟执行程序，可得，不满足条件 ，执行循环体， ，不满足条件 ，执行循环体， ，不满足条件 ，执行循环体， ，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 4.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的 的值是解答的关键，属于基础题.8. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：原式 考点：三角恒等变换.9. 不等式组 的解集为 ，下列命题中正确的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线 ： ，平移 ，从而可知当
7、 ， 时， ，即 ，故只有 B成立，故选 B【考点】本题主要考查线性规划系10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设 与 x轴的交点为 M，过 Q向准线 作垂线，垂足为 N，由 ，可得 ，又，根据抛物线的定义即可得出.【详解】设 与 x轴的交点为 M，过 Q向准线 作垂线，垂足为 N，又 ，.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11. 设函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【
8、分析】求出函数的导数，通过讨论 的范围，确定函数的单调性，求出 的最大值，得到关于 的不等式，解出即可.【详解】 的定义域是 ，当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，故存在 ，使 ；当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，在 上单调递增，在 上单调递减，解得 .综上， 的取值范围是 .故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.12. 已知 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将 用两角和正弦公式化开，然后与 合并后用辅助角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案.【详解】 ，.故选：D.【点睛】本题主要考查
9、两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆与应用.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 与 的夹角为_【答案】【解析】【分析】分别求出 ， ， ，从而代入求余弦值，从而求角.【详解】 单位向量 ， 的夹角为 ，设向量 与 的夹角为 ，则 ，.故答案为： .【点睛】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算
10、的目的14. 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀” ；乙说：“我得了优秀” ；甲说：“丙说的是真话” 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是_【答案】丙【解析】【分析】利用反证法，即可得出结论.【详解】假设丙说的是假话，即甲得优秀，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有得优秀，又甲没有得优秀，故丙得优秀.故答案为：丙.【点睛】反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等15. 已知函数 则 _【答案】【解析】【分析】根据分
11、段函数由里到外逐步求解即可.【详解】f（3）=e 3+2 =e1 ，f（f（3）=f（e 1 ）=lne 1 =1故答案为：1【点睛】：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围16. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，当 取最大值时，角 的值为_【答案】【解析】试题分析：由正弦定理得 ，即 ， ，故最大角为 .考点：解
12、三角形.【思路点晴】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变形等解三角形的知识，还考查了基本不等式的应用，考查了两角差的正切公式.对于题目给定的式子，一般用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形内角和定理，消去 角，得到 的关系后，代入 的表达式，然后利用基本不等式来求最值.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 中， ，又数列 是首项为 、公差为 的等差数列.（1）求数列 的通项公式 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1） ，又数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，可得 ，即可
13、得出数列 的通项公式；（2）由 ，利用“裂项求和”即可得出.【详解】 （1）数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ，解得 .（2） .【点睛】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等18. 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（ 个月）和市场占有率（ ）的几组相关对应数据：1 2 3 4 50.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；（2）根
14、据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 （精确到月）.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据表中数据求出 和 ，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果【详解】 （1）经计算 ， ，所以线性回归方程为 ；（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加 个月，市场占有率都增加 个百分点；由 ，解得 ，【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；
15、计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，矩形 和梯形 所在的平面互相垂直， ， .（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；（2）若 ，求四棱锥 的体积.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【分析】（1）设 EC与 DF交于点 N，连结 MN，由中位线定理可得 MNAC，故 AC平面 MDF；（2）取 CD中点为 G，连结 BG，EG，则可证四边形 ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG平面 CDEF，故 BGDF，又 DFBE 得出 DF平面 BEG，从而得出 DFEG，得出 Rt
16、DEGRtEFD，列出比例式求出 DE，代入体积公式即可计算出体积【详解】 （1）证明：设 与 交于点 ，连接 ，在矩形 中，点 为 中点， 为 的中点， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）取 中点为 ，连接 ， ，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ， ， 平面 ，同理 平面 ， 的长即为四棱锥 的高，在梯形 中 ， ，四边形 是平行四边形， ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， ， 平面 ， .注意到 ， ， ， .【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积
17、时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值20. 已知椭圆 的离心率为 ，其左顶点 在圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）若点 为椭圆 上不同于点 的点，直线 与圆 的另一个交点为 .是否存在点 ，使得 ?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) 不存在直线 ，使得【解析】【分析】（1）由题意求
18、出 a，通过离心率求出 c，然后求解椭圆的标准方程；（2）设点 ， ，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出 ，利用垂径定理求出 ，从而整理即可得到结果.【详解】 （1）因为椭圆 的左顶点 在圆 上，令 ，得 ，所以 ，又离心率为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 的方程为 .（2）设点 ， ，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立得化简得到 ，因为 为方程的一个根，所以 ，所以 ，所以 .因为圆心到直线 的距离为 ，所以 ，因为 ，代入得到 ，显然 ，所以不存在直线 ，使得 .【点睛】对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二
19、次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.21. 设函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 为正数，且存在 使得 ，求 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，求导，讨论 k的取值，分别解出 ， 即可得出；（2）由（1）可求得函数的最小值， ，将其转化成 ，构造函数，判断其单调性，即可求得 的取值范围.【详解】 （1） ， （ ） ，当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， ； ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）因为 ，由（1）知 的最小值为 ，由题意得 ，即 .令 ，则 ，所以
20、 在 上单调递增，又 ，所以 时， ，于是 ；时， ，于是 .故 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性及函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.（1）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；（2）已知 ， ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析： 直角坐标系
21、与极坐标系的转换时满足关系式 ，圆的直角坐标方程为，将其中的 利用前面的关系式换作 ， 即可得到极坐标方程；先求出点 到直线 ： 的距离 ，再求 的面积，然后求最值。解析：（1）圆 的参数方程为 （为参数）所以普通方程为 . 圆 的极坐标方程： . （2）点 到直线 ： 的距离为 的面积所以 面积的最大值为 点睛：直角坐标系与极坐标系的转换时满足关系式 ，即 ，代入直线坐标方程，进行化简可求极坐标方程；对于三角形的最大面积，因为底边已知，所以只要求得底边上的高线的最大值，即可求得最大面积，在求圆上点到直线的距离时，可以用公式法求，即圆心到直线的距离再加上半径，也可以用参数法，距离关于 的函数的最值。23. 选修 4-5：不等式选讲（1）已知 ， 都是正数，且 ，求证： ；（2）已知 ， ， 都是正数，求证： .【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）证明：因为 都是正数 ,即；（2）证明：因为 ，同理 ， ，相加得.由 ， ， 都是正数，得 ，因此 .试题解析： 解：（1）证明： .因为 都是正数，所以 .又因为 ，所以 .于是 ,即所以 ； 5 分（2）证明：因为 ，所以 . 同理 . . 相加得从而 .由 都是正数，得 ，因此 . 10分考点：不等式的证明.
