1、第二章 导数与微分第一节：导数概念（ 0）教学目的与要求：理解导数概念，意义 教学重点（难点）：对导数概念理解，及其与连续的关系1、定义 xylim)(f0/0)f(li0x(x)f/左导数 000/- -)f(limlim(x)f-右导数 xx/ li)f(f(li AA)0/-0可以证明：可导连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。左右导数(注：与左右极限关系 )2、导数的几何意义曲线 xfy在点 0y,处切线：/0 例 1：讨论 x1sin)(f在 x=0 处可导性解： f(0)ilmli0xf()在 x = 0 连续x1sinl-li不存在 f(x)在x = 0 不可导例
2、2：已知 )(xf0/存在则 h-lim0h )(x2f0/)(5f(0/xfxh)3li0= h)f(x-h)f(-(li 000hf4/例 3：设函数 (x)可微，则()f-lim220 (x)f/例 4：设 0bax)(f为使 在 x = x0 处可导，应如何选取常数 a、b解：首先 f()必须在 x0 连续2xlimli-0abf()0x0 2ba 02xx/- -li-)f(li()f00max-li x-bli)f()f002/ （由得） )(xf0/存在 2a 从而 20xb例 5： f()= x (x-1)(x-2)(x-9) , 则 f/!9 0-f()lim/)x21例 6
3、：设 f(x)在 x = 0 领域内连续，21f(li0，则 /1 li（分母0） xf()lim-f()()f0x/ 121li 例 7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ，且 b()/(a , b 0) ，问 存在否?解：cxaf(0)-limxf()-li1f0/ baa/x第二节 函数求导法则教学目的与要求：理解求导法则，利用法则求导教学重点（难点）： 求导法则的应用1、显函数导数求一个显函数的导数需解决：基本初等函数导数(P 64);导数四则运算法则(P 65);复合函数与反函数求导法则(P 66)。定理：xu在 X 有导数 du， fy在对应点 u 有导数 dy，则复
4、合函数 f在 X 处也有导数，xdy/。例 1： 12xsin求/y解： 12cos4/ 例 2： ly求/解： 2x例 3： xarctg求/y解： 1y/先讲微分（后页）第四节： 隐函数导数 参数方程导数教学目的与要求：理解求导法则，利用法则求导教学重点（难点）： 求导法则的应用如方程 F(x，y)=0 确定了 y=y(x)，只需方程两边对 x 求导，注意 y=y(x)例 10：求下列隐函数的导数（1）设 0yxcosyin求/解：方程两边对 x 求导，1i/ si（2）设 xy是由方程0xylne所确定的隐函数，求 0/解：由原方程知当 x=0 时，1，方程两边对 x 求导。0x1yxe
5、/y，将 x=0， e1y代入得：/(3) 是由方程 e所确定的隐函数,试求 0y/, /。解: 方程两边对 x 求导：e/方程两边再对 x 求导：0y2y/ 由原方程知，当 0时， 1，代入得 e1)(/再将 x， ， e)(/代入式，得 2/e1)(y3、 分段函数的导数1) 1) 设),1a0(x,sina)x(f求： /解：当 2/xsinco)(f,0xalx1a2lim0flifx_/ lna2)1(li0x1sinlmx)0(fli)0(f/ 02coisn2)(f/ 0/不存在，故 0/xf高阶导数（n 阶）略，例 32)(1xy)6(!42) 设 f在（ ,）上具有二阶连续导
6、数，且 0)(f，对函数 a)x(g0x(1) 确定 的值，使 )(在（ ,）上连续(2) 对（1）中确定的 ，证明 )(g在（ ,）上一阶导数连续解： )0(fxflimfli)x(glia /00即当 ,f/y在 连续，也就是在（ ）连续 x)(flix)(gli)0(g/0/ 2fm2f/而/0x/0x)(li)(li 0g)(fliff /0x/ xg/在 0连续,即在 ,连续第五节 函数的微分教学目的与要求：理解微分的意义与可导的关系 熟悉微分的应用教学重点（难点）：微分公式与微分运算法则dx)(f)(fdy/一阶微分形式不变 ufy /（ 自变量）如 )u(f)(dfxdy/(u中间变量)例： 2xe， e2， dxe2yx可导 可微
