1、高中数学辅导网 http:/ http:/ 西城一模文 11）.双曲线 的离心率为_ _；若椭圆2:1xCy62与双曲线 有相同的焦点，则 _ _.21(0)xyaa2（2011 西城一模文 12）. 设不等式组 表示的区域为 ,圆2,xyW:C及其内部区域记为 .若向区域 内投入一点，则该点落在区域2()4xyDW内的概率为_ _.D83（2011 东城一模理 13）过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物2(0)ypx60线分别交于 ， 两点（点 在 轴上方） ， ABAAFB34（ 2011 东城一模文 9）抛物线 28yx的焦点坐标为 (2,0)5（ 2011 朝阳一模理 7）如图，
2、双曲线的中心在坐标原点 ， O,AC分别是双曲线虚轴的上、下顶点， 是双B曲线的左顶点， 为双曲线的左焦点，直F线 与 相交于点 .若双曲线的离心BD率为 2，则 的余弦值是（ C）（A） （B ） 757（C ） （D）14146(2011 丰台一模理 10)双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，离心率为 3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 243xy2y7（2011 门头沟一模理 12.）设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有12bax 21yx一个公共点，则双曲线的离心 率等于 5xyOCBAFD高中数学辅导网 http:/ http:/ 石景山一模理 7). 已知椭圆 的焦点为
3、 ， ，在长轴 上任取一214xy1F212A点 ，过 作垂直M于 的直线交椭圆于点 ，则使得 的点 的概率为（ ）12AP120PMA B C D36239(2011 朝阳一模文 12)抛物线 上一点 与该抛物线的焦点 的距离 ，24yxF|4则点 的横坐标 = 3 .Mx10(2011 丰台文 9)已知抛物线 上一点 P(3，y)，则点 P 到抛物线焦点的距离为 4 2yx 11(2011 门头沟一模文 5).椭圆两焦点为 1(4,0)F， 2(,)， P 在椭圆上，若12PF的面积的最大值为 12，则该椭圆的标准方程为A. 59xy B. 2156xyC. 219xyD. 1602yx1
4、2(2011 石景山一模文 7). 已知椭圆 的焦点为 ， ，在长轴 上任取一24xy1F212A点 ，过 作垂直M于 的直线交椭圆于点 ，则使得 的点 的概率为（ ）12AP120PMA B C D3632解答1（2011 西城一模理 19）. （本小题满分 14 分）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 轴正半轴于点 ，交抛2(0)ypxFyP高中数学辅导网 http:/ http:/ 两点，其中点 在第一象限.,ABA（）求证：以线段 为直径的圆与 轴相切；Fy（）若 , , ，求 的取值范围.1P2B1,422解：（）由已知 ,设 ，则 ，(0)p1(,)Axy1px圆心坐标为 ，圆心
5、到 轴的距离为 ， 124x142 分圆的半径为 ， 112()2Fxpx4 分所以，以线段 为直径的圆与 轴相切. Ay5 分（）解法一：设 ，由 , ,得02(,),)PyBx1FAP2BFA， ， 111(,)2px221(,)()ppyxy6 分所以 ，1110,()xy， 221()ppy8 分由 ，得 .21y21y又 ， ，1pxx所以 . 21x10 分代入 ，得 ， ，21()x21()ppx212()()整理得 ， 12p12 分代入 ，得 ，11xx122p所以 ， 122高中数学辅导网 http:/ http:/ 分因为 ，所以 的取值范围是 . 12,424,2314
6、 分解法二：设 ， ，),(),(21yxBA:2pAxmy将 代入 ，得 ，pxmy20所以 （*） ， 216 分由 ， ，得1FAP2BFA， ， 7110(,)(,)2pxyxy221(,)(,)ppxyxy分所以， ，1110,()， 8221()ppxy分将 代入（*）式，得 ， 12y2110 分所以 ， . 21px1212 分代入 ，得 . 112xx12213 分因为 ，所以 的取值范围是 . 12,424,314 分2（2011 西城一模文 19）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 .2yxFl(4,0)M（）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的斜率；Fl3l（）设 为抛
7、物线上两点，且 不与 轴重合，若线段 的垂直平分线恰过,ABABAB点 ，求证：线段 中点的横坐标为定值.M高中数学辅导网 http:/ http:/ 不合题意.设直线 的方程为 ，4xl(4)ykx由已知，抛物线 的焦点坐标为 ， C(1,0)1 分因为点 到直线 的距离为 ，所以 ， Fl3231k3 分解得 ，所以直线 的斜率为 . 2kl25 分（）设线段 中点的坐标为 ， ，AB0(,)Nxy),(),(21yxBA因为 不垂直于 轴，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， M04x04y7 分直线 的方程为 ， AB00()yx8 分联立方程 0024(),yx消去 得 ， x20
8、00(1)(4)4yx10 分所以 ， 012x11 分因为 为 中点，所以 ，即 ， NAB120y04yx13 分所以 .即线段 中点的横坐标为定值 . 14 分02x3(2011 东城一模理 19) （本小题共 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，且两个焦点和短轴的一个端点是21(0)yxab2高中数学辅导网 http:/ http:/ 的直线 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 ，(0)kl P两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 QPy(,)Mm（）求椭圆的方程；（）求 的取值范围；（）试用 表示 的面积，并求面积的最大值MQ解：（）依题意可得， ， ，2accb又 ，2b可得 1,所以椭
9、圆方程为 21yx（）设直线 的方程为 ，lk由 可得 2,1ykx2()10xk设 ，2(,),PxyQ则 ， 12k12xk可得 121224()y设线段 中点为 ，则点 的坐标为 ，PQN2(,)k由题意有 ，1kM可得 2mk可得 ，21又 ，0k所以 2m高中数学辅导网 http:/ http:/ ，F则 .122MPQSx，211128(1)()4kx 由 ，可得 2mkkm所以 1228(1)()x又 ，FMm所以 .3(1)PQS所以 的面积为 （ ） 3)(2m210设 ，3)1()mf则 42可知 在区间 单调递增，在区间 单调递减)(f),0( )21,4(所以，当 时，
10、 有最大值 41mf67f所以，当 时， 的面积有最大值 MPQ834（ 2011 东城一模文 19） （本小题共 14 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，椭圆 上的点到焦点距Cx12C离的最大值为 3（）求椭圆 的标准方程；（）若过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求实数(0,)PmlC,AB3P的取值范围解：（）设所求的椭圆方程为：21(0)xyab高中数学辅导网 http:/ http:/ 221331caabc所求椭圆方程为： 5 分243xy（）若过点 的斜率不存在，则 (0,)Pm32m若过点 的直线斜率为 ，即： 时，,k直线 的方程为AByx由
11、 222(34)8410341ykxmkmx61因为 和椭圆 交于不同两点ABC所以 ，02430k所以 2m设 12(,)(,)xy由已知 ，则 3APB 2121284,33kmxxk1(,),(,)xyy2将代入得：22413()34kk整理得： 21690m所以 代入式得29k223m，解得 24(3)0234所以 或 m高中数学辅导网 http:/ http:/ 的取值范围为： m3(,)214 分5（ 2011 朝阳一模理 19） （本小题满分 14 分）已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异(2, 0)A(, )BCFPC于 ， 的动点，且 面积的最大值为
12、P23（）求椭圆 的方程及离心率；C（）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以DABD为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明F解：（）由题意可设椭圆 的方程为 ， 21(0)xyab(,)Fc由题意知 解得 ， 2213, .abcb1c故椭圆 的方程为 ，离心率为 6 分C143xy2（）以 为直径的圆与直线 相切 BDPF证明如下：由题意可设直线 的方程为 .A()ykx0则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 (2, 4)kBDE2, 由 得 2143yx222()1610xk设点 的坐标为 ，则 P0(,)y2034k所以 ， 10 分206834kx021()
13、x因为点 坐标为 ，F(1, )当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .2kP3(, )2D(2, )OF EP DBAyx高中数学辅导网 http:/ http:/ 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切PFxBD22()(1)xyPF当 时，则直线 的斜率 .12kPF024PFkk所以直线 的方程为 24(1)yx点 到直线 的距离 EPF228416()kkd3281|k又因为 ，所以 |4|BDk|2BD故以 为直径的圆与直线 相切PF综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切14 分APF6(2011 丰台一模理 19).（本小题共 14 分） 已知点 ， ，动点 P
14、满足 ，记动点 P 的轨迹为 W(1,0)(,)B|23AB（）求 W 的方程；（）直线 与曲线 W 交于不同的两点 C，D，若存在点 ，使得ykx (,0)Mm成立，求实数 m 的取值范围CMD解：（）由椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 的椭23圆2 分 ， ， 3 分1c3a2bW 的方程是 4 分21xy（另解：设坐标 1 分，列方程 1 分，得结果 2 分）（）设 C，D 两点坐标分别为 、 ， C，D 中点为 (,)Cxy(,)y0(,)Nxy由 得 6 分213ykx2(3)630kkx高中数学辅导网 http:/ http:/ 7 分12263kx
15、， 从而 00213ykx 斜率 9 分MN203ykxmk又 ， ，CDCMN 即 10 分213kkm23k当 时， ； 11 分0当 时， 13 分k2123kk126,0(),故所求 的取范围是 14 分m16,7(2011 海淀一模理 19). （本小题共 14 分）已知椭圆 经过点 其离心率为 . 2:1xyCab(0)a3(1,)2M12（）求椭圆 的方程；()设直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，以线段 为邻:(|)2lykxmC,OAB边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P 在椭圆 上， 为坐标原点.求 的取值范围.OP解：（）由已知可得 ，所以 1 分214abe234ab
16、又点 在椭圆 上，所以 23(1,)2MC29分由解之，得 . 24,3ab故椭圆 的方程为 . 5 分C1xy高中数学辅导网 http:/ http:/ 由 2,1.43ykxm消 化简整理得： ，y22(4)8410kxm 2 261(3)kmk8 分设 点的坐标分别为 ，则,ABP120(,),(,)xyxy、 、. 0120122 28 63434k mx kk9 分由于点 在椭圆 上，所以 . PC2013xy10 分从而 ，化简得 ，经检验满足式. 22161(34)()kmk2243mk11 分又2220646| (3)(4)OPxykk2241919()m1223.4k分因为
17、，得 ，有 ，124231k故 . 3OP即所求 的取值范围是 . 14 分1,2()另解：设 点的坐标分别为 ，,ABP120(,),(,)xyxy、 、由 在椭圆上，可得 , 2134x高中数学辅导网 http:/ http:/ 分整理得 121212123()4()0xxyy7 分由已知可得 ，所以 OPAB120xy8 分由已知当 ,即 12ykx1212()ykx9 分把代入整理得 0034ky10 分与 联立消 整理得 20341xy0x209311 分由 得 ，20220043y所以 2 20 021| 433OPxyyk12 分因为 ，得 ，有 ，1k234k24k故 . P1
18、3 分所求 的取值范围是 . 14O13,2分8(2011 门头沟一模理19) （本小题满分 13 分）如图：平行四边形 的周长为 8，点 的坐标分别为 AMBN,N0,3,（）求点 所在的曲线方程；,（）过点 的直线 与()中曲线交于点 ，与 Y (20)ClD轴交于点 ，且 / ，EOA2,4,6O xyAM NB高中数学辅导网 http:/ http:/ 为定值2CDEOA解：（）因为四边形 是平行四边形,周长为 8MBN所以两点 到 的距离之和均为 4,可知所求曲线为椭圆 ,1 分由椭圆定义可知， ， 2,3ac1b所求曲线方程为 44yx分（）由已知可知直线 的斜率存在，又直线 过点
19、ll(2,0)C设直线 的方程为： l(2)ykx5 分代入曲线方程 ，并整理得21(0)4y222(14)6140kxk点 在曲线上,所以 ( , ) (0)CD284k28 分, , (2)Ek22(,)1k(,)CEk9 分因为 / ,OAl所以设 的方程为 ykx10 分代入曲线方程，并整理得 2(14)所以 22(,kA11 分高中数学辅导网 http:/ http:/ 为定值 2CDEOA13 分9（2011 石景山一模理 19） （本小题满分 13 分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，动点12byax)0()21,6(P2.(2)0Mt，（）求椭圆的标准方程；（）求以 OM 为直
20、径且被直线 截得的弦长为 2 的圆的方程；3450xy（）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线段 ON 的长为定值，并求出这个定值.解：（）由题意得 2ca因为椭圆经过点 ，所以 )1,6(P261()(ab又 22abc由 解得 ， . 12cb所以椭圆方程为 . 3 分2xy（）以 OM 为直径的圆的圆心为 ,半径 ，(1)2t214tr方程为 5 分22(1)()4txy高中数学辅导网 http:/ http:/ OM 为直径的圆被直线 截得的弦长为 2，3450xy所以圆心到直线 的距离 . 7 分xy21drt所以 ，解得 .32
21、5tt4t所求圆的方程为 . 9 分22(1)()5xy（）方法一：过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，由平几知： .2ONKM则直线 OM： ，直线 FN： 11 分2tyx(1)yxt由 得 .,(1),tyxt24Kt .222()(1)4KMttONx 242t所以线段 ON 的长为定值 . 13 分方法二：设 ，则 ， ，0(,)xy),1(0yxFN),2(tO， .2tMN0O ， . . 11 分F)(0tyx0tyx又 ， ，)(20 .2002tyxx 为定值. 13 分ON10(2011 朝阳一模文 19) （本小题满分 14 分）已知 ， 为椭圆 的左右顶点， 为
22、其右焦点(2, 0)A(, )BC(1, 0)F（）求椭圆 的标准方程及离心率；C（）过点 的直线 与椭圆 的另一个交点为 （不同于 ， ） ，与椭圆在点 处的l PABB切线交于点 当直线 绕点 转动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位DlADPF置关系，并加以证明高中数学辅导网 http:/ http:/ 的方程为 ，半焦距为 ，C21(0)xyabc因为 、 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点，(2, 0)A(, )B, F所以 ， a1c又因为 ，所以 22b23bac故椭圆 的方程为 ，离心率为 5 分C43xy1（）以 为直径的圆与直线 相切. 证明如下：BDPF由题意可设直线 的
23、方程为 ，l(2)ykx0则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 (2, 4)BDE(, )k由 得 21,43ykx222()1610kx设点 的坐标为 ，则 P0(,)y2034k所以 ， 206834kx021()xk因为点 坐标为 ，F(1, )当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，2kP3(, )2D(2, )直线 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切xB2()1xyPF当 时，则直线 的斜率 .12kF024PFkk所以直线 的方程为 P24(1)yx点 到直线 的距离 EF228416()kkd3281|k又因为 所以 |4|BDk|2BDOF EP DBAyx高中数学辅导网 htt
24、p:/ http:/ 为直径的圆与直线 相切BDPF综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切14 分lABDPF11(2011 丰台文 18) （本小题共 14 分）已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，对称轴为坐标轴，且经过点 Ex123(1,)2()求椭圆 的方程；()直线 与椭圆 相交于 A，B 两点，在 上存在一点 ， 上存在2ykEOMOB一点 ，使得 ，若原点 在以 为直径的圆上，求直线斜率N1MN的值k解：() 依题意，可设椭圆 的方程为 E21(0)xyab1 分 ， ， 2ca2ac223c3 分 椭圆经过点 ，(1,) 椭圆的方程为 2143xy5 分()
25、记 两点坐标分别为 ， ，,AB1(,)Axy2(,)B消 y，得 2143ykx 2(43)1640kxk7 分 直线与椭圆有两个交点， ，24(16)(3)0k 214k9 分由韦达定理 ， 12643kx1243xk高中数学辅导网 http:/ http:/ 原点 在以 为直径的圆上，OMN ，即 0 ， 在 上， 在 上12ABOB ， 0OAB10 分又 ， ，1(,)OAxy2(,)Bxy OAB121212()xyxkx21212()(+)4kxkx226+4=03kk ， 241=3k13 分 k14 分12(2011 海淀一模文 19). （本小题共 14 分）已知椭圆 经过
26、点 其离心率为 . 2:1xyCab(0)a3(1,)2M12（）求椭圆 的方程；()设直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，以线段 为邻边作平行四边形l ,OABOAPB，其中顶点 P 在椭圆 上， 为坐标原点. 求 到直线距离的 最小值.Ol解：（）由已知， ，所以 ， 1 分214abe234ab又点 在椭圆 上，所以 ， 2 分3(1,)MC29由解之，得 .2,3ab故椭圆 的方程为 . 5 分214xy高中数学辅导网 http:/ http:/ 当直线 有斜率时，设 时，lykxm则由 2,1.43ykx消去 得， ， 6 分y22()8410kxm， 7 分2 26()8(3)km
27、设 A、B、 点的坐标分别为 ，则：P120,xyxy、 、，8 分0120122 28 6,()3434kx kk由于点 在椭圆 上，所以. 9 分C203xy从而 ，化简得 ，经检验满足式. 22161(34)()kmk2243mk10 分又点 到直线 的距离为：Ol11 分 2223| 1344()421kmdk当且仅当 时等号成立 12 分0当直线 无斜率时，由对称性知，点 一定在 轴上，l Px从而 点为 ，直线 为 ，所以点 到直线 的距离为 1 13 分P(2,0)l1xOl所以点 到直线 的距离最小值为 14 分Ol3213(2011 门头沟一模文 18).（本小题满分 14
28、分）已知双曲线 =1 的两个焦点为 、 ，P 是双曲线上的一点，24byx)(*N1F2且满足 ，4PFPF2211，高中数学辅导网 http:/ http:/ 的值；b（II）抛物线 的焦点 F 与该双曲线的右顶点重合，斜率为 1 的直线)0(2pxy经过点 F 与该抛物线交于 A、B 两点，求弦长|AB|.解 （I）根据题意 ， 2 分，42a又， ， ，又|P F |PF |=| cb42|1aP1F F | = ， |P F |4， 得1222在区间（0,4）上有解， 所以 4 分04| cP82c因此 ，又 ，所以 6 分2b*N1b（II）双曲线方程为 =1，右顶点坐标为（2,0）
29、 ，即 7 分24yx)0,2(F所以抛物线方程为 直线方程为 (xy9 分)1(82由（1） （2）两式联立，解得 2461yx和 24611 分所以弦长|AB|= 212)()(x=16 14 分14(2011 石景山一模文 19) （本小题满分 13 分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，动点12byax)0()21,6(P2.(2)0Mt，（）求椭圆的标准方程；（）求以 OM 为直径且被直线 截得的弦长为 2 的圆的方程；3450xy（）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线段 ON 的长为定值，并求出这个定值.解：（）由题意得 2ca
30、高中数学辅导网 http:/ http:/ ，所以 )21,6(P261()(ab又 22abc由 解得 ， . 12cb所以椭圆方程为 . 3 分2xy（）以 OM 为直径的圆的圆心为 ,半径 ，(1)2t214tr方程为： 5 分2(1)()4txy因为以 OM 为直径的圆被直线 截得的弦长为 2，350xy所以圆心到直线 的距离 . 7 分xy21drt所以 ，解得 .325tt4t所求圆的方程为 . 9 分22(1)()5xy（）方法一：过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，由平几知： .2ONKM则直线 OM： ，直线 FN： 11 分2tyx(1)yxt由 ，得： .(1)tyxt24Kt .222()(1)4KMttONx 242t所以线段 ON 的长为定值 . 13 分方法二：设 ，则 ， ，0(,)xy),1(0yxFN),2(tO， .2tMN0O ， . . 11 分F)(0tyx0tyx高中数学辅导网 http:/ http:/ ， ，ONM0)()2(00tyx .2020tyx 为定值. 13 分
