1、培优训练 重在平时1三角形第一讲 与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须不在一条直线上，首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形 ABC 用符号表示为ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂
2、足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。三角形的三条高相交于一点。4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。 （三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。6.三角形的稳定性:例 1.一个等腰三角形的周长为 32 cm，腰长的 3 倍比底边长的
3、2 倍多 6 cm.求各边长.例 2.已知：ABC 的周长为 48cm，最大边与最小边之差为 14cm，另一边与最小边之和为 25cm，求：ABC的各边的长。例 3.已知ABC 的周长是 24cm，三边 a、b、c 满足 c+a=2b，c-a=4cm，求 a、b、c 的长.例 4.已知等腰三角形的周长是 16cm培优训练 重在平时2（1）若其中一边长为 4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为 6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长例 5.已知等腰三角形的周长是 25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是 4,求等腰三角形各边的长。例 6.已知：AB
4、C 的周长为 48cm，最大边与最小边之差为 14cm，另一边与最小边之和为 25cm，求：ABC的各边的长。例 7.如图所示，已知在ABC 中，AB=AC =8，P 是 BC 上任意一点，PDAB 于点 D，PEAC 于点 E.若ABC 的面积为 14，问：PD+PE 的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.【课堂练习】1.下列说法错误的是( ).A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点； B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；D.三角形的三条高可能相交于外部一点2.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1、
5、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、63.已知三角形的周长为 15cm，且其中的两边都等于第三边的 2 倍，则此三角形的最短边为（ ）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm4.已知三角形的三边长分别为 4、5、x，则 x 不可能是（ ）A3 B5 C7 D95.等腰三角形的底边 BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长 AC 为( ) A.10 cm 或 6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm 或 6 cm 6.如果三角形的两边分别为 7 和 2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）A.5 B.6 C.7 D.87.如果一个三角形的三条高的交点
6、恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 培优训练 重在平时3A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形8.如图,在ABF 中，B 的对边是（ ）A.AD B.AE C.AF D.AC9.图中三角形的个数是（ ）A8 B9 C10 D1110.已知，如图所示，ABC 的顶点坐标分别为 A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1)，如将 B 点向右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1点，若设ABC 的面积为 S1,AB1C 的面积为 S2,则 S1,S2的大小关系为（ ） A. S1S2 B. S1=S2 C.S1ACD B.B+ACB =180-A C.B+
7、ACB B2.如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上，且 AD=BD=CD，AE 是 BC 边上的高，若沿 AE 所在直线折叠，点 C 恰好落在点 D 处，则B 等于（ ）A.25 B.30 C.45 D.60 3.如图，已知 AB=AC=BD，那么1 和2 之间的关系是（ ）A.1=22 B.21+2=180 C.1+32=180 D.31-2=1804.如图，C、E 和 B、D、F 分别在GAH 的两边上,且 AB=BC=CD=DE=EF，若A=18 0,则GEF 的度数是( )A.80 B.90 C.100 D.108培优训练 重在平时175.在锐角三角形中，ABC，则下列结论中错误的
8、是（ ）A. A60 B. B45 C. C60 D. BC906.在ABC 中，A 是锐角，那么ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定7.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_8.已知 ABC 的三边长分别为 ，且 ，求 b 的取值范围.cba， 05|2| 2）（ cba9.已知，如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，1=2，3=4，BAC=120 0，求DAC 的度数。10.如图,在ABC 中,D 是 BC 边上一点,1=2,3=4,BAC=63,求DAC 的度数.11.如图，C 岛在 A 岛的北偏东 500方向，B 岛在 A 岛的北偏东
9、800方向，C 岛在 B 岛的北偏西 400方向，从C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？12.如图所示,ABC 两外角的平分线 BP、CP 交于点 P,已知A=50 0，求P 的度数.培优训练 重在平时1813.如图，把ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，探索A 与12 有什么数量关系？并说明理由。14.如图，1=2=3，且BAC=70 0，DFE=50 0，求ABC 的度数。15.如图，在平面直角坐标系中，ABO=2BAO，P 为 x 轴正半轴上一动点，BC 平分ABP，PC 平分APF，OD 平分POE。 （1）求BAO 的度数；（2）求证：C=15+
10、 OAP；21（3）P 在运动中，C+D 的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。第三讲 与三角形有关的证明例 1.如图，已知，C=DAE，B=D，那么 AB 与 DF 平行吗？为什么？ 培优训练 重在平时19例 2.如图，ABC 中，1 与 A 有什么关系？为什么？例 3.如图，CD 是ABC 中ACB 的外角平分线，请猜测BAC 和B 的大小关系,并说明理由.例 4.如图，已知 P 是ABC 内任意一点，求证：PB+PCAB+AC。例 5.已知 P 是ABC 内任意一点，试说明 ABBCCAPAPBPC (ABBCCA)的理由.21【课堂练习】1.如图，D 是ABC 中 BC 边
11、上一点，DEAC 交 AB 于点 E,若EDA=EAD,试说明，AD 是ABC 的角平分线.2.已知，如图， 在 ABC 中，O 是高 AD 和 BE 的交点，观察图形，试猜想 C 和DOE 之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想3.如图，1=20，2=25，A=35，求BDC 的度数。培优训练 重在平时204.在ABC 中，E 是 AC 延长线上的一点，D 是 BC 上的一点，下面的命题正确吗？若正确，请说明理由。 1=E +A +B; 1 A.5.如图，已知点 P 在ABC 内任一点，试说明A 与P 的大小关系,并证明之。6.如图，已知ABC 与DEF 是一副三角形的拼图，A,E,C,D
12、在同一条直线上，（1）求证：EFBC; (2)求1 与2 的度数。【课后练习】1.已知：如图，在ABC 中，ACB90，CD 为高，CE 平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么 CE 是AB 边上的中线对吗?说明理由2.如图，E 是ABC 的边 CA 延长线上一点，D 点在 BC 的延长线上，试说明：1B,则DAE 与C-B 有怎样的数量关系？说明理由；(3)若点 A 在 AD 上移动到点 F,FE BC 于 E,其它条件不变，那么EFD 与C、B 是否还有（2）中的结论？试说明理由。 （如图 2）4.如图，在ABC 中，内角A 和外角CBE 和BCF 的角平分线交于点 P,AP 交 BC
13、于 D,过 B 作 BG AP 于G.（1）若 GBP=450，求证:AC BC;（2）在图上作出PDC 在 PC 边的高 DH,并探究APB 和HDC 的数量关系，并说明理由。5.已知：如图，在ABC 中有 D、E 两点，求证：BDDEECABAC培优训练 重在平时23第四讲 多边形及其内角和定义：由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形、n 边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。与三角形类似地，多边形相邻两边组成
14、的角叫做多边形的内角，如图中的A、B、C、D、E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角如图中的1 是五边形 ABCDE 的一个外角。连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线凸多边形和凹多边形：在图（1）中，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画 BD 所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形正多边形的概念:我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，
15、像这样各个角都相等，培优训练 重在平时24各条边都相等的多边形叫做正多边形。多边形的内角和：n 边形的内角和等于（n-2）180观察下面的图形，填空：从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ；从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ；从 n 边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将 n 边形分成 三角形，n 边形的内角和等于 。n 边形的外角和等于 360。镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题同一个顶点处的各个角的和等于 360，且相邻的多
16、边形有公共边。也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？例 1.已知正多边形的一个内角是 150，求这个多边形对角线的条数？例 2.如图，一个任意五角星的五个角的和是多少？例 3.如图，求1+2+3 +4+5+6+7 的度数。例 4.如图， （1）已知ABC 为正三角形，点 M 是 BC 上一点，点 N 是 AC 上一点，AM、BN 相交于点 Q，BAM=NBC,猜想BQM 等于多少度，并证明你的猜想；培优训练 重在平时25将（1）中的“正ABC”分别改为正方形 ABCD、正五边形 ABCDE
17、、正六边形 ABCDEF、正 n 边形ABCDX， “点 N 是 AC 上一点”改为点 N 是 CD 上一点，其余条件不变，分别推断出BQM 等于多少度，将结论填入下表：【课堂练习】1.下列说法不正确的是（ ）A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.B.画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.C.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.D.连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.2.过 n 边形的一个顶点的所有对角线把 n 边形分成 8 个三角形，则这个多边形的边数为（ ）A.11 B.10 C.9 D.83.如图，
18、ABC、ADE 及EFG 都是等边三角形，D 和 G 分别为 AC 和 AE 的中点，若 AB=4 时，则图形ABCDEFG 外围的周长是（ ）A.12 B.15 C.18 D.214.若从一个多边形的一个顶点最多可以引 10 条对角线,则它是( )A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形培优训练 重在平时265.下列可能是 n 边形内角和的是（ ）A.300 B.550 C.720 D.9606.一个多边形内角和是 10800，则这个多边形的边数为（ ）A.6 B.7 C.8 D.97.一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，它是（ ）A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
19、8.一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( )A.180 B.360 C.(n-2)180 D.n1809.若一个多边形的内角和与外角和相加是 1800，则此多边形是( )A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形10.能够用一种正多边形铺满地面的是_。( )A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形11.多边形的每一个内角都等于 150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。12.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有 个正三角形。13.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有_个正三角形和_个正六边形或 _个正三角形和_个正六边形。14
20、.某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌，已选好了正十二边形和正方形两种，还需选用 n 边形的边数每增加 1 条，其内角和增加 度。15.若一个多边形的边数增加 m 条，则多边形的内角和增加_度.16.如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为 R 的扇形草坪。（1）图 中草坪的面积为_。 （2）图 中草坪的面积为_。 1 2（3）图 中草坪的面积为_。 3（4）如果多边形边数为 n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_。【课后练习】1.多边形的边数由于增加到 n（n3） ，其外角度数的和是（ ）A.增加 B.保持不变 C.减少 D.变成（n-3）1802.下列正多边形的组
21、合中，能够铺满地面的是( ).培优训练 重在平时27A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形3.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有( )种.A.1 B.2 C.3 D.44.某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( )种.A.1 B.2 C.3 D.45.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( )A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形6.某人
22、到商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( )A.三角形 B.矩形 C.正八边形 D.正六边形7.六边形共有_条对角线，内角和等于_，每一个内角等于_。8.从九边形的一个顶点作对角线，能作 条，可把九边形分成 个三角形。9.如果一个多边形的每一外角都是 24，那么它是_边形。10.一个多边形的内角和与外角和之比是 52，则这个多边形的边数为_。11.已知一个十边形中九个内角的和的度数是 12900，那么这个十边形的另一个内角为 度12.一个多边形的每个内角都为 135，则这个多边形的边数为_13.一个多边形的每一个外角都等于 24,则这个多边形是 边形.14
23、.一个多边形的内角和与外角和的比是 72，则这个多边形是 边形.15.用一条宽相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图所示的正五边形 ABCDE，其中BAC=_16.用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_个正三角形和_个正四边形。第 n 个图案中有白色地砖_块.17.阅读材料，并填表：在ABC 中，有一点 P1,当 P1,A,B,C 没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图(1).当ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？培优训练 重在平时28完成下表:18.如图，CDAF，CDE=BAF
24、，ABBC，BCD=124,DEF=80(1）观察直线 AB 与直线 DE 的位置关系，你能得出什么结论？并说明理由；（2）试求AFE 的度数【能力提高】1.用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是 A.正三角形 B.正六边形 C.正五边形 D.正四边形2.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个3.如图所示， 等于（ ）ABCDEFA.1800 B.2700 C.3600 D.54004.如下图，ABCDEF。5.如图所示，1234 6.如图，小喜从 A 点出发前进 10m，向右转 15，再前进 10m，又向右转 15，这
25、样一直走下去，他第一次回到出发点 A 时，一共走了_m.7.如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个 22 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 5 个，如果铺成一个 33 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 13 个，如果铺成一个 44 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 25 个，若这样铺成一个 1010 的正方形图案，则其培优训练 重在平时29中完整的圆共有_个.8.一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的 3 倍还多 20，求这个多边形对角线的条数。9.一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是 2000，那么这个外角是多少度？这个多边形的边数是多少？看图答
26、题：问题：（1）小华在求几边形的内角和?（2）少加的那个角为多少度？全等三角形第五讲 全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用 表示，读作“全等于”全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作 。DEFABC和 DEFABC把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。例
27、1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，EAC=30 0，则DAB 的大小为 例 2.如图，在平面上将ABC 绕 B 点旋转到ABC的位置时，AABC，ABC=70，则CBC为_度.例 3.如图，在ABC 中，A:B:C=3:5:10，又MNCABC，则BCM：BCN 等于（ ）A1:2 B1:3 C2:3 D1:4 【课堂练习】1.根据下列条件，能画出唯一 的是( )A培优训练 重在平时30A. AB=3,BC=4,CA=8 B.AB=4,BC=3,A=30 0 C. C=60 0,B=45 0,AB=4 D.C=90 0,AB=62.如图12=20 0，AD=AB， D=B，E
28、 在线段 BC 上，则AEC=（ ） A.200 B.700 C.500 D.8003.已知:如图,ABCDEF,ACDF,BCEF.则不正确的等式是（ ）A.AC=DF B.AD=BE C.DF=EF D.BC=EF4.如图，BCDCBE，BC6，CE5，BE4，则 CD 的长是（ ）A4 B5 C6 D无法确定5.已知图中的两个三角形全等，则 度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.506.如图，将 RtABC(其中B34 0，C90 0）绕 A 点按顺时针方向旋转到AB 1 C1的位置，使得点C、A、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A.56 0 B.680 C.1240 D.180 07.如图，ABEACD，B50 ，AEB60 ，则DAC 的度数等于（ ）A120 B70 C60 D508.若两个三角形的面积相等 , 则这两个三角形_全等9.如图,ABDACE,且BAD和CAE,ABD和ACE,ADB和AEC是对应角,则对应边_10.如图,ABCDBC,且A和D,ABC和DBC是对应角,其对应边:_,对应角:_11.如图，ABOCDO，OA=2，AB=4，BO=3，则 DC= ，OC= ，OD= .12.如图，ABCDEF，A 与 D，B 与 E 分别是对应顶点，B=32 0，A=68 0，AB=13cm，则F=_度，DE=_cm
