1、2016 年新乡市高校数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了新乡市高校数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们参赛选择的题号为（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的报名参赛
2、队号为： 参赛组别（本科或专科）： 本科 所属学校（请填写完整的全名） 新乡学院 参赛队员 (打印并签名) ：姓名 专业 签名1. 数学与应用数学2. 数学与应用数学3. 数学与应用数学日期： 年 月 日2016 年新乡市高校数学建模联赛编 号 专 用 页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：评阅记录评阅人评分备注裁剪线 裁剪线 裁剪线 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：1A 题 拥挤的食堂摘要本文根据题目要求研究我校第一食堂入口拥挤问题，通过 5 月 15 至 5 月 20 日 5 天用餐时间内对我校食堂调查，通过对数据的分析建立
3、了以分析队列长度的变化的概率统计分布模型，并且得到了初步的结果。（1） 对于问题一，通过连续 5 天同一时间同一地点得到了与实际情况大致相符的所需数据。（2） 对于问题二，根据问题一调查所得到的结果，对问题二进行假设分析，建立以分析队列长度的变化的概率统计分布模型。（3） 对于问题三，根据自己的亲身经历和观察，进行数据调查建立排队理论模型，分析解决问题关键词： 学生食堂 拥挤 排队论 M/M/s 模型一 问题重述在大学校园里，每到放学吃饭的时候，总是让同学们进食堂吃饭比较困难，因为进门特别拥挤。这是一个多数大学都存在的问题，新乡市各高校的食堂也是如此。请建模说明下列问题（请选自己学校一个典型餐
4、厅为例，但在文中不要显示具体学校和餐厅的名字）问题一：中午放学的时候，食堂门口来流人数达到每分钟多少人时，会发生拥挤。问题二：如果把中午放学时，食堂对着教学区开的门适当扩大 50%，对进门拥挤能否有所改善。问题三：如果把食堂对着教学区的门口装置上隔离栏（隔离栏：和风景区进门检票、火车站排队买票那种形式一样，达到把人隔成单一人流的目的，起到强制排队的作用） ，食堂门口来流人数达到每分钟多少人时会发生拥挤。二 模型假设模型一假设:1、由于在周六周日的食堂就餐人数比较少，对于拥挤情况至考虑周一至周三的情况，通过对课表的研究，可以假设每天的人数是固定的，有由于长期习惯作用的结果可以认为到第一食堂就餐的
5、人数是稳定的。2、每个人到来的时刻、他们进门的时间是相等且相互独立的。3、不考虑进入的人就餐后出门对拥挤程度的影响。24、每天食堂大门的开启程度相同。5、数据统计以 5 分钟为一个单位。三 符号说明x: 时间段y1;时间段内到达食堂的人数y2：时间段内进入食堂的人数四 模型一的准备表 1 模型数据统计周一 12:00 至 13:00时间段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12到达人数 45 125 160 215 294 313 280 200 180 105 83 45进入人数 45 125 160 210 218 220 215 217 214 185 147 89周二 1
6、2:00 至 13:00到达人数 60 105 154 190 301 321 267 211 170 101 93 52进入人数 60 105 154 190 212 223 215 220 210 193 143 100周三 12:00 至 13:00到达人数 55 150 151 240 305 326 293 189 175 94 80 38进入人数 55 150 151 208 214 221 217 215 211 186 154 114注：此数据来源于本组成员周一至周三于我校食堂门口调查所得表 2 数据整理时间段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12平均到达人数
7、50 127 155 215 300 320 280 200 175 100 85 45 平均进入人数 50 127 155 203 215 221 216 217 212 188 148 101 五 模型的建立与求解1、绘制散点图30 2 4 6 8 10 12050100150200250300350人人人人人人人人2、绘制拟合图注：到达人数拟合图4注：进入人数拟合图利用 matlab 多项式拟合得到时间和到达人数的二次多项式关系式21-7.89x+ .0375 -.64y利用 matlab 多项式拟合得到时间和进入人数的二次多项式关系式 2-4. 6.418 .问题一：由以上图形和关系式
8、对于问题求解： 将 y1，y2 的拟合图进行比较分析如下图0 2 4 6 8 10 12050100150200250300对于 y2 进行一次求导 9.7.43dyx当 dy2=0 时，求解得到 x=6.8714，则由方程 y1 可知在（1,6.8714）上为增函数，在（6.8714,12）上为减函数。则 y2 的最大值约为 229 人，则每分钟进入人数约为 46人，此时 y1 的值为 261 人，超过 y2 的最大值，即在此时食堂门口的情况为拥挤。由此可知我校食堂每分钟到达人数超过 46 人时，门口开始拥挤。由统计数据、假设以及数据整理分析可知，当适当的扩大食堂门时，可以改善食5堂门口的拥
9、挤情况。问题二：由问题一得数据及模型进行分析，当食堂门口扩大 50%时，在问题一求解所得到的时间段内，对问题二进行求解，在该时间段所进入的人数为 y(6.8714)=（1+50%）*y2=343 人，大于这时到达的人数 261 人，不会发生拥挤，情况得到改善。模型二假设1、由于在周六周日的食堂就餐人数比较少，对于拥挤情况至考虑周一至周三的情况，通过对课表的研究，可以假设每天的人数是固定的，有由于长期习惯作用的结果可以认为到第一食堂就餐的人数是稳定的。2、每个人到达时间间隔随即，服从负指数分布。3、不考虑进入的人就餐后出门对拥挤程度的影响。4、数据统计以 10 秒钟为一个单位。5、排队遵循先到先进原则。6、每个栏杆口对学生来说都一样，且以并联方式连接，学生进入时间服从参数为 的负指数分布。符号说明: 学生到达强度: 栏杆容许进入的能力t: 学生平均进入时间p0: 空闲概率Lq: 排队学生的平均数Ws: 平均排队的时间Wq: 平均逗留时间L: 学生的平均数n: 隔离栏的个数模型的准备表 3：学生流分布情况每 10 秒到达的人数 1 2 3 4 5 6频数 257 441 894 956 350 161注：此统计数据以食堂窗口排队人数为模拟人数
