1、一诺一诺一诺一诺整理整理整理整理高等数学高等数学课后习题答案课后习题答案（上海交大版）（上海交大版）（上海交大版）（上海交大版）htp:/ 1fx x=+，求 22( ) ()fx fx、。解答：2 22 4( ) ( ) 1 1fx x x= +=+, 2 2 2 4 2() 1 2 1fx x x x= +=+ +。所属章节：第一章第一节难度：一级2设e e() x xa bfx ab+= +，求() ( )fx f x+。解答：e e() x xa bfx ab+= +，( )e e e e( ) x x x xa b a bf x ab ab + += =+ +，( )e e e e(
2、) ( ) x x x x x xa b a bfx f x e eab ab + += + =+ +。所属章节：第一章第一节难度：一级3设2 1 0,() 2 0 1,1 1 3,x xx xx x ；（3）12lg(1)y x x= + ；（4）323 arcsin5xy x = + .解答：（1）由2 320x x+解得定义域为( ) ( ) ( ),1 1,2 2, +U U；（2）由11 0, 01xx x+ 解得定义域为( )1,；（3）由2 0,1 0,1 1x x x+ 解得定义域为 ) ( )2,0 0,1 U；（4）由323 0, 15xx 解得定义域为1,3。所属章节：第
3、一章第一节难度：一级5下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？（1）2() lgfx x=，() 2lggx x=；（2）()fx x=，2()gx x=；（3）ln() exfx=，()gx x=.解答：（1）()fx中的x可为一切实数，()gx中的x要求大于零，即定义域不同，故函数不同；（2）()fx将负数对应负数，而()gx把负数对应正数，对应法则不同，故函数不同；（3）()fx中的x要求大于零，()gx中的x可为一切实数，即定义域不同，故函数不同。所属章节：第一章第一节难度：一级6下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数？（1）2 2(1 )yx x= ；（2）2
4、33y x x= ；（3）1log( 0, 1)1a xy a ax= +；（4）e e2x xy +=；（5）2cos1yx x= +；（6）2ln(1 )y x x= + .解答：（1）偶；（2）非奇非偶；（3）奇；（4）偶；（5）偶；（6）奇所属章节：第一章第一节难度：一级7下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期T：（1）1tany x=+；（2）cos(31)y x= +；（3）sinyx x=；（4）2siny x= .解答：（1）周期，且T=；（2）周期，23T=；（3）非周期；（4）利用等式2 11sin cos222y x x= =知为周期函数，周期T=所属章节：第一
5、章第一节难度：一级8求下列函数的反函数：（1）2 2yx x=；（2）3 2 1y x= +；（3）2ln(1 )y x x= +；（4）221xxy=+.解答：（1）由2 2yx x=，得2( 1) 1y x=，解得1 1x y= +。所以当1 1 1 1 1 1y y x y y x =+ + ； （ 6） lim 1nn =.解 答 ： （ 1） 对 任 意 0（ 无 论 它 多 么 小 ， 下 同 ） ， 要 使 2 0n ， 故 可 取24 1N= +。 则 对 任 意 0， 存 在 24 1N= +， 当 nN时 ， 2 0n ， 要使 3 232 12nn ， 故可取 71m a
6、x( ,)4 2N = 。 则对任意 0， 存 在 71m ax( ,)4 2N = ， 当 nN时 ， 3 23 72 12 4 2nn n = ， 要使 1n n+ ，故 可 取21 1N= +。 则 对 任 意 0， 存 在 21 1N= +， 当 nN 时 ，1 11 1n n n n n+ = ，要使2 1nnn +， 故可 取 1 1N=+ 。 则 对 任 意 0 ， 存 在 1 1N=+ ， 当 nN 时 ，221 1 11nnn nNnnn += 时 ， 记 1nnr a= ， 则 (1 )nn na r nr=+ ， 对任意 0， 要使 1na ， 故 可 取 1aN=+，
7、当 nN时 ， 1na ； 0 1a ， 对 任 意 0， 要 使 1n +，故可取 22 11N= +，当 nN时， 1n ， 由 limnn a a =， 存在 N， 当 nN时 ， naa，存在 1N，当 12 2n N 时， 2nu a 时， 21nu a 时，nua， 由 于 2 212 2n nn n n时 ，2 212 2 2n nn n nN， 由 于 2 22 22 4! ( 1) 21nn nn n= ， 取 4 1N=+， 则 当 nN时 ，2 4 4!nn nN（ 无论它多么大 ， 下同 ） ， 取2log1N M= +， 则当 nN时 ，2 2 2n n N M= ，
8、因此 lim 2nn =，即数列 2n为无穷大；（ 2） 对 任 意 的 正 数 0M， 取 3 1NM= +， 则 当 nN时 ， 2 212 13 3n n nMn n+ =+ ， 因 此2 1lim 21n nn +=+ ，即数列 2 12 1nn + + 为无穷大。所属章节：第二章第二节 难度：二级 7试举出满足下列要求的数列例子：（ 1）有界但无极限的数列； （ 2）无界但非无穷大的数列。解答： （ 1） (1)nna= （ 2） 1 n na n n= 偶 奇所属章节：第二章第二节难度：二级 8求下列极限：（ 1） 3 23 22 3 41lim 3 5 2n n n nn n +
9、 + ； （ 2） 212limn nn+；（ 3） 1 1 1 1lim ( )132435 ( 2)n nn + + + + ；（ 4）23 1lim (sin!)( )3 2n nn n +.解答 ： （ 1）分子分母同除以 3n， 3 2 2 33 2 334 122 3 41 2lim lim 523 5 2 33n nn n n nn nn n nn + += = + + ；（ 2）利用 ( 1)12 2nnn += ， 2 212 ( 1) 11 1lim lim lim ( )2 22 2n n nn nnn n n + = = =；（ 3）利用 1 1 1 1 1 11111
10、 1 11 132435 ( 2)2 32435 2nn nn+ + + = + + +1 1 1 11 2 2 1 2n n= + + +， 1 1 1 1 1 1 1 1lim ( ) lim 132435 ( 2) 2 2 1 2n nnn n n + + + = + = + + + 34；（ 4）利用 sin!有界，23 1lim 03 2n nn =+ ，极限 0所属章节：第二章第二节 难度：一级 9利用数列单调有界必有极限的法则，证明下列数列极限存在：（ 1） 2 2 21 2 ,( 1,2, )n na nn n n= + = ；（ 2）21 1 1,( 1,2, )3131 3
11、1n na n= + + = + + + ；（ 3）2 2 21 1 11 ,( 1,2, )3na nn=+ = .解答 ： （ 1）数列2 2 21 2 ,( 1,2, )n na nn n n= + = 单调增加， 2 2 21 2 112n nna n n n n+= + = = + = ，求 lim nn x。参考答案：先证明 nx收敛，且 lim 3nn x =解 答 ： 由 条 件1 1 1 30, ( ), 1,2,2n n nx x x nx+ = + = 及 平 均 不 等 式 得 30, 3n n n nx x x x = ， 又21 1 3 3( ) 02 2nn n
12、n nn nxx x x xx x+ = + = ， 即数列 nx单调减少 ， 于是该数列收敛 ， 设 lim nn x a =，则 1lim nn x a+ =， 在 等 式 1 1 3( )2n n nx x x+= + 两 边 取 极 限 ， 即 可 解 得 3a= （ 负 值 舍 去 ） ， 即lim 3nn x = 。所属章节：第二章第三节难度：二级 13利用函数极限的 “ X” 定义验证下列极限：（ 1）21lim 0x x =； （ 2） sinlim 0x xx =；（ 3） 2lim 1x xx=； （ 4） lim ( 1 ) 0x x x+ + =.解 答 ： （ 1）
13、对 任 意 0（ 无 论 它 多 么 小 ， 下 同 ） ， 要 使210x ， 故 可 取1 0X= 。 则对任意 0， 存在 1 0X = ， 当 x X时 ， 2 21 10x X，要使 sin 0xx ，故可取 10X=。则 对 任 意 0， 存 在 10X=， 当 x X时 ， sin 1 10xx x X， 要使 2 (1)xx ， 故可取 20X=。则 对 任 意 0， 存 在 20X=， 当 x X时 ， 2 2 2(1)xx x X=， 要使 1x x+ ，故 可 取210X= 。 则 对 任 意 0， 存 在 210X= ， 当 xX 时 ，1 1 11 1x x x x
14、x X+ = （ 无 论 它 多 么 小 ， 下 同 ） ， 要 使 5 2(3) 5 (1)x x += 。 则 对 任 意 0， 存 在 05=， 当 (1)x ， 要使 2 44 22x xx =。 则对任 意0， 存在 0=， 当 2x ， 要使 42 2xx x = 。 则对任意 0，存在 0=，当 4x ， 要 使 2 4 2 2x x x = +。则对任意 0，存在 m in(,1) 03= ，当 2x 问当 2x时， ()fx是否有极限？解答：当 2x时， ()fx的左极限等于 4，右极限等于 0，故 ()fx的极限不存在。所属章节：第二章第四节难度：一级 16根据定义证明：（
15、 1） 2 9() 3xfx x=+当 3x时为无穷小；（ 2） 12() xfxx+= 当 0x时为无穷大。解答 ： （ 1） 对任意 0， 要使 2 90 33x xx =。 则对任 意 0， 存 在 0=， 当 3x ， 要使 12x Mx+ ， 由于 12 1 12 2xx x x+ =+， 只要 12x M+ 。 则 对 任 意 0， 存 在 1 02M= + ， 当 x，因此012limx xx+ =， 12() xfx x+= 当 0x时为无穷大。所属章节：第二章第四节难度：二级17求下列极限，并说明理由：（ 1）20 1lim sinx x x ； （ 2） 201lim 1x
16、 xx.解答 ： （ 1）当 0x时，2 0x为无穷小，而 1sinx是有界函数， 20 1lim sin 0x x x =；（ 2） 20 0 01lim lim (1 ) 1lim 11x x xx x xx = +=+ = ，或分子分母极限分别为 1，或无穷小定义。所属章节：第二章第四节难度：一级 18计算下列极限：（ 1） 22 1lim 1x xx +； （ 2） 225 7 10lim 25x x xx + ；（ 3） 2 20( )limh xh xh + ； （ 4） 0 1 1limx xx +；（ 5） 21 1 2lim ( )1 1x x x ； （原题目有误） （ 6
17、） 21 3 1lim 1x x xx + ；（ 7） 4 2 13lim 2 2x xx + ； （ 8） 20(1 ) (1 )lim n mx mx nxx+ + （ n， m为正整数） .参考答案 ： （ 1） 5； （ 2） 310； （ 3） 2x； （ 4） 12； （ 5） 12； （ 6） 24 ；（ 7） 223； （ 8） 1 ( )2mnnm解答 ： （ 1）22 222lim ( 1)1 5lim 51 lim ( 1) 1xxxxxx x+= = ；（ 2）先约分， 2 525 5 5lim ( 2)7 10 2 3lim lim25 5lim ( 5) 10xx
18、x x xx x xx x x + = = = + + ；（ 3）先化简， 2 2 20 0( ) 2lim lim 2h hxh x xhh xh h + += =；（ 4）分子有理化， 0 01 1 1 1lim lim 21 1x xxx x += =+ ；（ 5）先通分， 2 21 1 11 2 1 1 1lim ( ) lim lim1 1 1 12x x xxx x x x = = = + ；（ 6）分子有理化，再约分，21 13 1 2 2lim lim1 4( 1)(3 1 )x xx xx x x x + = = + + ；（ 7）分子分母有理化，再约分 ，4 42 13 2
19、 13(2 13)( 2 2lim lim2 2 2 2( 2 2)(2 13)x xx x x xx x x x + + + += + +42(2 2) 22lim 32 13x xx += =+ ；（ 8） 分子 两 项分 别 按二 项 式展 开 ，则 分 子的 最 低次 幂 为二 次 ，系 数 为 1 ( )2mnnm， 余为 高阶无穷小，故 20(1 ) (1 )lim n mx mx nxx+ + =1 ( )2mnnm。所属章节：第二章第四节难度：一级 19计算下列极限：（ 1） 2 23 2lim 14x xx + ； （ 2） 20 3050(2 3)(3 2)lim (51)
20、x x xx + ；（ 3） 3 22lim ( )2 121x x xx x ； （ 4） 2121lim 2nnn xx+ .解答 ： （ 1）分子分母同除以 2x， 2 22 2 233 2 3lim lim 114 44x xx xx x += = ；（ 2）分子分母同除以 50x， 20 3020 30 20 3050 50503 2(2 )(3 )(2 3)(3 2)lim lim 1(51) (5 )x xx x x xx x + + = =+ + ；（ 3）通分， 3 2 3 2 12 2 2 11lim ( ) lim lim2 121 (2 1)(21) (2 )(2 )x
21、 x xx x x x xx x x x x x + + = = 14=；（ 4）当 1x时， 2lim nn x =，故 21 22 21 0lim lim2 2 101n nn nn nx x x x xx x+ = = =+ + + ；当 1x=时， 2 1nx=， 21 1nx+=，故 2121lim 02nnn xx+ =+ ；当 1x=时， 2 1nx=， 21 1nx+=，故 2121 2lim 2 3nnn xx+ =+ 。所属章节：第二章第四节难度：一级 20计算下列极限：（ 1） 0tan2limx xx ； （ 2） 0sin3lim sin2x xx ；（ 3） sin
22、limx xx ； （ 4） sin sinlimxa x axa ；（ 5）2coslim 2x xx ； （ 6）4 20lim (1cos)x xx ；（ 7） 0arcsinlim 1 1x xx +； （ 8） 0 1 sin coslim 1cosx x x xx + .解答 ： （ 1）0 0 0 0 0tan2 sin2 sin2 2 sin2 2lim lim lim lim lim 1 2cos2 2 cos2 2 cos2x x x x xx x x xx x x x x x x = = = =；（ 2）0 0sin3 sin3 2 3 3lim lim ( )sin2
23、3 sin22 2x xx x xx x x = =；（ 3）0sin sin()lim lim 1)x xx xx x = = ( ；（ 4）令 xat=，则0 0sin sin sin() sin sincoscossin sinlim lim limxa t tx a t a a t a t a axa t t + + = = 20 2sinsin 2lim ( cossin ) costtt a a at t= = ；（ 5）令 2x t=，则02cos sinlim lim 12 tx x ttx = = ；（ 6） 4 44 420 0 02 2 4() 22lim lim lim
24、 4(1cos) (2sin) 4(sin)2 2x x x xx xx xx = = = ；（ 7）分母有理化， 0 0arcsin arcsin(1 1)lim lim 21 1x xx x xxx += =+ ；（ 8）分子有理化， 0 0 2 sinsin( 1)1 sin coslim lim 21cos 2sin (1 sin cos)2x x xx xx x x xxx x x x + = = + +所属章节：第二章第五节难度：一级 21计算下列极限：（ 1） 1lim (1 )1nn n+； （ 2） 1lim (1 )xx x ；（ 3）32lim (1 )xx x+ ； （
25、 4） 10lim (13)xx x ；（ 5）cot0lim (1tan) xx x+ ； （ 6） 21lim ( )2 1xx xx +.解答 ： （ 1） 1 11 1(1 ) lim (1 )1 1 1lim (1 ) lim 1 11 11 lim (1 )1 1n nnnn n n en n en n n+ + + + + = = =+ + + + ；（ 2） 1 1 1 1lim (1 ) lim 1 1(1 ) lim (1 )xx x x xxx ex x = = = ；（ 3） 3 3 2 222 2 2 1lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) lim (
26、1 ) 2xx xx x x x exx x x+ + = + + = + =；（ 4） 1 1 30 0 331 1lim (13) lim (13) xx x xx ex = = ；（ 5） 1cot tan0 0lim (1tan) lim (1tan)x xx xx x e + = + =；（ 6） 212122121 2lim ( ) lim (1 )2 1 2 1x xx xx xx ex x + + = + =+ + 。所属章节：第二章第五节难度：一级 22当 0x时，22xx与 2 3x x相比，哪一个是高阶无穷小？解答：因为2 3 220 0lim lim 02 2x xx
27、x xxxx x = = ，所以当 2 3 20 2x x x xx 时 ， 比 高阶无穷小所属章节：第二章第二节难度：一级 23当 1x时， 1x与（ 1）31 x ； （ 2） 21(1 )2 x 是同阶无穷小还是等价无穷小？解答 ： （ 1） 当 1x时 ，3 3 3 23 31 11 1 1lim lim1 2(1 )(1 )x xx xx x x x = = + + ， 故 31 1x x 与 为同阶非等价无穷小； （ 2）当 1x时， 21 11 1(1 ) (1 )(1 )2 2lim lim 11 1x xx x xx x += = ，故 21(1 ) 12 x x 与 为等价
28、无穷小所属章节：第二章第六节 难度：一级24当 0x时，试决定下列无穷小对于 x的阶数：（ 1） 2 310x x+ ； （ 2） 3 2 3x x ；（ 3） 3( 1)1xxx+ ； （ 4） 4 41 1x x+.解答 ： （ 1） 2阶； （ 2） 13阶； （ 3） 1阶； （ 4） 4阶所属章节：第二章第六节 难度：一级25利用等价无穷小代换计算下列极限：（ 1）0tan3lim 2x xx ； （ 2） 20sin()lim sinx xx x ；（ 3）20sin2lim tan3x xxx +； （ 4） 20 1 1lim 1cosx xx + ；（ 5） 0tan sin
29、lim (1cos)x x xx x ； （ 6） 20 ln(13)lim tan()x x xx + .解答 ： （ 1）当 0x时， tan33x x，故0 0tan3 3 3lim lim2 2 2x xx xx x = =；（ 2）当 0x时，2 2sin,sinxx x x，故 2 20 0sin()lim lim 1sinx xx xx x xx = = ；（ 3）当 0x时， tan33x x，故 2 2 20 0 0 0sin2 sin2 sin2 2lim lim lim limtan3 3 3 3 3x x x xxx xx x xx x x x + += = + =；（
30、 4）当 0x时， 2 2 21 11 1 ,1cos2 2x x x x+ ，故 220 0 211 1 2lim lim 111cos 2x x xxx x += = ；（ 5）当 0x时， tanxx，故 0 0tan sin tan(1cos)lim lim 1(1cos) (1cos)x xx x x xx x x x = = ；（ 6）当 0x时， 2 2tan(),ln(13)3x x x x+ ，故 2 20 0ln(13) 3lim limtan()x xx x xxx x + = =。所属章节：第二章第六节难度：一级 26研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（ 1） 2
31、,0 1,() 2 ,1 2;x xfx x x = 解答 ： （ 1）已知多项式函数是连续函数，所以函数 f(x)在 0,1)和 (1,2内是连续的。而在分段点 x=1处，因为 f(1)=1， 1lim)(lim 211 = xxf xx ， 1)2(lim)(lim 11 =+ xxf xx , ，所以 1)(lim 1 =xfx ，从而函数 f(x)在 x=1处是连续的。综上所述，函数 () 0,2fx在 上连续；图形略。（ 2）由于多项式函数是连续函数，故只需考察函数在分段点 x=1和 x=1处的连续性，在 x=1处，因为 f(1)=1， )1(11lim)(lim 11 = fxf
32、xx ， )1(1lim)(lim 11 = + fxxf xx ，所以函数在 x=1处间断 ， 但 右连续 ； 在 x=1处 ， 因为 f(1)=1， 1lim)(lim11 = xxf xx =f(1)， 11lim)(lim 11 =+ xx xf =f(1)，所以函数在 x=1处连续。综 合 上述 讨 论 ,函 数 () ( , 1) (1, ) 1fx x + =在 与 内 连 续 ， 在 处 间 断， 为 跳跃 间 断点 。图形略。 所属章节：第二章第七节难度：一级 27 下列函数在所指点处间断 ， 试确定其所属类型 。 若是可去间断点 ， 则补充定义使它连续 ：（ 1） 223
33、2, 1, 11x xy x xx+= = = ； （ 2） 21cos, 0xy xx= =；（ 3） cos2, 0,1(1 )xy xx x= = ； （ 4） 1arctan, 0y xx= =；（ 5） 11, 01exy x= =+ ； （ 6） 23 , 0,sin3, 0.xxy xxx+ 解答 ： （ 1） 因为 221 1 13 2 2 1lim lim lim1 1 2x x xx x xy x x + = = = + ,所以 1x=是函数的第一类间断点，并且是可去间断点， 补充定义 1(1)2f =。因为 221 1 13 2 2lim lim lim1 1x x xx
34、 x xy x x + = = = + ,所以 1x=是函数的第二类间断点。（ 2）因为201cos1lim 2x xx =，所以 0x=为函数的可去间断点，可补充定义 1(0)2f =。（ 3）因为 0cos2lim (1 )x xx x = ，所以 0x=是函数的 第二类间断点；又因为 1 1 0cos cos sin2 2 2lim lim lim(1 ) 1 2x x tx x tx x x t = = = ， 所以 1x=为 函数的 可去间断点 ， 可补充定义 (1)2f = 。（ 4） 因为 1arctanx在 0x=处的左 右极限分 别为 2和 2，所以 0x=为函数的跳跃间断点
35、 。（ 5） 因为 111exy=+在 0x=处的左 右极限分 别为 1和 0，所以 0x=为函数的跳跃间断点。（ 6）因为 23 , 0sin3, 0xxy xxx+ 在 0x=处的左 右极限都 为 3，所以 0x=为函数的可去间断点，可补充定义 (0)3f =。所属章节：第二章第七节难度：一级 28求下列函数的连续区间：（ 1） 3 2 13 2y x x= + （ 2） 4 6y x x= + ；（ 3） ln(2 )y x= ； （ 4） 21xy x= .解答 ： （ 1） 对函数3 2 31 1( 1)( 2)3 2y x xx x= = + ， 定义域为 1, 2x x ， 易知
36、 1x=与 2x=是函数的间断点，故连续区间为 ( ), 1,(1,2),(2, ) +；（ 2） 对函数 4 6y x x= + ， 定义域为 4,6， 且在其内部无间断点 ， 故连续区间为 4,6；（ 3）对函数 ln(2 )y x= ，定义域为 ( ,2)，且在其内部无间断点 ，故连续区间为 ( ,2)；（ 4） 对函数 21xy x= ， 定义域为 ( ,1) 2, )+， 且在其内部除 2x=外无间断点 ， 故连续区间为 ( )( ),1, 2, +。所属章节：第二章第七节 难度：一级29讨论函数 sin, 0,() 1, 0,2(1 1), 0x xxfx xx xx 的连续性。参
37、考答案：连续解答：对函数 sin, 0,() 1, 0,2(1 1), 0x xxfx xx xx 可能间断点为 0x=，但在 0x=处，左右极限均等于该点函数值 1，故函数无间断点，即函数为处处连续函数。所属章节：第二章第七节 难度：一级30设 e, 0,() , 0,xxfx axx 至少有一个不超过 ab+的正根。解答：设 () sinfx a xbx= +，则 ()fx是 0,a+b上的连续函数， (0)f b=，( ) sin() 0faba aba+= +， 若 ( ) 0fab+=， 则说明 xab=+就是方程 sinxa xb= +的一个不超过 ab+的根 ； 若 ( ) 0f
38、ab+， 由 零 点 定 理 ， 存 在 (0,1) (0,1)l ， 使 () 0F=， 即() ( )f f l = +。所属章节：第二章第八节难度：三级 36设 ()fx在 ( , )+内连续，且 lim ()x fx A =（常数 ） 。证明 ()fx在 ( ),+内有界。解答：令 lim ()x fx A =，则对于给定的 0，存在 X0，只要 |x|X，就有|f(x)A|0，使 |f(x)|M,xX,X，取 N=m axM,|A|,|A+|，则 |f(x)|N,x(,+)，即 f(x)在 (,+)内有界。所属章节：第二章第八节 难度：三级第三 章 导数与微分t1 设物体绕定轴旋转
39、， 在时间间隔 0,t内转过角度是 ， 从而转角 是 t的函数 ： ()t= 。如 果旋 转 是匀 速 的， 那 么称 wt=为 该物 体 旋转 的 角速 度 。如 果 旋转 是 非匀 速 的， 应 怎样 确定该物体在时刻0t的角速度？解答：0ddttt=所属章节：第三章第一节 难度：一级2一个圆锥体因受热而膨胀，在膨胀过程中，其高与地面的直径相等，问：（ 1）体积关于半径的变化率如何？（ 2）半径为 5cm 时，体积关于半径的变化率是多少？解答 ： （ 1） 2 31 223 3V r r r = = ， 2d 2dV rr= ； （ 2） d 50drsVr= 所属章节：第三章第一节难度：
40、一级 3设 ()NNx= 表示 x个劳动力所生产的某产品的数量，若每个劳动力生产的产品数量相同 ，则 Nx是常数 ， 称为劳动生产率 。 实际上 ， 产品的产量 N并不是随劳动力 x的增加而均匀增长的。试求劳动力数量为0x时的劳动生产率（边际劳动生产率 ） 。解答：0( )Nx所属章节：第三章第一节难度：一级 4假定 ()fx可导，观察下列极限，指出 A表示什么？（ 1） 0 0 0lim () ( )xx xx Afx fx = ；（ 2）0 00 ( 2) ( )limx fx x fx Ax = ；（ 3）0 (3) (3 )limh f f h Ah =；（ 4） 0 ()limx f
41、x Ax =，且 (0)0f =.解答 ： （ 1）0 00 00 001 1lim () ( )() ( ) ( )limxx xxxxA fx fxfx fx f xxx = = = ；（ 2） 0 0( 2) 2x x x x=， 0 00 ( 2) ( )limx fx x fxA x = = 02( )f x ；（ 3） 3(3 )hh=，0 (3) (3 )limh f f hA h = =(3)f ；（ 4） (0)0f =，0 0() () (0)lim lim (0)x xfx fx fA fx x = = =所属章节：第三章第一节 难度：一级5指出下列极限是什么函数在哪一点
42、的导数？（ 1）0 1lim xx ax ； （ 2） 0(1 ) 1lim mx xx+ ；（ 3） 4arctan arctan4lim 4x xx .解答 ： （ 1） 0xax=在 处 的 导 数 ；（ 2） (1 ) 0mx x+ =在 处的导数；（ 3） arctan 4xx=在 处的导数所属章节：第三章第一节难度：一级 6按定义证明： (cos) sinx x= 。解答：因为 0 0 22sin sincos( ) cos 2 2lim lim sinx x x x xx x x xx x + + = = ，所以由导数定义， (cos) sinx x= 。所属章节：第三章第一节
43、难度：一级7按定义求下列函数的导数：（ 1） 2 31yx x=+； （ 2） eaxy=；（ 3） cos( )y axb= +； （ 4） sinyx x= .解答 ： （ 1）由于2 20 0( ) () ( ) 3( )1 ( 31)lim limx xfx x fx x x x x x xx x + + + += 202 3 ( )lim 2 3x xx x x xx += =+ ，故 2 3y x=+；（ 2）由于( )0 0 0( ) () ( 1)lim lim limax x ax ax ax axx x xfx x fx e e ee aex x x+ + = = = ，故
44、 eaxy a= ；（ 3）由于0 0( ) () cos( ) ) cos( )lim lim sin( )x xfx x fx ax x b axb a axbx x + + += = + ，故 sin( )y a axb= +；（ 4）由于 0 0( ) () ( )sin( ) sinlim limx xfx x fx x x x x x xx x + + += 0 sin( ) sin( ) sinlimx x x x x x x xx + += sin cosxx x= + ，故 sin cosy xx x= +所属章节：第三章第二节 难度：二级8若函数 ()Fx在点 xa=处连续
45、，且 () 0Fx，问函数（ 1） () ()fx xaFx= ，（ 2） () ( )()fx xaFx=在点 xa=处是否可导？为什么？解答 ： （ 1）对函数 () ()fx xaFx= ，由于0 0( ) () ( )lim lim ()x xfa x fa xFa x Fax x+ + += = ，0 0( ) () ( )lim lim ()x xfa x fa xFa x Fax x + += = ，故函数在点 xa=处不可导，因为左 、 右导数不相等； （ 2） 对 函 数 () ( )()fx xaFx= ，0 0( ) () ( )lim lim ()x xfa x fa xFa x Fax x+ + += =
