1、第 1 页 版权所有 不得复制年 级 高一 学 科 数学 版 本 苏教版课程标题 必修四 第一章 三角函数复习与小结编稿老师 王东 一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲一、考点突破 1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象
2、的描绘、观察，讨论函数的有关性质。4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、
3、“五点法” 作图、诱导公式、函数 yAsin（x）的图象与正弦函数 ysinx 的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到 yAsin （x ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。1、知识脉络图：第 2 页 版权所有 不得复制二、知识点拨：1. 与 的周期是 。xysinxycos2. 或 （ ）的周期为 。)()(02T3. 的周期为 2 。 tanxy4. 的对称轴方程是 （ ），对称中心为（ ）；)si( 2kxZk0,k的对称轴方程是 （ ），对称中心为)co(xy（ ）；0,21k的对称中
4、心为（ ）。)tan(xy 0,2k5. 当 时， ；t1)(Z当 时， a k6. 函数 在 上为增函数。（） xytnR只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则 为增函数的说法xytan同样也是错误的。第 3 页 版权所有 不得复制7. xysin不是周期函数； 为周期函数（ ）；xysinTY=cos|x| 是周期函数（如图）；y=|cosx| 为周期函数（ ）；co xycosT随堂练习：函数 f（x）=sinx（cosx-sinx）的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 242解：f（x）=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sin 2x= （sin2x+
5、cos2x）- = sin（2x+ ）1141T=故选 C知识点一：三角函数的概念例题 1 设角 属于第二象限，|cos |cos ，试判断角 属于第几象限？22思路导航：首先应根据 所属象限确定出 所属的象限，然后再由cos 0，cos 0确定最终答案，要点就是分类讨论。2答案：因为 属于第二象限，所以 2k 2k （kZ），2k k （k Z ）。42当 k2n（nZ）时，2n 2n （n Z ）。 是第一象限角；2当 k2n1（nZ）时，2n 2n （nZ ）。4523 是第三象限角。2第 4 页 版权所有 不得复制又由|cos | cos 0 cos 0。22所以 应为第二、三象限角或
6、终边落在 x 轴的负半轴上。综上所述， 是第三象限2的角。点评：由 所在象限，判断诸如 ， ， 等角所在的象限时，一般有两种办法：234一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定 ， ， 所属234的象限；另一种办法就是将 k 进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式例题 2 （1）已知 2 ，cos （ 7） ，求 sin（3）与53tan（ ）的值；7（2）已知 2sinAcosA5cos 2A，求 tanA 的值；（3）已知 sincos ，且 （0，），求 sin3 cos3的值。51答案：（1）cos（7） co
7、s ，5cos 。5又 2 ， 2，sin ，2354sin（3）sin ，tan（ ）27.435sinco)27cos(in（2）将已知式化为 2sin2A2cos 2AsinAcosA5cos 2A，cosA0，2tan 2AtanA30，tanA1 或 tanA 。3（3）sincos ，21)cos(in25（0，），sin 0，cos0，sin cos0，sin cos ，57cosin21sin 3 cos3 （1 ） 。57128第 5 页 版权所有 不得复制点评：形如 asinbcos 和 asin2bsincosccos 2的式子分别称为关于 sin、cos的一次齐次式和二
8、次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。知识点三：三角函数的图象与性质例题 3 对于函数 f（x）2sin（2x ），给出下列结论：3图象关于原点成中心对称；图象关于直线 x 成轴对称；图象可由函数12y2sin2x 的图象向左平移 个单位得到； 图象向左平移 个单位，即得到函数3y2cos2x 的图象。其中正确结论的个数为（ ）个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路导航：f（x）是非奇非偶函数， 错误。f（x）是由 y2sin2x 向左平移 个单位得到的，6错误。把 x 代入 f（x）中使函数取得最值，12正确。f（x）2sin（2x ） f（x）2sin2（
9、x ） 2cos2x，3 个 单 位左 移 12 123正确。答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。在用排除法时，要注意函数性质的应用。例题 4 设函数 f（x）sin3x|sin3x| ，则 f（x）为（ ）A. 周期函数，最小正周期为 B. 周期函数，最小正周期为332C. 周期函数，最小正周期为 2 D. 非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入 检验，也可化简)(xfTf)(xf。x3sini答案：f（x）sin3x|sin3x| .3232,0,i kxkB 正确。答案：B第 6 页 版权所有 不得复制点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。
10、本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。后者更简捷。知识点四：三角函数的应用 例题 5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是 ，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是 ，则 sin2cos 2的值等于 （ ）51A. 1 B. C. D. 254257257思路导航：由题意，设大正方形边长 AB1，小正方形的边长是 ，则1BEsin，AEcos，cossin 。51平方得 2cossin 。24（cossin ） 212cossin 。2549cossin 。57sin 2cos 2（sincos）
11、（sin cos） 。1答案：D点评：三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。例题 6 函数 y 的定义域是_。21cossinx思路导航：由题意知， .21cos0ins0x作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域x|2kx2k ，kZ 。3第 7 页 版权所有 不得复制答案：x|2kx2k ，k Z 3点评：解三角不等式基本上有两种方法：利用三角函数线。利用三角函数图象。例题 7 求函数 f（x） 的最大、最小值。xcosin1思路导航：利用三角函数中 和 与 的关系，122cosincosin转化成同一个量的关系式。答
12、案：设 sinxcosxt，则 sinxcosx ，t ， ，且 t1，则2y ，t ， 。2112tt 2当 t ，即 x2k （kZ ）时，f （x）的最大值为 ；421当 t ，即 x2k （kZ ）时，f （x）的最小值为 。3点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。例题（全国大纲理 5）设函数 ()cos(0)fx ，将 ()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于（ ）A. 1B. 3 C. 6 D. 9思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 的图象向右平移
13、个单位长度后，所得的图象()yfx3与原图象重合，说明了 是此函数周期的整数倍。 3第 8 页 版权所有 不得复制解答过程：由题意将 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图象()yfx3重合，说明了 是此函数周期的整数倍，得 ，解得 ，又 ，32()kZ6k0令 ，得 。1kmin6答案：C规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。例题 （临沂统考） 作函数 ycotxsinx 的图象。思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式
14、，然后作函数的图象。函数ycotxsinx 的图象即是 ycosx（xk，kZ）的图象，因此应作出 ycosx 的图象，但要把 xk ，kZ 的这些点去掉。答案：当 sinx0，即 xk（kZ ）时，有 ycotxsinxcosx，即ycosx （xk ，kZ ）。其图象如图，学习本章应该先复习角的概念，了解角度制的内容。在学习本章时应该注意任意角、弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。学习过程中，对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。对函数图象的作图过程要抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。对三角函数式的化简求值要多加强练习，
15、注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。必修四 第二章 第 12 节向量的概念及表示；向量的线性运算一、预习导学1. 向量的概念： 。表示法 。2. 平行向量的概念： 、相等向量的概念： 。3. 已知点 是正六边形 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）OABCDEFA. 、 、 、 B. 、 、 、BCFADEC. 、 、 、 D. 、 、 、FEBO第 9 页 版权所有 不得复制4. 向量的加法法则： 。 5. 数的运算：减法是加法的逆运算， 。6. 向量的加法运算： 、向量共线定理： 。7. 平面向量基本定理： 。二、问题思考1. 如何用数学符号和有向线段表示向量？2. 向量加法
16、的平行四边形法则和三角形法则如何？3. 如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？4. 理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。（答题时间：60 分钟）一、选择题1. 集合|k k ，kZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）A. B. C. D. 2. 已知角 的终边经过点 P（4m，3m ）（m0 ），则 2sincos 的值是（ ）A. 1 或1 B. 或C. 1 或 D. 1 或3. 已知 f（cosx）cos3x ，则 f（sinx ）等于（ ）A. sin3x B. cos3xC. cos3x D. sin3x4. （天津）已知 sinsin，那么下列
17、命题成立的是（ ）A. 若 、 是第一象限角，则 coscosB. 若 、 是第二象限角，则 tantan第 10 页 版权所有 不得复制C. 若 、 是第三象限角，则 coscosD. 若 、 是第四象限角，则 tantan5. 要得到函数 的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ）A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位6. 已知 是某三角形的一个内角且 sin（）cos（ ） ，则此三角形是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 若|sin| ， 5，则 tan等于（ ）A. B. C. D.
18、 8. 下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的是（ ）A. B. C. D. 9. 函数 ytg（ ）在一个周期内的图象是（ ）A. B. C. D. 10. （上海）函数 yxsin|x| ，x ，的大致图象是（ ）A. B. C. D. 第 11 页 版权所有 不得复制11. （福建）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f （x 2），当 x3，5时，f （x）2|x4| ，则（ ）A. f（sin ）f（cos ） B. f（sin1）f（cos1）C. f（cos ）f（sin ） D. f（cos2）f（sin2）12. 如图为一半径为 3m 的水轮，水轮中心 O
19、 距水面 2m，已知水轮每分钟旋转 4 圈，水轮上点 P 到水面的距离 y（m ）与时间 x（t ）满足函数关系式 yAsin（x ）2，则（ ）A. ，A 5 B. ，A 5C. ，A3 D. ，A3二、填空题13. 若扇形的周长是 16cm，圆心角是 2 弧度，则扇形的面积是 _。14. 函数 的值域是_。15. 已知 tan 2，则 。16. 已知 ，则 。17. 不等式 的解集是 。18. 函数 的单调减区间是 。19. 函数 f（x）是周期为 的偶函数，且当 时， ，则 的值是 。20. 设函数 f（x）3sin（2x ），给出四个命题：它的周期是 ；它的图象关于直线 x 成轴对称；
20、它的图象关于点（ ，0）成中心对称；它在区间， 上是增函数。其中正确命题的序号是 。三、解答题21. 如图所示，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线拟合正弦型曲线：.)sin(kxAy第 12 页 版权所有 不得复制（1）求这段时间的最大温度差；（2）写出这段曲线的函数表达式。22. 设函数 ).(32sin()(Rxxf （1）若 ，求 的值，使函数 为偶数；0f（2）在（1）成立的条件下，求满足 且 的 x 的集合。,1,x23. （1）已知 求 的值；,125tan22cossini（2）已知 的值。ta)0(si 、求 m24. 已知函数 的图象在 y 轴上的截距为 1，它)2
21、,0(i) Axf在 y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为 和x（ .,(（1）求函数 的解析式；)(f（2）若 ，且 ，求 的值。2,01x97cos1)1f25. 已知函数 的图象过 A（0，1）及 B 两点，对xhbafin)()1,2(，恒有 。,xx（1）求实数 a 的取值范围；（2）当实数 a 取（1）中范围的最大整数时，若存在实数 m、n、 使得式子成立，试求 m、n、 的值。)()nfmf 第 13 页 版权所有 不得复制一、选择题1. C 解析：当 k 取偶数时，比如 k0 时， ，故角的终边在第一象限。当 k 取奇数时，比如 k1 时， ，故角的终边在第三象限。综上，角的
22、终边在第一或第三象限，故选 C。2. B 解析： ，mr5)3()422当 m0 时， ，；当 m0 时， ，。故选 B。3. A 解析：（法一）令 tcosx，由三倍角公式求出 f（t）4t 33t，换元可得 f（sinx）的解析式。（法二）把 sinx 用 cos（ x）来表示，利用已知的条件 f（cosx ）cos3x 得出 f（sinx）的解析式。解答过程：（法一）令 tcosx，cos3x4cos 3x3cosx ，f（cosx）cos3x4cos 3x3cosx，f（t）4t 33t，f（sinx）4sin 3x3sinxsin3x，故选 A。（法二）f（cosx）cos3x，f（
23、sinx）f cos （ x） cos3（ x）cos（ 3x）sin3x，故选 A。4. D 解析：若 、 同属于第一象限，则 ，cos cos；故 A 错。若 、 同属于第二象限，则 ，tantan ；故 B 错。若 、 同属于第三象限，则 ，coscos ；故 C 错。若 、 同属于第四象限，则 ，tantan 。（均假定0，2 。）故 D 正确。5. D 6. C 解析：sin（）cos（ ） ， sincos（sin cos） 2 ，2sincos ， 是三角形的一个内角，sin 0，cos0， 为钝角，这个三角形为钝角三角形。7. C 解析：|sin| ， 5，第 14 页 版权所
24、有 不得复制sin ，cos ，tan 。8. D 解析：将 代入 可得 y 1，排除 A；将 代入 可得 ，排除 B； 3x)32sin(xy将 代入 ，可得 y 1，排除 C。故选 D。9. A 解析：令 tg（ ）0，解得 xk ，可知函数 ytg（ ）与 x 轴的一个交点不是 ，排除 C，Dy tg（ ）的周期 T 2，故排除 B。故选 A。10. C 解析：由题意可知： ，当 0x时， yxsinx，y1cosx0，又 ycosx 在0，上为减函数，所以函数 yxsinx 在0， 上为增函数且增速越来越小；当x0 时， yxsinx，y1cosx0，又 ycosx 在，0）上为增函数
25、，所以函数 yxsinx 在0，上为增函数且增速越来越小；又函数 yxsin|x|，x， 恒过（ ，）和（，）两点，所以 C 选项对应的图象符合。11. D 解析：由 f（x）f（x2）知 T2，又 x3，5时，f（x）2|x4| ，可知当 3x4时，f（x）2x。当 4x5 时，f（x）6x 。其图如下，故 在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数。)(xf又由|cos2|sin2|，f（ cos2）f （ sin2）。故选 D。12. D 解析：已知水轮每分钟旋转 4 圈又 半径为 3m，水轮中心 O 距水面 2m，最高点为 5，即 A3，故选 D。第 15 页 版权所有 不得复制二
26、、填空题13. 16cm2 解析：设扇形半径为 r，面积为 S，圆心角是 ，则 2，弧长为 r，则周长 162r r2r 2r4r， r4，扇形的面积为：S r2 21616 （cm 2），故答案为 16 cm2。14. 3,1解答：解：由题意知本题需要对角所在的象限进行讨论，以确定符号。当角 x 在第一象限时，y1113，当角 x 在第二象限时，y1111，当角 x 在第三象限时，y1111，当角 x 在第四象限时，y1111。15. 解析：tan2，54 。16. 解析： ，165 17. Zkxkx,26解析：不等式 即 tanx ，又 k xk ，k Z，18. )(8,(Zkk第 1
27、6 页 版权所有 不得复制解析：函数 的定义域为令 t ，则 为减函数，t 在 上为增函数；故函数 的单调减区间是19. 2 解析：函数 f（x）是周期为 的偶函数， f（ ）f（ ） ，当 时， ， 2。20. 解析：根据周期公式 ，故正确；函数在对称轴处取得函数的最值，f（ ） ，故 正确；根据函数的对称性可得， ，当 k1 时 ，故正确；令 可得 ，即函数在 上是增函数，故正确。三、解答题21. 解：（1）最大温度差为 301020（2） A10，k20， ， T16，86142T，8T43这段曲线的函数表达式为 20)8sin(0xy22. 解：（1） ，且函数 是偶函数，32i()(
28、xf (xf对 ，即 （对 恒,R )3sin)si x Rx成立）， 6第 17 页 版权所有 不得复制（2）当 时， ， ，且 的 x 的集合是6xf2cos)(1)(f,x5,23. 解：（1）原式 2222 )15(3)(1)tant3(tan1698)25(（2）（i）若 在第一、四象限， ， ；（ii）若21cosm21tanm在第二、三象限， ，21cos2tan24. 解：（1） )6in()(xf（2） ，且 ， ，2,01x97cs1312six，3cos 2)() xf25. 解：（1） ， 当1hab,a)4sin()1(xaxf 时， ，且恒有 ， 或 2,0x2)4sin(x2)f2)1(,a解之得,)1(aa 43a（2）当 a8 时，存在 ，使 成立。,16nm1)()xnfmf
