1、12013 期末数学复习（解答题）1.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AA1=AD=1，E 为 CD 中点.（）求证：B 1EAD 1；（）在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求AP 的行；若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由. （）若二面角 A-B1EA1的大小为 30，求 AB 的长.22.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点.来源%:*中#国教育出版网（）证明：CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成
2、的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积.解法 1（如图（1） ） ，连接 AC，由 AB=4， 3BC，905.ABC,得5D又是的中点，所以 .DAE,PB平 面 平 面所以 .P而 ,AE是 平 面 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.（）过点作 ,.BGCDAEFG分 别 与 相 交 于 连 接由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是 BP为直线与平面 PAE所成的角，且 .由 PA平 面 知， P为直线 与平面 CD所成的角.4,2,BGAF由题意，知 ,AF因为 sinsin,B所以 .P由 90/,DACDCG知 ， 又 所以四边形 BCDG是平行四边形，故 3.B于
3、是 2.在 RtG中， 4,ABF所以22 16855, .ABG于是 85.PABF又梯形 CD的面积为 1(3)416,2S所以四棱锥 PABCD的体积为852.VPA3解法 2：如图（2） ，以 A 为坐标原点， ,BADP所在直线分别为 xyz轴 ， 轴 ， 轴 建立空间直角坐标系.设 ,Ph则相关的各点坐标为：(4,0)(,)(430)(,5)(2,40)(,).ABCEh（）易知 ,2,.DAP因为8CE所以 .CDAP而 ,AE是平面PA内的两条相交直线，所以 .E平 面()由题设和（）知， ,CAP分别是 平 面 ， BC平 面 的法向量，而 PB 与E平 面所成的角和 PB
4、与 BD平 面 所成的角相等，所以cos,cos, .PACDPBCB即由（）知， (4,20)(,)APh由 (4,0)h故2216.165h解得 8h.又梯形 ABCD 的面积为 1(53)4162S，所以四棱锥 PABCD的体积为1863VPA.43.已知数列 的前 n 项和 Sn满足: 为常数,且 )(n )a(1)(nnaSa0,1a*N(1)求数列 的通项公式;n(2)设 ，若数列 为等比数列,求 的值。2bnb4.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且nanS. （）求 ；)(14NnaSn 21,（）设 ，求数列 的通项公式。|log3bnb4.解：（1）由已知
5、，即 ， 3 分14aS31,41a又 ，即 ； 6 分42aS 9,)22（2）当 时， ，n )(4)(11nnnn即 ，易知数列各项不为零（注：可不证不说） ，13对 恒成立，1na2是首项为 ，公比为- 的等比数列， 10 分31，nnn)()(1，即 . 12 分alog|l33b5.在 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 、 、 ，已知向量 、BC ac)cos,(BAm5，且 ),2(abcnnm（1）求角 的大小；A（2）若 ，求 面积的最大值4BC解：（1） 由正弦定理n 0cos)2(),()cos,( BaAbcaBA可得 ，即 整理可得0sicosi2Csinosii
6、n2BAC （5 分）0nsiA0 ， 0， ；（7 分） （2）由余弦定理可得,si 21cosA32，即 ，故 （9 分）故 ABC 的 面 积 为bcao22 bcb3616当 且 仅 当 时 , ABC 面 积 取 得 最 大 值 34sin1AS 4346.设函数 22()cos()sinfxxx（I）求函数 f的最小正周期；（II）设函数 ()gx对任意 R，有 ()(2gx，且当 0,2x时，1()2gxf； 求函数 在 ,0上的解析式。解：211cos()sincosin(cos)42fxxxx1sin2x（I）函数 f的最小正周期 T（2）当 0,2x时， 1()()sin2
7、gxfx当 时， 0, 1()sin()sigxxx当 ,2时， ,)2 1()si()sinxxx得：函数 ()g在 ,0上的解析式为1sin2(0)()xgx7.甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校 2012 年自主招生高考前自主招生的程序6为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5， 0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为 0.6，0.5，0.75（1 ）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；（2 ）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资
8、格的人数为 ，求随机变量 的期望7.解：（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件 ， ， ，记甲，乙，丙三人中只有一1A23人通过审核为事件 ，则B123123()()()PPA4 分0.54.605.60.54.08（2 ）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件 ，则,CDE，5 分.3PCDE 的可能取值为 0、1、2 、3 ， ， ()4,2(1)30341,P10 分37897故随机变量 的数学期望为 .1204.890.279E分8.（本题 12 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己
9、去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 | X Y|，求随机变量 的分布列与数学期望 E .8.解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为13.设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i0,1,2,3,4)，则 P(Ai)23C i 4 i.i4(13)(23)（1）这 4 个人中恰有 2 人去参
10、加甲游戏的概率 P(A2)C 2 2 .24(13)(23) 827（2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则B A3 A4，由于 A3与 A4互斥，故P(B) P(A3) P(A4)C 3 C 4 .34(13)(23) 4(13) 19所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 .19（3） 的所有可能取值为 0,2,4.7由于 A1与 A3互斥， A0与 A4互斥，故P( 0) P(A2) ，827P( 2) P(A1) P(A3) ，4081P( 4) P(A0) P(A4) .1781所以 的分布列是 0 2 4P 827
11、 4081 1781随机变量 的数学期望 E 0 2 4 827 4081 1781 148819.（本小题满分 12 分）已知椭圆 :C21(0)xyab的离心率为 63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 523（）求椭圆 的方程；（）已知动直线 (1)ykx与椭圆 C相交于 A、 B两点 若线段 AB中点的横坐标为 12，求斜率 的值；若点 7(,0)3M，求证： M为定值9.【答案】解：（）因为21xyab满足 22abc， 63ca，2 分152b。解得 25,3ab，则椭圆方程为2153xy4 分（） （1）将 (1)ykx代入2153y中得22(3)630k6 分8
12、422236(1)35480kk122x 7 分因为 AB中点的横坐标为 1，所以2613k，解得 3k8 分（2）由（1）知212xk，215xk所以 12121277(,)(,)()33MAByxy 9 分127()3xkx221249()kk10 分2 22576(1)()33k12 分10.（本题 12 分）如图所示，已知椭圆 和抛物线 有公共焦点 , 的中心和1C2)01(FC的顶点都在坐标原点，过点 的直线 与抛物线 分别相交于 两点2C)0,4(Ml BA（1）写出抛物线 的标准方程； （2）若 ，求直线 的方程；MBA21l（3）若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，直
13、线 与椭圆 有公共点，求OlP2Cl1C椭圆 的长轴长的最小值. 1C10.解：（1） (2)设9（3） 椭圆设为 消元整理得11.（本题满分 12 分)已知 1x是函数 的一个极值点 (aR) 2xfxae（）求 a的值；（）当 1x， 20,时，证明： 12|ff（）解： ， -2 分由已知得 ，解得 . 当 时， ，在 处取得极小值所以 . -4 分（）证明：由（）知， ， . 当 时， ， 在区间 单调递减； 当 时， ， 在区间 单调递增. 所以在区间 上， 的最小值为 .- 8 分又 ， ，10所以在区间 上， 的最大值为 . -10 分 对于 ，有 所以 . -12 分 12.（
14、本小题满分 12 分）已知：函数 )1ln(2)(xaxf ，其中 Ra（）若 是 的极值点，求 的值；（）求 )(xf的单调区间；（）若 在 0,)上的最大值是 0，求 a的取值范围【答案】 （）解： (1),(1,)xfx 依题意，令 (2)0f，解得 13a 经检验， 时，符合题意 4 分 （）解： 当 0时， ()1xf 故 )(xf的单调增区间是 ,；单调减区间是 )0,( 5 分 当 a时，令 ()fx，得 10，或 2xa当 10时， 与 的情况如下：x1(,)x112(,)x2x2(,)()f 00x 1()fx 2()fx所以， ()f的单调增区间是 ,a；单调减区间是 ,1
15、和 ,)a 当 1a时， x的单调减区间是 ),( 当 时， 20， )fx与 f的情况如下：x2(1,221(,)x1x1(,)11()fx00 2()fx 1()fx所以， ()fx的单调增区间是 1,a；单调减区间是 ,a和 (,) 当 0a时， )(f的单调增区间是 (0)；单调减区间是 0 综上，当 时， x的增区间是 ,，减区间是 ),1(；当 1时， ()f的增区间是 1()a，减区间是 和 ,)a；当 a时， x的减区间是 ,；当 时， ()f的增区间是 (10)；减区间是 1(,)和 (0,) 8 分（）由（）知 a时， )(xf在 ,)上单调递增，由 )(f，知不合题意当
16、10a时， )(xf在 0,)的最大值是 1()fa，由 ()f，知不合题意 当 时， (xf在 ,)单调递减，可得 )f在 0,上的最大值是 0)(f，符合题意 所以， (x在 )上的最大值是 时， a的取值范围是 1,) 12 分13.（本小题满分 12 分）设函数 32()(0)fxxm（）求函数 f(x)的单调区间；（）若函数 f(x)在 x1，1内没有极值点，求 a 的取值范围；（）若对任意的 a3,6，不等式 在 x2,2上恒成立，求 m 的取值范()1fx围.【答案】解：（） f( x)=3x2+2ax a2=3(x )(x+a),3又 a0，当 x 时 f( x)0；312当
17、a3. （8 分）0)1(af（） a3,6，由（）知 1，2， a33a又 x2,2 f(x)max=maxf(2), f(2)而 f(2) f(2)=164 a20）上的最小值；（）证明： 都有 。(0,)x12xne【答案】 （）解： ，令 .lfx 1()0fe， 得当 单调递减；10()0()xfe， ， ，当 单调递增. （2 分）fxf， ， ，因为 ，10+2te ， （1）当 0 t 时 ；min1()fxfe，（2）当 t 时，1eil.fftt13所以 （6 分）min10()l.tefxt， ， （）证明：由（）知，当 时，(0)x，的最小值是 ， （当且仅当 x= 时
18、取到最小值）()lnfxmin1)ffe1e问题等价于证明 ，2lxe设 ，2()(0)xme，则 ，易得 ， （当且仅当 x=1 时取到最大值）1x max1(e从而对一切 ，都有 成立. （12 分）(0)， 2lnx15.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l的参数方程是 )(24是 参 数ttyx，圆 C 的极坐标方程为)4cos(2（1）求圆心 C 的直角坐标；（2）由直线 l上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值【答案】解：（I） sin2co，sin2co2， （2 分）022yxyxC的 直 角 坐 标 方 程 为圆， （3 分）即 1)()2(2y
19、x， )2,(圆 心 直 角 坐 标 为 （5 分）（II）方法 1：直线 l上的点向圆 C 引切线长是 624)(4081)242()2( 22 tttt，（8 分）14直线 l上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 62 （10 分）方法 2： 04yxl的 普 通 方 程 为直 线 ， （8 分）圆心 C 到 l直 线 距离是 52|，直线 l上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 6212 （10 分）16.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=|x+1|+|x2|m（I）当 5m时，求 f(x) 0 的解集；（II）若关于 x的不等式 f(x) 2 的解集是
20、R，求 m的取值范围【答案】解：（I）由题设知： 5|2|1|x， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： 521x，或 521x，或 521x，解得函数 )(f的定义域为 ),3(),(； （5 分）（II）不等式 f(x) 2 即 2|1|mx， Rx时，恒有 3|)()| xx ， 不等式 2|1| 解集是 R， 32m， 的取值范围是 1,( （10 分）17.（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线cos2sin:aC)0(，已知过点 )4,2(P的直线 l的参数方程为：tyx24，直线 与曲线 分别交于 两点.lCNM,（）写出曲线 和直线 的普通方程；（）若 |,|PNM成等比数列,求 a的l值15【答案】解：（） 2,2yax. 5 分（）直线 l的参数方程为 ty24（ 为参数）,代入 2yax, 得到 2()8()0tat， 7 分则有 1212(4),4t t.因为 |MNP，所以 2112()()ttt. 解得 1a.
