1、19 （本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，已知 ，nanS12a， ， 是数列 的前 项和.281145SnT2nalog（1）求数列 的通项公式；n（2）求 ；T（3）求满足 的最大正整数 的值.2311023nTT n20 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭1C1(,0)F2,(2,3)A圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处AL2:4CxyBC, BC,的切线分别为 , 且 与 交于点 .12l1l2P(1) 求椭圆 的方程；C(2) 是否存在满足 的点 ? 若存在，指出这样的点 有几个1212PFAF P
2、（不必求出点 的坐标）; 若不存在，说明理由 .21 （本小题满分 14 分）已知 N ，设函数 R.n* 2321()1,nnxxf （1）求函数 R 的单调区间；y2fxk()（2）是否存在整数 ，对于任意 N ，关于 的方程 在区间 上有tn*x()0nfx1t,唯一实数解，若存在，求 的值；若不存在，说明理由.t19 （本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1） 解：当 时， ，2n1145nnnSS . 1 分1S . 2 分14nna ， ，28 . 3 分1数列
3、是以 为首项，公比为 的等比数列.na4 . 4 分1214n（2） 解：由（1）得： ， 5212nnlogl分 2122n nTaall log6 分31n7 分2. 8 分n（3）解： 2311nTT9 分222222213411n10222534n 分. 11 分12n令 ，解得： . 13 分034287n故满足条件的最大正整数 的值为 . 14 分20 （本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法 1：设椭圆 的方程为 ,1C21xyab0依题意:
4、解得: 2 分23,4.ab26,. 椭圆 的方程为 . 3 分1C216xy解法 2：设椭圆 的方程为 ，12ab0根据椭圆的定义得 ，即 ， 1128AF4a分 ， . 2 分2c22bac 椭圆 的方程为 . 3 分1C16xy(2)解法 1：设点 , ，则 ，)4,(21B)(2x)(41,(212xxBC，321xA 三点共线,C . 4 分B/ , 222111134xxx化简得： . 51212()分由 ,即 得 . 6 分24xy2x,yx抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，2CB1l )(2411x即 . 72114xy分同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 . 82C2l
5、 2241xy分 设点 ，由 得： ，),(yxP2114x2x而 ，则 . 921)(21x分代入 得 ， 10214y分则 ， 代入 得 ，即点 的轨迹方程为21x21x124yxP. 11 分3y若 ，则点 在椭圆 上，而点 又在直线 上，1212PFAFP1C3xy12 分直线 经过椭圆 内一点 ,3xy1C(30)直线 与椭圆 交于两点. 13 分满足条件 的点 有两个. 14 分1212PFAFP解法 2：设点 , ， ，)(yxB)(C),(0yx由 ,即 得 . 4 分42,抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，2CB1l )(211xy即 . 5 分211xyx ， .214y
6、1点 在切线 上, . 6 分),(0xP1l 1002yxy同理， . 72020yxy分综合 、 得，点 的坐标都满足方程 . 8),(),(21yxCB yxy02分经过 两点的直线是唯一的，),(),(21yx直线 的方程为 ， 9 分L0点 在直线 上， . 10 分)3,2(A30xy点 的轨迹方程为 . 11 分P3xy若 ，则点 在椭圆 上，又在直线 上，121212FAFP1C3xy分直线 经过椭圆 内一点 ,3xy1C(30)直线 与椭圆 交于两点. 13 分满足条件 的点 有两个. 14分1212PFAFP解法3：显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，LL23ykx由
7、 消去 ，得 . 4分234ykx,y24810x设 ,则 . 5分12BC, 1212k,由 ,即 得 . 6 分24xyx,yx抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，2CB1l )(211xy即 . 7 分211xyx ， . 214y2114同理,得抛物线 在点 处的切线 的方程为 . 82C2l 2214xy分由 解得 211224xy,1234xky,. . 10 分3Pk, ,1212FAF点 在椭圆 上. 11 分16xyC: .2236k化简得 .(*) 12 分2710k由 , 13 分43280可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点 有两个. 14 分P21 （本小
8、题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解： 1 分232()1,xyfxkk . 2 分22(1)方程 的判别式 .210xk24134kk当 时， ， ，34k2()0yx故函数 在 R 上单调递减； 3 分y2()fxk当 时，方程 的两个实根为 ，34k210k1342kx. 4 分2134kx则 时， ； 时， ； 时，1x,0y12x,0y2x,；0y故函数 的单调递减区间为 和 ，y2()fxk
9、1x,2,单调递增区间为 . 5 分12,（2）解：存在 ，对于任意 N ，关于 的方程 在区间 上有tn*x()0nfx1t,唯一实数解，理由如下：当 时， ，令 ，解得 ， 1n()1fx1()fx1x关于 的方程 有唯一实数解 . 6 分0当 时，由 ，2n2321()1nnxxf 得 . 7 分2232()nnfx若 ，则 ， 1()1)()0nnff若 ，则 , 80x0x分若 且 时，则 , 9121()nnxf分当 时， ,x210,()0nnxfx当 时， ,1 ，故 在 上单调递减. 10 分()nfx()nfx,) ， 11 分11()23452n 021()()()nnf
10、 24 211()()()352nn. 12 分24 23()n 0方程 在 上有唯一实数解. 13 分()0nfx1,当 时， ；当 时，x,0nnff2x,.2nnff综上所述，对于任意 N ，关于 的方程 在区间 上有唯一实数解.*x()nfx1, .1t9 （本题满分 14 分）数列 na的前 项和为 2nSa，数列 nb是首项为 1a，公差不为零的等差数列,且13,b成等比数列（1 ）求 123,的值；（2 ）求数列 na与 b的通项公式； （3 ）求证： 3125na 20 （本题满分 14 分）已知 (2,0)A， (,)B， (,)Cmn（1 ）若 m， 3n，求 A的外接圆的
11、方程；（2 ）若以线段 为直径的圆 O过点 （异于点 ,AB） ，直线 2x交直线 AC于点R，线段 B的中点为 D，试判断直线 C与圆 的位置关系，并证明你的结论21 （本题满分 14 分）设函数 1()xef， 0（1 ）判断函数 f在 ,上的单调性；（2 ）证明：对任意正数 a，存在正数 x，使不等式 ()1fxa成立19 （本题满分 14 分）解析：（1） 2nS，当 时， 1a，解得 12a；当 n时， 212Sa，解得24a；当 3n时， 123S，解得 38 -3 分（2 ）当 时， 111(2)()2nnnnnaSaa， -5 分得 1na又 12， 1，数列 n是以 2 为首
12、项，公比为 2 的等比数列，所以数列 n的通项公式为 na -7 分12ba，设公差为 d，则由 13,b成等比数列，得 ()(0)d， -8 分解得 0（舍去）或 ， -9 分所以数列 nb的通项公式为 31nb-10 分（3 ）令 312n nTaa 1235812n ，121nT，-11 分两式式相减得 12133nnnT， ()522nnnn，-13 分又 350n，故 5nT-14 分20 （本题满分 14 分）解析：（1）法 1：设所求圆的方程为 20xyDEF，由题意可得42013DFE，解得 0,4DEF， ABC的外接圆方程为 240xy，即 2xy-6 分法 2：线段 的中
13、点为 3(,)，直线 AC的斜率为 13k，线段 AC的中垂线的方程为 ()22yx，线段 B的中垂线方程为 0x， 的外接圆圆心为 (,)，半径为 r， A的外接圆方程为 24y-6 分法 3： |(10)(3)OC，而 |2OAB， B的外接圆是以 为圆心， 为半径的圆， 的外接圆方程为 24xy-6 分法 4：直线 AC的斜率为 13k，直线 BC的斜率为 23k， 12k，即 ， B的外接圆是以线段 A为直径的圆， A的外接圆方程为 24xy-6 分（2 ）由题意可知以线段 B为直径的圆的方程为 24xy，设点 R的坐标为 (2,)t， ,CR三点共线， /ACR，-8 分而 (2,)
14、Amn， (4,)t，则 (2)ntm， 4t， 点 R的坐标为 (,)2，点 D的坐标为 (,)2，-10 分直线 CD的斜率为 22()4nmnk，而 24mn， 22n， 2k，-12 分直线 CD的方程为 ()mynx，化简得 40xny，圆心 O到直线 的距离 242drn，所以直线 与圆 相切 -14 分21 （本题满分 14 分）解析：（1） 22(1)(1()xxeef， -2 分令 ()xhe，则 ()()xxhee，当 0x时， ()0， 是 0,上的增函数， ()，故 2hfx，即函数 ()fx是 ,上的增函数 -6 分（2 ） 11()xxef，当 0x时，令 xg，则
15、 ()0xge， -8 分故 ()， 1()xf，原不等式化为 1xea，即 ()0xea，-10 分令 ()()x，则 1x，由 0得： 1xea，解得 ln()a，当 ln()时， ()0；当 x时， ()0x故当 ln(1)xa时， ()x取最小值 ln(1)()ln1aa，-12 分令 )l,0s，则 220()()s 故 (0a，即 ln(1)ln10aa因此，存在正数 x，使原不等式成立-14 分19.（本题满分 14 分）设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项和。已知 ，且 是nanSna73S2a和 的等差中项。143（1）求数列 的通项公式；n（2）设 ，数列 的
16、前 项和为 ，求证：)1(nnabnbnT21n20.（本题满分 14 分）已知椭圆 的中心为原点 ，焦点在 轴上，离心率 为 ，且点（1， ）在该椭圆COx2323上。（1）求椭圆 的方程；（2）如图，椭圆 的长轴为 ，设 是椭圆上异于 、 的任意点，ABPAB轴， 为垂足，点 满足 ，直线 与过点 且xPHQHQ垂直于 轴的直线交于点 ， ，求 证： 为锐角。MN4O21.（本题满分 14 分已知函数 （ ）， 是自然对数的底数。baxaxfln)(2 1,aRe（1）试判断函数 在区间 上的单调性；),0(（2）当 ， 时，求整数 的值，使得函数 在区间（ ）上存在零点；ea4bk)(x
17、f,k（3）若存在 ， 1，1，使得 ，求 的取值范围。1x21|)(|21exf a19（本题满分 14 分）解：（1）由已知，得 3 分解得 设数列 的公比 为 ，则 ， 由 ，可知 ， ，解得 由题意，得 5 分 故数列 的通项为 7分(2) ， 11 分.14 分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考 查了数列求和的 “裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力20（本题满分 14 分）解：（1）设椭圆 C 的方程为 ，由题意可得 , 又 ， . 2 分椭圆 C 经过 ，代入椭圆方程有 ，解得 . 5 分 ，故椭圆 C 的方程为 . 6 分（2）设 ， 7 分 ， ， ，
18、直线 的方程为 9 分令 ，得 ， ， ， ， 12 分 ， 又 、 、 不在同一条直线， 为锐角. 14 分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基 础知识 ，考 查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力21（本小题满分 14 分）解：（1） 1 分由于 ，故当 时， ，所以 ，2 分故函数 在 上单调递增 . 3 分（2） ， ， ， 4 分当 时， ， ，故 是 上的增函数；同理， 是 上的减函数 . 5 分，当 ， ，故当 时，函数 的零点在 内， 满足条件；，当 ， ，故当 时，函数 的零点在 内， 满足条件.综上所述 或 . 7 分（3） ， 因为存在 ，使得 ，
19、所以当 时， 8 分，当 时，由 ，可知 ， ， ；当 时，由 ，可知 ， ， ；当 时， . 在 上递减，在 上递增，11 分当 时， ，而 ，设 ，因 为 （当 时取等号）， 在 上单调递增，而 ，当 时， ，当 时， ， ， ， ，即 ，设 ，则 .函数 在 上为增函数， .即 的取值范围是 14 分【说明】本小题主要考查函数、 导数、不等式 证明等知识,通 过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化 归与转化思想.图5F2F1oy x20 （本小题满分 14 分）如图（5） ，设点 、 分别是椭圆)0,(1cF),(2 )(
20、:2ayxC的左、右焦点， 为椭圆 上任意一点，且 最小值为 PC12PFur0（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 ，若 、 均与椭圆12:,:lykxmlykxn1l2相切，证明： ；C0n（3）在（2）的条件下，试探究在 轴上是否存在定点 ，点 到 的距离之积恒B12,l为 1？若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由B21 （本小题满分 14 分）已知函数 ， ，函数 的图象在点 处的()lnfx2()gxfaxb()gx(1,)g切线平行于 轴（1）确定 与 的关系；ab（2）若 ，试讨论函数 的单调性； 0()（3）设斜率为 的直线与函数 的图象交于两点 ， （ ）kfx12(,
21、)(,)AxyB12x证明： 21x20.解：（1）设 ，则有 ， -1 分 ),(yP),(1ycxPF),(2ycxPF-2 分aacxF222 由 最小值为 得 ，-3 分1ur012椭圆 的方程为 -4C2y分（2）把 的方程代入椭圆方程得1l 22(1)40kxm直线 与椭圆 相切， ，化简得6()k-22mk-7 分同理可得： -221n-8 分 ，若 ，则 重合，不合题意，212,l ，即 -mn0-9 分（3）设在 轴上存在点 ，点 到直线 的距离之积为 1，则x(,0)Bt12,l，即 ，-22|1ktmt2|ktmk-11 分把 代入并去绝对值整理，21k或者(3)t2(1
22、)0t前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的 恒成立kR则 ，解得 ；-210tt-13 分综上所述，满足题意的定点 存在，其坐标为 或 -B(1,0)(,-14 分21解：（1）依题意得 ，则2()lngxabx()2gaxb由函数 的图象在点 处的切线平行于 轴得：()x1, (1)0 -2ba-3 分（2）由（1）得 -ks5u-2()()xaxg(2)ax4 分函数 的定义域为x(0,)当 时，0a1)x由 得 ，由 得 ，()g()g1x即函数 在(0,1)上单调递增，在 单调递减；-x,-5 分当 时，令 得 或 ，0a()0x2a若 ，即 时，由 得 或 ，由 得1212()g1
23、x02a()0gx，xa即函数 在 ， 上单调递增，在 单调递减；-()g0,)a(1,)(,)-6 分若 ，即 时，由 得 或 ，由 得12a2()0gx12a0x()0gx，12xa即函数 在 ， 上单调递增，在 单调递减；-7 分()g0,1(,)2a1(,)2a若 ，即 时，在 上恒有 ，0gx即函数 在 上单调递增，-()x,)-8 分综上得：当 时，函数 在(0,1)上单调递增，在 单调递减；0a()gx(1,)当 时，函数 在 单调递增，在 单调递减；在 上单120,1,2a1(,)2a调递增；当 时，函数 在 上单调递增，a()gx,)当 时，函数 在 上单调递增，在 单调递减
24、；在 上单调递12102a1(,)2a(1,)增-9 分（3）证法一：依题意得 ，2121lnyxk证 ，即证21x21x因 ，即证 -0121lnx-10 分令 （ ） ，即证 （ ）-ks5u-21xtltt-11 分令 （ ）则()ln1htt21()tht0 在（1，+ ）上单调递增， =0，即 （ ）-()tltt13 分综得 （ ） ，即 -1lnt1t21kx-14 分【证法二：依题意得 ，-212121lnlnlyk xkxx10 分令 则 -11 分()ln,hx(),hk由 得 ，当 时， ，当 时， ，-()0hx1kx()0hx1xk()0hx-12 分在 单调递增，在
25、 单调递减，又 -13 分(),(,)k12(),即 -12xk1x-14 分】【证法三：令 则 -10 分1()ln,h1(),hx当 时， 函数 在 单调递减，-11 分1x0,x当 时， ，即 ；-122 2211()llnx21lnx分同理，令 可证得 -2()ln,xm21l-14 分】【证法四：依题意得 ， 1212lnyxk21kx-2112121ln1lllnlx x10 分令 则111()lln,hx1(),xh当 时， 函数 在 单调递增，x()0, 1,当 时， ，即 -2121()h2121lnlx-12 分令 则222()lnl,mxxx(),xm当 时， 函数 在
26、单调递减，()0,20,当 时， ，即 ；1212()h121lnlx所以命题得证19 （本小题满分 14 分）已知 Sn 是数列 的前 n 项和，且 ， .a1a)(*1NSnn（1 ）求 的值；234,（2 ）求数列 的通项 ；nn（3 ）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .nb2()nnanbnT20 （本小题满分 14 分）已知圆 C 的方程为 ，圆心 C 关于原点对称的点为 A，P 是圆上任270xy一点，线段 的垂直平分线 交 于点 .APlPQ（1 ）当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹 方程；L（2 ）过点 B（ 1， ）能否作出直线 ，使 与轨迹 交于 M、N 两点，且
27、点 B 是线22l段 MN 的中点，若这样的直线 存在，请求出它的方程和 M、N 两点的坐标；若不存在，l请说明理由.21 （本小题满分 14 分）若 ，其中 2(ln1)0)()xaxefRa（1 ）当 时，求函数 在区间 上的最大值；()f2,（2 ）当 时，若 ， 恒成立，求 的取值范围0a,1xax319 （本小题满分 14 分）解：（1）由 得 ， （1 分）11,2()nSN21， （2 分）3223aSa由 得 （3 分）4313()4a（2 ）当 时，由 ，得 （4 分）n12nS1()2naS得 ，化简得 ， （5 分）1 1()()nnna1()nna （ ）. （6 分）
28、1n ， ， （7 分）2a31na以上（ ）个式子相乘得 （ ） （8 分）1nnn123 又 ， （9 分）1a()nN（3 ） （11 分）21()()2nnban （12 分）1 1435 2nT n （14 分）1232(1)nn20 （本小题满分 14 分）解：（1）如图，由已知可得圆心 ，半径 ，点 A（1，0） （1 分）(,0)C2r点 是线段 的垂直平分线 与 CP 的交点， （2 分）QAPl |QP又 ， （3 分）2|CQA点 Q 的轨迹是以 O 为中心， 为焦点的椭圆，,C ， ， （4 分）1,ca12cab点 Q 的轨迹 的方程 . （5 分）L2xy（2 ）假
29、设直线 存在，设 ，分别代入 得2l12(,)(,)MNxy21xy， （6 分）212xy两式相减得 ，即 （7 分）12121212()()xxyy1212yxxy由题意，得 ， （8 分）,2121x ，即 （9 分）12yx1MNk直线 的方程为 （10 分）2l32yx由 得 （11 分）132xy650点 B 在椭圆 L 内，直线 的方程为 ，它与轨迹 L 存在两个交点，2l32yx解方程 得 （12 分）6150x61当 时， ；当 时， （13 分）2yx162y所以，两交点坐标分别为 和 （14 分）61,21 （本小题满分 14 分）解：（1）当 ， 时， ， （1 分）2
30、a2,xe2()lnfxx ，当 时， ， （2 分）xf)( 0函数 在 上单调递增， （3 分）2lnx2,e故 （4 分）2max()()lffe4（2 ） 当 时， axxfn， ，()2afx0， ，f（x）在 ),e上增函数， （5 分）()f故当 ex时， ； （6 分）2min)(当 1时， ， )2)(2)( axxaf ， （72lfxax分）（i）当 ,2a即 20时， )(xf在区间 ),1e上为增函数，当 1x时， ，且此时 )(1ef； （8 分）afxf1)()(min 2（ii）当 ，即 时， )(xf在区间 上为减函数，在区间2ae2e,a上为增函数， ,（9
31、 分）故当 2ax时， ，且此时 )(2(efaf；（102ln3)2()(minaafxf 2分）（iii）当 ，即 时， 在区间1，e上为减函数，e2a2()lfxax故当 x时， . （11 分）2min)(efxf综上所述，函数 y的在 上的最小值为,1（12 分）222min,l30,1)(eaexf由 得 ；由 得无解；由 得无解； ,23100,23ln232aa,232ae（13 分）故所求 的取值范围是 （14 分）a,19、 （本小题满分 14 分）已知函数 ，数列 的前 n 项和为 ，点 都在函213()fxxanS(,)n*)N数 yf（x）的图象上。（1 ）求数列 的
32、通项公式 ；nan（2）令 ， 是数列 的前 n 项和，求 ；1bTbnT（3）令20、 （本小题满分 14 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 C： 的上、下焦点，其中 F1 也是抛物线21(0)yxabC1： 的焦点，点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点，且 。24xy 15|3M（1 ）求椭圆 C1 的方程；（2 ）已知 A（b，0） ，B（0，a） ，直线 ykx（k0）与 AB 相交于点 D，与椭圆 C1 相交于点 E，F 两点，求四边形 AEBF 面积的最大值。21、 （本小题满分 14 分）已知函数 。21()ln()fxaxR（1 ）当 a1 时， 使不等式 ，求实数 m 的取值范围；0,e0f（2 ）若在区间（1， ）上，函数 f（x ）的图象恒在直线 y2ax 的下方，求实数 a的取值范围。
