1、第 1 页（共 62 页）2017 年重庆市高考数学试卷（理科） （全国新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） =（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i2 （5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 B=（ ）A1 ， 3 B1，0 C1，3 D1，53 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2
2、 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A90 B63 C42 D36第 2 页（共 62 页）5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）A 15 B9 C1 D96 （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种7 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的
3、成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）第 3 页（共 62 页）A2 B3 C4 D59 （5 分）若双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线被圆（x 2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ）A2 B C D10 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=1
4、20，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x 2+ax1）e x1 的极值点，则 f（x）的极小值为（ ）A 1 B2e 3 C5e 3 D112 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则（ + ）的最小值是（ ）A 2 B C D 1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 14 （5 分
5、）函数 f（x ）=sin 2x+ cosx （x 0， ）的最大值是 15 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，则 = 16 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|= 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生第 4 页（共 62 页）根据要求作答 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，
6、已知 sin（A+C）=8sin2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b18 （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产
7、量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附：P（ K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= 第 5 页（共 62 页）19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值20 （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足
8、= （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且 =1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F21 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C
9、1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2， ） ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大第 6 页（共 62 页）值选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 a0，b0 ，a 3+b3=2证明：（1） （a+b ） （ a5+b5）4 ；（2）a+b 2 第 7 页（共 62 页）2017 年重庆市高考数学试卷（理科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） =
10、（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质，求出结果【解答】解： = = =2i，故选 D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2 （5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 B=（ ）A1 ， 3 B1，0 C1，3 D1，5【分析】由交集的定义可得 1A 且 1B，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合 B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 1A 且 1
11、B，可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=x|x24x+3=0=1，3故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题第 8 页（共 62 页）3 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数
12、列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381= =127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用，属于基础题4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 62 页）A90 B63 C42 D36【分析】由三视图可得
13、，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210 326=63，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）A 15 B9 C1 D9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小第 10 页（共 62 页）值即可【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解得 A（6，3） ，则 z
14、=2x+y 的最小值是：15故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6 （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得： =6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6 =36 种故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力7 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询
15、问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看第 11 页（共 62 页）丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良， （若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己
16、的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题8 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）第 12 页（共 62 页）A2 B3 C4 D5【分析】执行程序框图，依次
17、写出每次循环得到的 S，K 值，当 K=7 时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a= 1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a= 1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，K=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a= 1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a= 1，K=7；K 6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3第 13 页（共 62 页）故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础9 （5 分）若双曲线
18、C： =1（a0，b 0）的一条渐近线被圆（x 2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ）A2 B C D【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2） 2+y2=4 的圆心（2，0） ，半径为：2，双曲线 C： =1（a0，b 0）的一条渐近线被圆（x 2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得： ，可得 e2=4，即 e=2故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力10 （5
19、分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D第 14 页（共 62 页）【分析】 【解法一】设 M、 N、P 分别为 AB，BB 1 和 B1C1 的中点，得出 AB1、BC 1夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP 和MNP 的余弦值即可【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB 1 和 B1C1 的中点，则 AB1、BC 1 夹角为 MN 和
20、NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ） ，可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcos ABC=4+1221（ ）=7，AC= ，MQ= ；在MQP 中， MP= = ；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB 1 与 BC1 所成角的余弦值为 第 15 页（共 62 页）【解法二】如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1，求BC 1D 即可；BC1= ，BD= = ，C1D= ， +BD2= ，D
21、BC 1=90，cosBC 1D= = 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题11 （5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x 2+ax1）e x1 的极值点，则 f（x）的极小值为（ ）A 1 B2e 3 C5e 3 D1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可第 16 页（共 62 页）【解答】解：函数 f（x） =（x 2+ax1）e x1，可得 f（x）=（2x+a）e x1+（x 2+ax1）e x1，x=2 是函数 f（x）= （x 2+ax1）e x1 的极值点，可得：4
22、+a +（ 32a）=0 解得 a=1可得 f（x）=（2x1）e x1+（x 2x1）e x1，=（ x2+x2）e x1，函数的极值点为： x=2，x=1 ，当 x2 或 x1 时，f （x）0 函数是增函数，x （2，1）时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1 211）e 11=1故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力12 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则（ + ）的最小值是（ ）A 2 B C D 1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积
23、的公式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A（0， ） ，B（1，0） ，C （1，0 ） ，设 P（ x，y） ，则 =（x， y） ， =（ 1x，y） ， =（1 x， y） ，则 （ + ）=2x 22 y+2y2=2x2+（y ） 2 当 x=0，y= 时，取得最小值 2（ ）= ，第 17 页（共 62 页）故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回
24、地抽取 100 次X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 1.96 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则 DX=npq=np（1p）=1000.020.98=1.96 故答案为：1.96【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键14 （5 分）函数 f（x ）=sin 2x+ cosx （x 0， ）的最大值是 1 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=sin 2x+ cosx =1cos2x+ cosx
25、，令 cosx=t 且 t0，1，则 y=t2+ t+ =（t ） 2+1，当 t= 时，f （t ） max=1，即 f（x）的最大值为 1，第 18 页（共 62 页）故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，则 = 【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，S 4=2（a 2+a3）=10 ，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn= ， = ，则 =
26、21 + + =2（1 ）= 故答案为： 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力16 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|= 6 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可【解答】解：抛物线 C： y2=8x 的焦点 F（2，0） ，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，可知 M 的横坐标为： 1，则 M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查
27、计算能力三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生第 19 页（共 62 页）根据要求作答 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知 sin（A+C）=8sin2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b【分析】 （1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=B，再利用诱导公式化简sin（ A+C） ，利用降幂公式化简 8sin2 ，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB，（2）由（1）可知
28、 sinB= ，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b【解答】解：（1）sin（A+C ）=8sin 2 ，sinB=4（1 cosB） ，sin 2B+cos2B=1，16（1 cosB） 2+cos2B=1，（17cosB15） （cosB1） =0，cosB= ；（2）由（1）可知 sinB= ，S ABC = acsinB=2，ac= ，b 2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c ） 22ac15=361715=4，b=2【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题第 20 页（共 6
29、2 页）18 （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附：P（ K2k） 0.050 0.010 0.001 k
30、 3.841 6.635 10.828 K2= 【分析】 （1）由题意可知：P（A）=P（BC ）=P（B）P（C） ，分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成 22 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数第 21 页（共 62 页）【解答】解：（1）记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”，由 P（ A）=P（BC）=P （B ）P （C ） ，则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034 +0.040
31、）5=0.62 ，故 P（ B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008 ）5=0.66 ，故 P（ C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P（A ）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A 发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量50kg 箱产量 50kg 总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则 K2= 15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg
32、 的直方图的面积：（0.004 +0.020+0.044）5=0.34，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：（0.004 +0.020+0.044+0.068）5=0.680.5 ，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ 52.35（kg） ，新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg） 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面第 22 页（共 62 页）ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；
33、（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值【分析】 （1）取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CEBF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 MABD 的余弦值即可【解答】 （1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，BC AD，BCEF 是平行四边形，可得 CEBF，BF平面 PAB，CE 平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2）解：四棱
34、锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则AB=BC=1，OP= ，PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1 ，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，第 23 页（共 62 页）作 NQAB 于 Q，连接 MQ，ABMN，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ= ，二面角 MABD 的余弦值为： = 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定
35、理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20 （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 = （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且 =1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F【分析】 （1）设 M（x 0，y 0） ，由题意可得 N（x 0， 0） ，设 P（x ，y） ，运用向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；（2）设 Q（3，m） ，P （ cos， sin） ， （0 2） ，运用向量的数量积的坐标表示
36、，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证第 24 页（共 62 页）【解答】解：（1）设 M（ x0，y 0） ，由题意可得 N（x 0，0） ，设 P（ x，y） ，由点 P 满足 = 可得（xx 0，y）= （0， y0） ，可得 xx0=0，y= y0，即有 x0=x，y 0= ，代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m） ，P（ cos， sin） ， （0 2） ， =1，可得（ cos， sin） （ 3 cos，m sin）=1
37、 ，即为3 cos2cos2+ msin2sin2=1，当 =0 时，上式不成立，则 0 2 ，解得 m= ，即有 Q（3 ， ） ，椭圆 +y2=1 的左焦点 F（ 1，0） ，由 =（ 1 cos， sin）（3， ）=3+3 cos3（1+ cos）=0可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2axxlnx，且 f（x
38、）0（1）求 a；第 25 页（共 62 页）（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2【分析】 （1）通过分析可知 f（x ）0 等价于 h（x）=axalnx0，进而利用h（x）=a 可得 h（x） min=h（ ） ，从而可得结论；（2）通过（1）可知 f（x）=x 2xxlnx，记 t（x）=f（x ）=2x 2lnx，解不等式可知 t（x） min=t（ ）=ln2 10，从而可知 f（x）=0 存在两根 x0，x 2，利用f（x）必存在唯一极大值点 x0 及 x0 可知 f（x 0） ，另一方面可知 f（x 0）f（ ）= 【解答】 （1）解：因为 f
39、（x ）=ax 2axxlnx=x（ax alnx） （x0） ，则 f（x）0 等价于 h（x ）=ax alnx0，求导可知 h（x）=a 则当 a0 时 h（x ）0 ，即 y=h（x）在（0，+ ）上单调递减，所以当 x01 时，h（x 0） h（1）=0，矛盾，故 a0因为当 0x 时 h（x）0、当 x 时 h（x）0，所以 h（x） min=h（ ） ，又因为 h（1）=aaln1=0，所以 =1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f（x ）=x 2xxlnx，f（x）=2x2 lnx，令 f（x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=2x 2lnx，则 t（x）=2
40、 ，令 t（x ）=0 ，解得： x= ，所以 t（x）在区间（ 0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，所以 t（x） min=t（ ）=ln2 10，从而 t（x）=0 有解，即 f（x）=0 存在两根x0， x2，且不妨设 f（ x）在（0 ，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+）上为正，第 26 页（共 62 页）所以 f（ x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（ x0）= x0x0lnx0= x0+2x02 =x0 ，由 x0 可知 f（x 0）（x 0 ） max= + = ；由 f（ ） 0 可知 x0 ，所以 f（ x）在（
41、0，x 0）上单调递增，在（x 0， ）上单调递减，所以 f（ x0）f （ ）= ；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满
42、足|OM| |OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2， ） ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值【分析】 （1）设 P（x，y ） ，利用相似得出 M 点坐标，根据 |OM|OP|=16 列方程化简即可；（2）求出曲线 C2 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为：x=4 ，设 P（ x，y） ，M （4，y 0） ，则 ，y 0= ，|OM|OP |=16，第 27 页（共 62 页） =16，即（x 2+y2） （1+ ）=16，x 4+2x2y2+y4=16x
43、2，即（x 2+y2） 2=16x2，两边开方得：x 2+y2=4x，整理得：（x2） 2+y2=4（x0） ，点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（ x2） 2+y2=4（ x0） （2）点 A 的直角坐标为 A（1， ） ，显然点 A 在曲线 C2 上，|OA |=2，曲线 C2 的圆心（2，0 ）到弦 OA 的距离 d= = ，AOB 的最大面积 S= |OA|（2+ ）=2 + 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 a0，b0 ，a 3+b3=2证明：（1） （a+b ） （ a5
44、+b5）4 ；（2）a+b 2 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明，（2）由 a3+b3=2 转化为 =ab，再由均值不等式可得：=ab（ ） 2，即可得到 （a+b） 3 2，问题得以证明【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b） （a 5+b5）（ + ）2=（a 3+b3） 24，当且仅当 = ，即 a=b=1 时取等号，（2）a 3+b3=2，（a +b） （a 2ab+b2）=2 ，（a +b）（a+b） 23ab=2，第 28 页（共 62 页）（a +b） 33ab（a+b）=2， =ab，由均值不等式可得： =ab（ ） 2，（a +b） 32 ， （a+b） 32，a
45、+b2 ，当且仅当 a=b=1 时等号成立【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题第 29 页（共 62 页）考点卡片1交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作AB 符号语言：AB=x|x A，且 xBAB 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集运算形状：AB=BAA =A A=A A BA，ABBAB=AA BAB=，两个集合没有相同元素A （ UA）= U（AB）=（ UA）（ UB） 【解题方法点拨
46、】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有” 的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同； 无限集用数轴、韦恩图【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题2利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数 f（x ）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x）f（x 0） ，就说 f（x 0）是函数 f（x）的一个极大值，记作第 30 页（共 62 页）y 极大值 =f（x 0） ，x 0 是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数 f（x ）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x）f（x 0） ，就说 f（x 0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值 =f（x 0） ，x 0 是极小值点 2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或
