1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 1 页 共 12 页2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）数 学 （理工类）第卷一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A= x| 230，B= 2x，则 AB=A.-2,-1 B.-1,2） C.-1,1 D.1,2）2.32(1)i=. i . i . 1i . 1i3.设函数 ()fx， g的定义域都为 R，且 ()fx是奇函数， ()gx是偶函数，则下列结论正确的是A. 是偶函数 B.| ()f| g是奇函数C. ()f
2、x| |是奇函数 D.| x|是奇函数4.已知 F是双曲线 ： 23(0)my的一个焦点，则点 F到 C的一条渐近线的距离为A. 3 B.3 C. .5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率. 18 . . 58 D. 76.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x的始边为射线A，终边为射线 ，过点 作直线 O的垂线，垂足为 M，将点 到直线P的距离表示为 x的函数 ()f，则 y= ()fx在0, 上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的 ,abk分别为 1,2,3，则输出的 M=2014 年普通高等
3、学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 2 页 共 12 页A. 203 B. 165 C. 72 D. 1588.设 (,)， (0,)，且 sintaco，则. 32 . 2 C. 32 D. 29.不等式组 14xy的解集记为 D.有下面四个命题：1p： (,),2， 2p： (,),2xyy,3P： 3xyy， 4： 1.其中真命题是A. 2p， 3 B. 1p， 4 C. 1p， 2 D. 1p， 3P10.已知抛物线 C： 28yx的焦点为 F，准线为 l， 是 l上一点， Q是直线 PF与 C的一个交点，若4FPQ，则 |F=A. 72 B. 5 .3 D.211.已知函数 (
4、)fx= 321a，若 ()fx存在唯一的零点 0x，且 0，则 a的取值范围为A.（2，+） B.（-，-2） C.（1，+） D.（-，-1 ）12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A. 62 B. 4 C.6 D.4第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 3 页 共 12 页二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13. 8()xy的展开式中 2xy
5、的系数为 .(用数字填写答案 )14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 1()2ABC，则 A与的夹角为 .16.已知 ,abc分别为 的三个内角 ,的对边， a=2，且 (2)sin)(sinbBcbC，则 面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12 分)已知数列 na的前 项和为 nS， 1a=1， 0n， 1nnaS，其中 为常数.()证
6、明： 2na；（）是否存在 ，使得 n为等差数列？并说明理由 .18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差 2s（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z服从正态分布 2(,)N，其中 近似为样本平均数 x， 2近似为样本方差 2s.(i)利用该正态分布，求 (87)PZ；2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 4 页 共 12 页（ii）某用户从该企业购买了 100 件这
7、种产品，记 X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 E.附： 15012.2.若 Z 2(,)N，则 ()PZ=0.6826， (22)PZ=0.9544.19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 1ABC中，侧面 1BC为菱形， 1ABC.() 证明： 1AC；（）若 B， o160，AB=BC求二面角 1的余弦值.20. (本小题满分 12 分) 已知点 A（0，-2） ，椭圆 E：2xyab的离心率为 32， F是椭圆的焦点，直线 AF的斜率为 23， O为坐标原点.()求 E的方程；（）设过点 A的直线 l与 E相交于
8、,PQ两点，当 OP的面积最大时，求 l的方程.21. (本小题满分 12 分)设函数1(0lnxxbefa，曲线 ()yfx在点（1， ()f处的切线为12yex. ()求 ,b； （）证明： ()f.请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE.()证明：D=E； （）设 AD 不是O 的直径，A
9、D 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C：2149xy，直线 l： 2xty（ 为参数） .N2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 5 页 共 12 页()写出曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程；（）过曲线 上任一点 P作与 夹角为 o30的直线，交 l于点 A，求 |P的最大值与最小值.24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 0,ab，且 1ab.() 求 3的最小值；（）是否存在 ,，使得 236？并说明理由.2014 年普通高等学校招生全国统一考试（
10、全国 1 卷） 第 6 页 共 12 页1【答案】：A【解析】：A= x| 230=13xx或 ，B= 2x， B=1，选 A2【答案】：D【解析】：32()1i= ()ii，选 D3【答案】：C【解析】：设 ()()Fxfgx，则 ()()Fxfgx， ()f是奇函数， ()gx是偶函数，()f， 为奇函数，选 C.4【答案】：A【解析】：由 C： 23(0)xmy，得213xym， 23,3ccm设 3,0F，一条渐近线 ，即 0，则点 F到 C的一条渐近线的距离1dm= ，选 A. .5【答案】：D【解析】：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 4216种，周六、周日
11、都有同学参加公益活动有两种情况：一天一人一天三人有 48CA种；每天 2 人有246C种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 8671；或间接解法：4 位同学都在周六或周日参加公益活动有 2 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 12768；选 D. 6【答案】：B【解析】：如图：过 M 作 MDOP 于，则 PM= sinx，OM= cosx,在RtOP中，MD= cosixP:coi1sin2x， ()f1in2(0)，选 B. .2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 7 页 共 12 页7【答案】：D【解析】：输入 1,23abk； 1n时： 13,
12、2Mab；2n时： 8,M； 时： 5815,3；4时：输出 5 . 选 D.8【答案】：【解析】： sin1sitaco， sincoscosinsinsi2， ,022 2，即 ，选 B9【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设 2xyz，即 12zx，当直线过 2,1A时，min20z， z，命题 1p、 2真命题，选 C.10【答案】：C【解析】：过 Q 作 QM直线 L 于 M， 4FPQ 34PF，又 3， 3，由抛物线定义知 3FQM选 C11【答案】：B【解析 1】：由已知 0a， 2()36fxax，令 ()0f，得 x或 2a，当 0a时， 2,;0,;,()0xff fa
13、 ；且 ()1f， ()f有小于零的零点，不符合题意。当 0a时， 22,()0;,()0;,()0xfxfxfxaa 要使 ()f有唯一的零点 0且 0，只需 f，即 24a， 选 B【解析 2】：由已知 ， ()fx= 32有唯一的正零点，等价于 31ax:2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 8 页 共 12 页有唯一的正零根，令 1tx，则问题又等价于 3at有唯一的正零根，即 ya与 3t有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 3()ft， 2()ft，由 ()0ft， 1t，,1()0;1,0;tft，要使 3at有唯一的正零根，只需 (1)2af，选 B12
14、【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥 DABC，其中 4,2,25ABC， 246DA，故最长的棱的长度为 6A，选 C13【答案】： 20【解析】： 8()xy展开式的通项为 81(0,18)rrTxy ， 778TC， 62268xy 8()xy的展开式中 7的项为 72627xyxy:，故系数为 20。14【答案】：A【解析】：丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过 B 城市，乙说：我没去过 C 城市三人同去过同一个城市应为，乙至少去过，若乙再去城市 B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，可判断乙去过的城市为.15【答案】： 09【解析】： 1()2AOBC，O 为线段 B
15、C 中点，故 BC 为 O:的直径， 0BC， 与 的夹角为 09。16【答案】： 3【解析】：由 2a且 ()sin)(sinbABcbC，即 ()sinbABcC，由及正弦定理得： ()()abc 22ca，故221osabc， 06A， 2424bbc， sin3ABCS，2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 9 页 共 12 页17【解析】：()由题设 1nnaS， 121nnaS，两式相减12nna，由于 0，所以 6 分（）由题设 1=1， 21，可得 21，由() 知 31a假设 n为等差数列，则 3,a成等差数列， 32，解得 4；证明 4时， n为等差
16、数列：由 24na知数列奇数项构成的数列 21m是首项为 1，公差为 4 的等差数列 213ma令 21,n则 ， n()数列偶数项构成的数列 2ma是首项为 3，公差为 4 的等差数列 24m令 ,则 n， 1n(2) 21na（ *N） ， n因此，存在存在 4，使得 a为等差数列. 12 分18【解析】：() 抽取产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差 2s分别为170.280.91.20.343x222231040830s56 分（） （）由()知 Z (2,15)N，从而187.1.)P0.201.)82PZ9 分（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）
17、的概率为 0.6826依题意知 (,.682)XB:，所以 .6.EX 12 分19【解析】：()连结 1C，交 B于 O，连结 AO因为侧面 1BC为菱形，所以 1BC1，且O 为 1与 1的中点又 1A，所以 1平面AB，故 又 ，故 CA 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 10 页 共 12 页6 分（）因为 1ACB且 O 为 1C的中点，所以 AO=CO 又因为 AB=BC，所以 BOAC故 OAOB ，从而 OA，OB， 两两互相垂直 以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz 因为 016
18、CB，所以 1CB为等边三角形又 AB=BC，则3,A， ,， 130,， 30,C10,B， 1,AB131,0B设 ,nxyz是平面的法向量，则10ABn:，即30yzx所以可取 1,3n设 m是平面的法向量，则 10mABnC:，同理可取 ,m则 cos,7n:，所以二面角 1C的余弦值为 17.20【解析】：() 设 ,0Fc，由条件知 23c，得 c 又 32ca，所以 a=2， 221ba ,故 E的方程214xy. .6 分（）依题意当 lx轴不合题意，故设直线 l： k，设 12,PxyQ将 2yk代入214y，得 241620x，当 216(3)0，即 23k时， 1,228
19、43k从而 21224PQkxk: 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 11 页 共 12 页又点 O 到直线 PQ 的距离 21dk，所以 OPQ 的面积21432PQSd，设 43kt，则 0， 241OPQtSt，当且仅当 2t， 7等号成立，且满足 0，所以当 OPQ 的面积最大时， l的方程为：7yx或 2yx. 12 分21【解析】：() 函数 ()f的定义域为 0,， 112()lnxxxxabfee由题意可得 (1)2,fe，故 12ab 6 分（）由() 知， lnxxf，从而 ()fx等价于 lnxe设函数 ()lgx，则 ()lg，所以当 10,
20、e时， ()0g，当1,xe时， ()0，故 ()x在 ,单调递减，在 1,e单调递增，从而 ()g在 0,的最小值为 1ge. 8 分设函数 2xhe，则 ()xh，所以当 0,1x时， ()0hx，当1,x时， ()0，故 在 ,单调递增，在 ,单调递减，从而()g在 ,的最小值为 1()e. 综上：当 0x时， ()gxh，即 fx. 12 分22【解析】：.() 由题设知得 A、B、C 、D 四点共圆，所以 D= CBE，由已知得， CBE= E ,所以 D= E 5 分（）设 BCN 中点为，连接 MN,则由 MB=MC,知 MNBC 所以 O 在 MN 上，又 AD 不是 O 的直
21、径，M 为 AD 中点，故 OMAD， 即 MNAD，所以 AD/BC,故 A= CBE， 又 CBE= E，故 A=E由( )（1）知 D=E， 所以ADE 为等边三角形 10 分2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 12 页 共 12 页23【解析】：.() 曲线 C 的参数方程为： 2cos3inxy （ 为参数） ， 直线 l 的普通方程为： 260xy 5 分 （） （2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos,3sin )到 l 的距离为54cos3ind，则 025| si6siPA，其中 为锐角且 4tan3.当 in1时， |PA取得最大值，最大值为 25；当 si时， |取得最小值，最小值为 . 10 分24【解析】：() 由 12abab，得 ，且当 2ab时等号成立，故 334ab:，且当 时等号成立， 的最小值为 2. 5 分（）由 636ab，得 32，又由()知 2ab，二者矛盾，所以不存在 ,ab，使得 成立. 10 分
