1、2012/11/28 1 数学建模引 论 GPS卫星定位的基本数学模型 致谢：本课件主要参考了清华大学白峰杉、中国农业大学 刘峻明等的课件，以及来自百度文库等的部分资料。 History of Navigation ( 导航) Discovery of compass (指南针) One of the greatest FOUR discoveries in ancient China Finding the longitude and latitude (经纬度) Navigation by radio beacons (雷达) GPSglobal positioning system (
2、全球定位系 统) Navigation Satellite Timing and Ranging / GPS ( 导航卫星测时测距 / 全球定位系统) 定位是GPS 的基本 功能 The accuracies of hand-held units could be the order of 10-15 meters! GPS 的广泛应用 GPS 如何 实现定位？ 一个福尔摩斯探案的故事 本故事纯属虚构， 如有雷同，实属巧 合 Big Ben，伦敦 ， 1859年建立 整点报 时， 每4秒1响 广播电台同步 向全英国播报 钟声 一天，一个富家女孩被一伙劫匪绑架， 送往某处藏匿 木制楼梯吱吱响，
3、可能是个旧楼。 该到10楼了吧？ 劫匪打开收音机 听听收音机，缓 解一下紧张 午夜，开始播送 BigBen的报时钟 声，当、当 跟着数羊睡觉吧， 1，2，3， 11，12， 13 ！ 一定是数错了！2012/11/28 2 爸、妈，有人劫持了我，他们索要一百万 英镑，送到指定地点。 我被藏在一幢很旧的房子里，老旧得走楼 梯地板都会吱吱作响！爬了10楼后又听见电 台播放的午夜报时钟声响了13下，我好害怕！ 求求你们照他们的话做，我想回家！ 过了很久, 劫匪要她录音, 以向她爸妈索要赎 金 录音很快被快递送到她爸妈手中 无巧不成书， 大侦探福尔摩斯恰巧是女孩父母的好朋友， 我来搞定它！ Yeah,
4、 I GET IT ! 英国有成千上万的 10层以上的老旧建 筑，她藏哪呢？ 思考中， 请勿打扰 根据福尔摩斯的推 断， 警察如神兵天降， 将女孩 解救 出来 ！ 你们怎 么找 到 这的？ 让我死个明白！ 广播信号：光速传 播，约 300,0 00,000m/s。 钟声：音速传播， 约340m/s。 13响的构成： 第 1响： 来自收音机 第 2-12响：来自Big B en和收音机 第 13响：来自Big B en 从奇怪的13响出发推 断。 福尔摩斯的破案逻辑 推断女孩藏 身 地点 ： 距离Big Ben 足够近的地方（能 听到 钟声 ） 距离Big Ben 约1360m （4s 后听到
5、钟声 ） 1 0 层以上的旧楼2012/11/28 3 很幸运，满足条件 的只有 一个 楼！ 下班后摸彩票去！ 原理： 利用同步发出的信 号达 到接 收信号 地点 的时 间延 迟推算距离。 距离 = 音速 钟声时间延迟量 信号源：Big Ben ，广播（同步发出 ） 接收器：女孩的耳 朵。 广播信号快速到达(光速 ，延 迟时 间可 忽 略) ， 声音信号延迟到达(音速 ）。 卫星信号是电磁波 ， 以光速传播。 卫星距地面很远， 轨道 高度为20200km 。 GPS 定位是以星站 距离 测量 为基础 的， 同 样利用了时间延迟 求算距 离的 方法 。 （星站距离：GPS卫星 到接 收机 的距
6、离 ） 如何求算信号传播时间？ t 0 : 卫星发出码信号 （Big Ben） t 0 : 接收机同步产生相同的码信号 （电台广播复制钟声） t 1 : 接收机接收到卫星信号 （女孩听到Big Ben钟声） t = ？ 伪随机码（ Pseudo Random Noice ）： 以等概率产生0 和1 。 具有良好的自相关性。 编码信号移位后与原信号进行异或运 算，产 生新序 列， 自相关函数R 判定自相关性： R = (N0 - N1) / (N0 + N1) 完全对齐时，R=1，未对齐时，R 0。 GPS 基于电路产生的伪随机码相位对齐方 式实现时间延迟量的计算。2012/11/28 4 11
7、1100010011010 011110001001101 100010011010111 111100010011010 111100010011010 000000000000000 完全对齐： 未对齐：（错开1 位） R = (15 - 0) / (15 + 0) = 1 R = (7 - 8) / (7 + 8) = -1/15 -0.067 接收机接收到GPS 卫星 信号 后，通 过若 干次 移位，最终可与自 身复制 的码对 齐（R=1 ）。 R 复制信号 GPS 信号 GPS信号时间延迟t = 码元宽度tu 移位数 星站距离 = 光速 码元宽度tu 移位数 传输一个bit所需要的时
8、间。 tu=1 / f f是信号传输频率，已知数。 原理： 利用同步发出的信 号达 到接 收机的 时间 延迟 推算 距离。 星站距离 = 光速 GPS 信号时间延迟量 信号源：GPS 卫星 ，接 收机自 身同 步复 制 接收器：接收机自 身。 复制信号快速到达(自身 复制 ，无 延迟) ， GPS 信号延迟到达(光速 ）。 如果距Big B en约1360m的 10层以上旧楼很多 得到了星 站距离后 如何定 位？ 如果有两个Big B en 如果有三个Big B en 2012/11/28 5 黑色 = 可见 红色 = 不可见 绿色 = 视线 总共24颗GPS卫星 。(后 来 增 至 33颗
9、) 地球任意一点可以 看到 5-12颗卫 星 。 任一卫星的瞬时位 置可 根据 星历计 算得 到。 没有三个Big B en，但有很多GPS 卫星 ！ 空间距离 交会法定位 在 太空中 ！ 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x d z z y y x x d z z y y y x d 距离交会法观测方程 (x,y ,z)为待求的接 收机 位置， d为卫星到接收机的 距离 ， (x i ,y i ,z i )为卫星瞬时位置（由 星历 计算 得
10、到 ）。 d1 d2 d3 P1 P2 P3 结论：接收机观测 到3颗以上卫星 即可 实现 定位 。2012/11/28 6 小结 星站距离计算 以码相位对齐测出GPS 信号时 延 以时延计算距离 GPS 定位 空间距离交会法定位 同步观测3 颗以上卫 星 地球任意一点可以 看到5 -12颗卫星 为什么同时用多 于3颗卫 星? 基本假设：数据都 是精确 的！ 不可能！ 误差 （Error） 误差 减小误差的方法很多(如 提高设 备精度); 有些误差可以通过模型改 正或减 小 如 果 三 顆衛星信號 都有相同 的誤差，仍 然可得一 個位置，是 錯誤 的位置 。 接 收 到 第四顆衛星 信號後，
11、第四個球面 與前三個 球面不可能相合一個位置。經過接收端修正後， 可消除誤差 得 到 真實位置。 定位誤差修正： 第四顆衛星的功能 第 四 顆 衛星信號可 糾正信號 誤差，其中 包含時間 的誤差。 接 收 器 端的時間不 一定要與( 铯) 原子 鐘 校正。 因 此 使 用端可用誤 差較大但 較便宜的 石 英振盪器 做時間參考，不需用價格昂貴的原子鐘，使接 收器價位可降低到消費者能接受的程度。 第四顆衛星的功能2012/11/28 7 Example 6 satellites Equations 线性方程组 超定: 最小二乘法(LSM Least Square Method) Solution
12、误差真的减小了吗？误差有多大？ Error Analysis Error Analysis - t - t2012/11/28 8 Error Analysis Error Analysis Further improvement Use equipment with higher accuracy Including more factors into the model By pseudorandom sequences to solve How to send very sharp pulse, so that the arrival time can be very accurate No need of wide bandwidth How to allow all the satellites to transmit on the exactly the same frequency Fourier transformation Integer programming 谢谢！
