1、从课堂到奥数 7 年级1从课堂到奥数 7 年级目 录第 1 讲 有理数和数轴 2第 2 讲 绝对值 5第 3 讲 有理数的运算 8第 4 讲 奇数与偶数 10第 5 讲 代数式 13第 6 讲 整式的概念和整式的加减 16第七讲 一元一次方程的概念和解法 18第 8 讲 一元一次方程的应用（1） 20第 9 讲 一元一次方程的应用（2） 23第 10 讲 立体图形 26第 11 讲 几何图形计数 30第 12 讲 线段和角 34第 13 讲 面积问题和 面积方法 37第 14 讲 相交线和平行线 41第 15 讲 平面直角坐标系 44第 16 讲 三角形的概念 47第 17 讲 多边形的概念
2、50第 18 讲 一次方程组的概念和解法 53第 19 讲 一次方程组的应用 56第 20 讲 一次不定方程 59第 21 讲 数的整除性 62第 22 讲 一元一次不等式（组） 65第 23 讲 一元一次不等式（组）的应用 68第 24 讲 数据的收集 整理与描述 71第 25 讲 探索、猜想与归纳 74从课堂到奥数 7 年级2第 1 讲 有理数和数轴知识方法扫描1. 正数和负数自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示如+5，+78，+2.4 等带有正号的数叫正数；正号通常可以省略。如-65，-78，-92.4 等带有负号的数叫负数；“0”既不
3、是正数，也不是负数。2有理数的分类（1） （2）正 整 数整 数 零 负 整 数有 理 数 正 分 数分 数 负 分 数 正 整 数正 有 理 数 正 分 数有 理 数 零 负 整 数负 有 理 数 负 分 数3. 数轴规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是 0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于 0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数.4相反数只有符号不同的两个数叫互为相反数，
4、其中一个数叫另一个数的相反数，0 的相反数是0. 互为相反数的和为 0，在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.经典例题解析例 1 若 a、b 互为相反数，c,d 互为负倒数, 则(a+b) 1996+(cd)323=_解 因 a、b 互为相反数，故 a+b=0； 因 c,d 互为负倒数， 故 cd = -1，于是(a+b)1996+(cd)323= 01996+(-1)323= -1评注 互为相反数的两数和为 0，互为倒数的两数积为 1，互为负倒数的两数积为-1，解答此类问题要注意从整体考虑。例 2 三个互不相等的数，可以表示成 1，a+b，a 的形式，也可以表示成
5、 0， ， b 的形式，a那么 a+3b= 解 由题意知，a 与 a+b 中必有一个等于 0， b 与 中必有一个等于 1，但显然 a0，故 a+b=0，从而 =1，于是 b=1，这样就有 a=1，aa+3b=2。例 3文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边 20 米处，玩具店位于书店东边 100 米处，小明从书店沿街向东走了 40 米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在 ( )(A)文具店 (B)玩具店(C)文具店西边 40 米 (D)玩具店东-60 米从课堂到奥数 7 年级3解 选（A） 由题意可以画出下图：因为，向东走了-60 米就是向西走了 60 米
6、所以，小明从书店向东走了 40 米，再向西走 60 米，结果是小明的位置在书店西边 20 米，也就是文具店的位置， 例 4 如下图所示，在数轴上有六个点，且 AB=BC=CD=DE=EF，则与点 C 所表示的数量接近的整数是（ ）（A） -1 （B） 0 （C） 1 （D） 2解 选 C。AF 的长度为 11-（-5）=16， 所以每两个相邻的点之间的距离为 ，于是 C 点对应的数为-1655+2 = 。所以与点 C 所表示的数量接近的整数是 1。1652评注：解有关数轴的问题，需要仔细观察点在数轴上的位置，判断点所对应的数的符号，了解不同点所对应的数之间的大小关系和数量关系。例 5 数轴上的
7、点 A，B，C 分别对应数 0，-1，x。 C 与 A 的距离大于 C 与 B 的距离，则（ ）（A） x0 （B） x-1 （C） xCB, 故点 C 在 AB 中点 D 的左侧，而 D 所对应的数是 ，所以 x0 于是,1 ，x| 2|x从课堂到奥数 7 年级6得 4|212xxS|,因为 于是，当| x|=0 时，S 取最大值 4；当| x|=2 时， S 取最小值 3,|0其差为 4-3=1。故填 1。例 5 设 k 是自然数，且 ka+b=0，则 等于（ ）|12|ab（A） 3 （B） 2 （C） 3+ （D）2-k2k解 由 得 显然 k0（否则 b=0, 代数式无意义） ，又
8、k 是自然数，于是,0bka.ak0.所以 |2|1| b |ka(*)|ak当 a0 时，(*)变为3)12()(|)12(|)(|2| kaakka当 a0 即 ,13a(3a-1) 20, |2a+4|0, 2a+40. (3a-1) 2+|2a+4|2a+4, 矛盾：(2)当 3a-10, (3a-1) 20, |2a+4|0=2a+4, (3a-1) 2+|2a+4|2a+4, 矛盾；(3)当 3a-1=0, 即 时, 上式成立. 13a 1.3b ()9aA从课堂到奥数 7 年级7例 7 在 6 张纸片的正面分别写上整数 1,2,3,4,5,6, 打乱次序后, 将纸片翻过来, 在它
9、们的反面也随意分别写上 16 这 6 个整数, 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值, 得到 6 个数, 请你证明: 所得的 6 个数中至少有两个是相同的.证明：设 6 张卡片正面写的数是 a1，a 2，a 3 ,a4 ,a5,a6 , 反面写的数是b1，b 2，b 3 ,b4, b5, b6 , 则 6 张卡片正面写的数与反面写的数的差的绝对值分别为|a 1-b1|，|a -b |，|a -b |，|a -b |，|a 5-b5|，|a 6-b6|设这 6 个数两两不相等，则它们只能取 0，1，2，3，4，5 这 6 个值.于是|a1-b1|+|a -b |+|a -b |+|a
10、-b |+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15是个奇数.另一方面，|a i-bi|与 ai-bi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以|a1-b1|+|a -b |+|a -b |+|a -b |+|a5-b5|+|a6-b6|与（a 1-b1）+(a -b )+(a -b )+(a -b )+(a5-b5)+(a6-b6)= (a1+ a + a + a + a5+ a6)-(b1+ b + b + b + b5+ b6 )=（1+2+3+4+5）-（1+2+3+4+5）= 0的奇偶性相同，是个偶数，矛盾.所以, |a 1-b1|，|a -b |，|a -b
11、 |，|a -b |，|a 5-b5|，|a 6-b6|这 6个数中至少有两个是相同的.例 8 某环形道路上顺次排列着四所中学：A 1,A2,A3,A4.它们顺次有彩电 15 台，8 台，5台，12 台。为使各校的彩电数相同，允许一些学校向相邻中学调出彩电，问应怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？并求出调出彩电的最少总台数。解 设 A1校调往 A2校 x1台（若 x10, 则 a,b _.(5) 若 a2+b2=0,则 a,b _.解 (1) 若 a+b=0,则 a,b 互为相反数；(2) 若 ab=0, 则 a,b 至少有一个等于零；(3) 若ab=1, 则 a,b互为倒数；(4) 若ab0
12、, 则 a,b的符号相同；(5) 若a 2+b2=0, 则 a,b都等于零。评注 用数学语言代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学一项重要的基本功。要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力。例2 浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（ ）（A） （B） （C） （D）()%pnqmpnq%pnq解 浓度为p%的盐水m公斤中含盐mp%公斤，浓度为q%的盐水n公斤中含盐nq%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(mp%+nq%)公斤，所以浓度是 。 故选D。mn例3如图是一个长为a，宽为b的矩形两个阴影图形分别是一对长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一
13、个矩形则矩形中未涂阴影部分的面积为（ ）（A）ab-(a+b)c（B）ab-(a-b)c（C）(a-c)(b-c)（D）(a-c)(b+c)从课堂到奥数 7 年级14ccab解：将图形沿左右、上下平移后，可以得到一个长为(a-c)，宽为 (b-c)的长方形，其面积为(a-c) (b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积。故选 （C）。例 4.a 表示一个两位数，b 表示一个四位数，把 a 放在 b 的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（ ）(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b解依题意，在这个六位数中，a 的个位数字是在万位上，所以这个六位数应
14、表示成10000a+b，选(B)评注：一个 n 位自然数的十进制表示法一般形式，是 12321 010aaan 其中 ai 是一位数字. 有时也根据需要写成 100a+b （b 是两位数）,1000a+b(b 是三位数)等形式例 5 民航规定：旅客可以免费携带 a 千克物品，若超过 a 千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为 b 千克(ba)时，所交费用为 Q=10b-200(元)(1)小明携带了 35 千克物品，质量大于 a 千克，他应交多少费用？(2)小王交了 100 元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量 m（千克）计算，在保证所交费用 Q 不变的情况下，试
15、用 m 表示 Q解 (1)当携带的物品重量 b= 35 千克时，应交的费用为 （元） 150235所以小明应交 159 元(2)设小王携带了 x 千克物品，则解得,102.30因此，小王携带了 30 千克物品(3)已知最多可以免费携带 a 千克物品，则解得,10a.2所以超重部分的质量为 即,2bm.20m故所交费用为 （元） bQ1)0(10例 6. 设多项式 ，已知当 0 时， ；当 时， ，Mdcxa35 x5M3x7M则当 时，求 的值.3x解 由题意，当 0 时， =5，所以 d=5；dcba35当 时， =7，即 ，x35 7)3()()(cba所以， 1235cba当 时， =x
16、 17235 例 7 如果 , 那么 的值为 . 20a解法 1 a 2+a=1, 于是我们有33222()()13.aa 从课堂到奥数 7 年级15解法 2 a 2=1-a,于是有322()(1) 4(1)43.aaaa评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法, 这两种方法在整式恒等变形中常用. 例 8 如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为 3 个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字 0、1、2）：先使原点与圆周上 0 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、所对应的点重合。这样，正
17、半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字 2 所对应的位置，这个整数（用含 n 的代数式表示）是_。解 3n+2 由题意知，正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系是：当正半轴上的整数是 3 的倍数时，对应着圆周上数字 0；当正半轴上的整数被 3 除余 1 时，对应着圆周上数字 1；当正半轴上的整数被 3 除余 2 时，对应着圆周上数字 2。所以数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字 2 所对应的位置，这个整数（用含 n 的代数式表示）是 3n+2。从课堂到奥数 7 年级16
18、第 6 讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式2单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3 多项式几个单项式的和叫做多项式在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数.把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列叫做降（或升）幂排列法整式的加减1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项2合并同类项：把多项式
19、中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项整式的加减实际就是合并同类项。3. 灵活地去（添）括号括号前面去掉（或添上） “+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉（或添上） “-”号，括号里各项都变号，若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例 1 同时都含有字母 a，b，c，且系数为 1 的 7 次单项式共有( )(A)4 个 (B) 12 个 (C) 15 个 (D) 25 个解：设满足条件的单项式为 的
20、形式，其中 m、n、p 为自然数，且 m+n+p=7指数pnmm，n，p 只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3所以满足条件的单项式有 ;,;34255 cbacbabc ;,2424cba总计有 15 个故选（D）.,;,33acbcab例 2在多项式 （其中 m，n 为正整数）中，恰有两项4212319mnmnnmyxvuyxvu是同类项，则 mn= 解 若 与 是同类项，则 m=0，n=0，与已知条件矛盾。故只有 与323 nmyx3为同类项，于是 m=n-1 且 n=4m-4,解得：m=5,n=6,于是 mn=30421mnyx例 3 已知有如下一组
21、 x, y, 和 z 的单项式： 232242323117 8 39 9 0.5zxyzxyxyzyz， ， ， ， ， ， ， ， ，我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看 x 的次幂，规定 x 幂次高的单项式排在从课堂到奥数 7 年级17x 幂次低的单项式的前面；再先看 y 的次幂，规定 y 幂次高的单项式排在 y 幂次低的单项式的前面；再先看 z 的次幂，规定 z 幂次高的单项式排在 z 幂次低的单项式的前面。将这组单项式按上述法则排序，那么， 应排在第 位。39解：将这组单项式按上述法则排序， , , , , , , , x48237zx39zx21zy23xz51,
22、 ， . 所以 应排在第 8 位zy39230z39yz例 4小敏购买 4 种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 品名件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数第一次购件数 1 3 4 5 78第二次购件数 1 5 7 9 98则 4 种数学用品各买一件共需_元. 解 设计算器、圆规、三角板、量角器每件价分别为 x,y,z,u 元，则有x+3y+4z+5u=78 (1)x+5y+7z+9u=98 (2)(1)2-(2)得 x+y+z+u=58, 即 4 种数学用品各买一件共需 58 元。例 5 已知关于 x 的整系数二次三项式 ax2+bx+c，当 x 取 1，3，
23、6，8 时，某同学算得这个二次三项式的值分别是 1，5，25，50。经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（ ）（A）x=1 时 y=1 （B）x=3 时 y=5 （C）x=6 时 y=25 （D）x=8 时 y=50解 若四式成立,则有: 1()935263480(4)abc(3)-(2), 得 : 27a+6b=20, 此式左边是 3 的倍数,而右边不是 3 的倍数,所以在(2),(3)两式中必有一式错误;,(4)-(3), 得 8a+2b=25, 此式左边是偶数,而右边不是偶数,所以在(3),(4)两式中也必有一式错误. 所以(3) 式错误.故应选 C。例 6 (I) x,y 均为整
24、数, 若 5(x+9y),求证: 5(8x+7y).(II) x,y,z 均为整数,若 11(7x+2y-5z), 求证: 11(3x-7y+12z).(注：a|b 表示整数 b 能被整数 a 整除)证明 （I）因为 5(x+9y), 故 5(2x+18y)，又显然 5(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y)- (2x+18y)，所以 5(8x+7y).（II） 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 1111(3x-2y+3z)， 且 11(7x+2y-5z) 114(3x-7y+12z)又 11 和 4 互质， 11(3x-7y+12z)例
25、 7 一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后二个数字表示的两位数的和能被 11 整除，判断这个五位数能否被 11 整除，并说明理由。解 设这个五位数为 N，它的前三个数字为 a, 后二个数字为 b, 由已知有 a+b=11k(k 是整数)从而，N=100a+b=99a+a+b=99a+11k=11(9a+k)，所以这个五位数能被 11 整除例 8 设 是一个三位数， a3a1，由 减去 得一个三位数 ，证明：123a123321a123b从课堂到奥数 7 年级18+ =1089123b32解 设： - = 由于 a3a1，所以可得：a321123bb1 = (10+a1) - a3 b2 =
26、 (10+a2 - 1) - a2 = 9 b3 = (a3 -1) - a1 + 得： b1 +b3 = 9 + =100(b1 +b3)+10 (b2 +b2)+( b1 +b3)=1009+209+9=1089232第七讲 一元一次方程的概念和解法知识方法扫描1、含有未知数的等式叫方程。含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程称为一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为 ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的最简形式。2、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式 ax=b；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程
27、的解。3、使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫做方程的根。4、最简方程 ax=b 解的情况：（1）当 a0 时，方程是一元一次方程，它有唯一解 ;bxa（2）当 a=b=0 时，方程的解为任意数；（3）当 a=0，b0 时，方程无解。 5、含有参变量的方程、含绝对值符号的方程在求解时往往需分类讨论， 经典例题解析例 1 解方程 0.38.02.30.8.415xxx解: 运用分数的基本性质，可得 53)()5.(.1)( 将原方程化为 38421xx去分母，得 9x+24-x-30=4x-2移项，合并得： 4x=4, 于是，x=1。例 2 已知 ，且 ，则 x-a-b-c= .
28、3bacxacbx 10bc解：由已知得 (1)()()xa即 xaxcxcc于是 1()()0abb因 ， 故 x-a-b-c=00ac例 3 已知关于的方程 和 有相同的解，那么这个解是 32()4xx31528ax从课堂到奥数 7 年级19。解 由方程 解得xax4)3(2.2a由方程 解得18511由已知得 ,27所以 ，a287ax例 4 是关于 x 的一元一次方程，且 x 有唯一解，则 x= .0)3(2b解 因为原方程 是关于 x 的一元一次方程，所以 3a+2b=0 (否则它是二次方程).原方程为 ax+b=0.又 x 有唯一解，故 a0,于是 ,原方程为 ,解得a23023a
29、.23x例 5. 已知关于 x 的方程 a(3x 十 2)+b（-2x+3）=5x+ 12 有无穷多个解，那么 a=_ ，b=_解 整理原方程得(3a-2b-5)x=12-2a-3b.因方程有无穷多个解，.0321,5ba解得 a=3，b=2例 6. 定义 则方程 的解是 ),7(*)8(*23x解：由定义可知 3x .18)7所以 ,18解这个方程得 例 7 方程 的解是 5|1|x分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令 x-1=0,x-5=0，分别得 x=1,x=5.1,5 将全部实数分成 3 段： 或 或 然后在每一段上去绝对值符号解方程，求出每一段,x上的解，将它们合并，便得到原方
30、程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=1，x=5叫做零点.解：若 则,1x.05,此时原方程化为 ,x21若 则,5,x此时原方程化为 即-1=0，矛盾，说明 时原方程无解,1 51x若 则 05此时原方程化为 ,215x所以 和 都是原方程的解。2x例 8 满足方程 2 006 的所有 x 的和为( ) |81|06|解 )1(.|即 9|x从课堂到奥数 7 年级20因为 .198|206|1x所以由(2)得 )3(,|即 )4(.|由(4)得 或,0即原方程有两个解，所有解的和是 .4012)926()19206( 第 8 讲 一元一次方程的应用（1）知识方法扫描应用题是数学竞赛题中
31、的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力,增强应用数学意识,培养学生分析解决问题的能力、逻辑思维能力和创造能力的好素材。解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映实世界的实际问题转化为数学问题目来解决，不要局限于几种题型。1、直接设未知数。 应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和末知，紧抓题目中的等量关系，直接设末知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题。2、设间接未知数。 有些应用题，直接设末知数不易求解，则可以采取间接设末知数的方法。即所设的不是所求的，但与所求的末知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的末知量，这样可
32、以使解题更加方便。3、设辅助未知数。 应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题目。辅助末知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“设而不求” 。4、图形、表格分析法。有些复杂的应用题，已知量、末知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、末知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题。5、整体思想。若把几个未知量看作一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简和目的。经典例题解析例
33、 1.一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程工作量是乙工程工作量的两倍。前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作。一个月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量。如果每个工人的工作效率都相同，问这个工程队有多少工人？解. 设这个工程队有 x 个人，每个人每月的工作量为 1，则甲工地工作量为 ，而12x乙工地工作量为 。12依题意，得 ， 解得 x=8。()4答：这个工程队有 8 个工人。从课堂到奥数 7 年级21例 2某人走进一家商店，进门付 1 角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店又付 1 角钱，之后
34、，他走进第二家商店付 1 角钱，在店里花掉当时手中钱的一半，走出商店付 1 角钱，他又走进第三家商店付 1 角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付 1角钱，最后，他走进第四家商店付 1 角钱，在店里花掉当时他手中钱韵一半，出店付 1 角钱，这时他一分钱也没有了，该人原有钱的数目是 角解.设该人原有钱 x 角，他在进第二家商店前花掉了 角，剩下2x31角；他在进第三家商店前花掉了 角，剩下23x 49)(3x角；进第四家商店前剩下 角，因在第四家商店后一分钱也不剩了，故49821x,81281xx解得 （角） 5评注：本题可以逆推出结果，因在第四家商店购物花掉当时的一半钱后，只剩一角钱，故在
35、进第四家商店前只剩 1+21=3 角钱，依此逆推得结果，例 3. 一罐咖啡甲乙两人一起喝 10 天喝完，甲单独喝则需 12 天喝完；一斤茶叶两人一起喝12 天喝完，乙单独喝则需 20 天喝完。假设甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶。问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 设乙单独喝咖啡要 x 天喝完，甲单独喝茶要 y 天喝完,则有 ， 。120x12y解得 x=60,y=30.故 30 天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要 5 天喝完，故共需35 天。例 4. 中学生运动会五羊赛区男女运动员比例为 19：12。组委会决定增加女子艺术体
36、操项目，这样男女运动员比例变为 20：13；后来又决定增加男子象棋项目，于是这个比例再变为30：19。已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多 30 人，那么最后运动员总人数为（ ）（A）7000 （B）6860 （C） 6615 （D）6370解 男女运动员比例从 19：12=380：240 变为 20：13=380：247；再变为30：19=390：247，于是可设男运动员原有 380x 人，女运动员原有 240x 人；那么最后男女运动员人数变为 390x 人和 247x 人,依题意得（390x-380x）- ( 247x-240x) = 30解得 x=10,所以最后运动员总人数为（390
37、+247）10=6370故选 D。例 5 在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为 20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐水浓度变为 %那么原来盐水浓度为( 31)(A)23% (B)25% (C)30% (D)32%解设原盐水重量为 a，浓度为 x，则原盐水含盐量为 ax，并设“一杯水”的重量为 b，原盐水加入“一杯水”后，浓度为 依题意得： 即,ba,102bax从课堂到奥数 7 年级2251bax第二次是在新盐水中加盐，所加盐的重量为 b，这时，浓度为 %,31bax32x由得， ,5ba由得 bax43, 代人式， 1,4xb例 6 10 入围
38、成一圈，每个人心里想个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示，问亮 5 的人心中想的数是多少？ 分析 本题中的等量关系为：亮 5 的人心中想的数十亮 13 的人心中想的数=142解：设亮 5 的人心中想的数是 x，那么 亮 7 的人心中想的数+6）= 6 （21则亮 7 的人心中想的数=62-x，即为 12-x以此类推，亮 9 的人心中想的数是 82-(12-x)，即为 4+x；亮 11 的人心中想的数是 102-(4+x)，即为 16 -x;亮 13 的人心中想的数是 122-（16-x） ，即为 8+x，依等量关系列方程为： .1
39、42)8(x解得 x=l0.答：亮 5 的人心中想着的数是 10.例 7 有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用 24 部 A 型抽水机 6 天可抽干池水,若用 21 部 A 型抽水机 8 天可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,至多只能用几部抽水机抽水?解. 设满池水为 v 升,每天泉水产生 a 升,用 n 部 A 型抽水机,则 ,解得 a=0 821400av,每天每部抽水机的抽水量为 升,因而 即至多只能用 12 部抽水机60v720v126720v抽水。例 8 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10 小时装卸
40、完毕。现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔 （整数）小时增加一个人干，t每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的 .14从课堂到奥数 7 年级23问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？解（1）设装卸工作需 小时完成，则第一人干了 小时，最后一个人干了 小时，两人共xx4x干活 小时，平均每人干活 小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与()4x1()24x倒数第三人，平均每人干活的时间也是 小时。据题设，得 ，解得()x1()02x（小时）.16x（2）共有 人参加装卸工作，由于每隔 小时增加一人，
41、因此最后一人比第一人少干yt小时，按题意，得 ，即 . 解此不定方程得 ，()t116()64y()12yt21yt， ， ， ， 即参加的人数 或 3 或 4 或 5 或 7 或 13.36t4t53t72t3t第 9 讲 一元一次方程的应用（2）知识方法扫描行程问题是应用问题中常见而又重要的一类，它大体可以分为以下几类：追及相遇问题（包括时钟问题） ，顺流逆流问题，环行问题等，其基本关系式是：速度时间=路程。在解答行程问题时，灵活地应用比例关系（即时间一定，路程与速度成正比例；路程一定，时间与速度成反比例；速度一定，路程与时间成正比例）常可得到简洁的解法。经典例题解析例 1甲、乙两同学从
42、400 米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒 2 米和每秒 3 米的速度慢跑 6s 钟后，一只小狗从甲处以每秒 6m 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒 6 m 的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇那么小狗共跑了 米.解 设甲、乙同学跑了 x s，则小狗跑了（x-6）s2(x-6)+3(x-6) = 400-26-36解得 x=80小狗跑了 x-6=80 - 6 = 74(s), 小狗共跑了 74 6 = 444(m).例 2 一辆汽车在上坡路上行驶的速度是 40 千米每小时, 在下坡路上行驶的速度是 50 千米每小时, 在平路上行驶的速度是每小时 45 千米. 某日这辆车从甲地
43、开往乙地, 先是用了的时间走上坡路, 然后用了 的时间走下坡路, 最后用了 的时间走平路. 已知汽车从乙131313地按原路返回甲地时, 比从甲地开往乙地所用的时间 多 15 分钟, 那么甲、乙两地的距离为 千米. 解：设这辆汽车从甲地开往乙地共用 3t 时间, 依题意得40513,4tt.8+12=tt t=5(小时).05., 甲、乙两地距离 405+455+505200+225+250+675(千米). 例 3 公共汽车每隔 x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔 6 分钟开过来一辆公共汽车，而每隔 分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是724从课堂到奥数
44、 7 年级24均匀的，则 x 等于 分钟。分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为 a 米/每秒，小宏速度为 b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面 ax 米处，它用 6 分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面 ax 米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。724解：设汽车速度为 a 米/秒，小宏速度为 b 米/秒，根据题意得)(6bax两式相减得 12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画
45、出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例 4 一条船航行于 A，B 两码头之间，顺流行驶 40 分钟还差 4 千米到达；逆流行驶需 小13时到达。已知逆流速度每小时 12 千米，求船在静水中的速度。解： 设顺流速度为每小时 x 千米，依题意得方程 ，x=18，故船在静水中的2123x速度为（18+12）2=15（千米/时）评注： 顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。例 5 一游泳者沿河逆流而上，于 A 处将携带物品（可漂浮）遗失，在继续前游 30 分钟后发现物品遗失，即刻返回顺游，距 A 处 3 千米时在 B 处将物品追回，问此河水流速度是多少？解： 设水流速度为
46、 v 千米小时，游泳者的速度为 x 千米小时，则游泳者在开始返回时，物品离 A 处 千米，游泳者从开始返回到游到 B 处游了 千米，而物品漂浮了21 )213(千米，于是)3(vvx213)(3所以 ， ， .21vx x3v所以河水流速是 3 千米小时另解：把小河水流看作不动的，则物品是静止的，游泳者的速度就是不变的，这样，游泳者遗失物品时到发现物品时游的距离就等于发现物品时列追回物品时游的距离，从而游这两个距离所用时间相等，都是 小时，所以物品就漂浮了 l 小时，由题设，物品 l 小时漂浮了 321千米，从而水流速度为 3 千米小时，例 6 甲乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时
47、从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3，乙跑第二圈时速度提高了 1/5,已知甲乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米。问：这条椭圆形跑道长多少米？解：设跑道长 s 米，甲第一圈的速度是每分钟 v 米，则乙第一圈速度为(2/3)v,甲第二圈速度为 v,乙第二圈速度为 。43214()35v从课堂到奥数 7 年级25两人第一次相遇时，甲跑 ，乙跑 ，乙跑完第一圈时甲跑完一圈多325s2s，第二次相遇处甲距出发点12433svs4183注意甲跑第二圈的方向和第一圈相反，所以两次相遇的地点相差（如图） 190853s从而 s=400(米)例 7 上午 9 点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（ ）（A）9 时 30 分 （B）10 时 5 分 （C）10 时 分 （D）9 时 分518321分析与解 时钟问题实际是行程问题中的追及问题，分针每分钟转 6，而时针每分钟转 21。设 9 时 x
