1、 1 / 72018 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1不等式 的解集为_|1x2计算： _3lim2n3设集合 ， ，则 _|0Ax|1BxAB4若复数 （ 是虚数单位） ，则 _1zi 2z5已知 是等差数列，若 ，则 _na280a357a6已知平面上动点 到两个定点 和 的距离之和等于 4，则动点 的轨迹为P(1,),)P_7如图，在长方形 中， ， ， ， 是 的1BACD3ABC15AO1AC中点，则三棱锥 的体积为_O第 7 题图 第 12 题图8某校组队参加辩
2、论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、 四辩若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_9设 ，若 与 的二项展开式中的常数项相等，则aR92x92ax_10设 ，若 是关于 的方程 的一个虚根，则 的取值范围mzx220mx|z是_2 / 711设 ，函数 ， ，若函数 与0a()2(1)sin(fxxa(0,1)x21yx的图象有且仅有两个不同的公共点，则 的取值范围是_()yfx12如图，正方形 的边长为 20 米，圆 的半径为 1 米，圆心是正方形的中心，点ABCDO、 分别在线段 、 上，若线段 与圆 有公共点，则称点 在点 的PQPQQP“盲 区”中
3、已知点 以 15 米/ 秒的速度从 出发向 移动，同时，点 以 1 米/秒的速AD度 从 出发向 移动，则在点 从 移动到 的过程中，点 在点 的盲区中的时长CB约 为_秒（精确到 01）二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13下列函数中，为偶函数的是（ ）（A） （B）2yx13yx（C） （D ）114如图，在直三棱柱 的棱所在的直线中，与直线1ABC1BC异面的直线条数为（ ）（A）1 （B）2（C）3 （D ）415记 为数列 的前 项和 “ 是递增数列”是“ 为递增数列”的（ ）nSnananS（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D
4、）既非充分也非必要条件16已知 、 为平面上的两个定点，且 该平面上的动线段 的端点 、B|2APQ， 满足 ， ， ，则动线段 所形成图形的面积Q|5AP6BQP为（ ） （A）36 （B） 60 （C）81 （D）108三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分，第 1719 题每题 14 分，20 题 16分，21 题 18 分）3 / 717 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知 cosyx（1）若 ，且 ，求 的值；3()f0,()3f（2）求函数 的最小值2)(yfxf18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满
5、分 8 分）已知 ，双曲线 aR2:xya（1）若点 在 上，求 的焦点坐标；(2,)（2）若 ，直线 与 相交于 、 两点，且线段 中点的横坐标为a1ykxABAB1，求实数 的值k19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图 1 所示，图 2 是投影出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯的直观图，在图 2 与图 3 中，点 、 、 在抛物线OAB上， 是抛物线的对称轴， 于 ， 米， 米OCOCAB4.5C（1）求抛物线的
6、焦点到准线的距离；（2）在图 3 中，已知 平行于圆锥的母线 ， 、 是圆锥底面的直径，求SDABE圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 001） 图 1 图 2 图 34 / 720 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）设 ，函数 0a()xfxa（1）若 ，求 的反函数 ；1()f（2）求函数 的最大值（用 表示） ；()yfx a（3）设 若对任意 ， 恒成立，求()1g(,0x)(0gx的取值范围a21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分）若 是递增数列，数列
7、满足：对任意 ，存在 ，使得ncna*nN*m，则称 是 的“分隔数列”10mnanc（1）设 ， ，证明：数列 是 的“分隔数列”；2c1nanac（2）设 ， 是 的前 项和， ，判断数列 是否是数列4nSnc31dnS的分隔数列，并说明理由；nd（3）设 ， 是 的前 项和，若数列 是 的分隔数列，求实数1ncaqTncnTc、 的取值范围aq5 / 7参考答案一、填空题1 23 3 42 515(,)(1,)(0,1)6 75 8180 94 10243xy 3(,)11 19(,提示： 12(1)sin(12()sin(si()2xxaxxax77,2,4,666a0x112 4.提
8、示：以 为原点建立坐标系，设时刻为 ，则At 40(0,1.5)(2,0),3PtQt则 ，化简得01.5:2PQxytl(8)xy点 到直线 PQ 的距离 ，化简得(1,)O23|1|1()tt231680t即 ，则878733t878704.tt二、选择题13A 14C 15D16B提示：建系 ，则 的轨迹为线段 ， 扫过的三角(0,)2,B(,)Pxy3,4xyAP形面积为 12，则利用相似三角形可知 扫过的面积为 48，因此和为 60AQ三、解答题17 （1） ；（2）636 / 718 （1） ；（2） (3,0)5119 （1） ；（2） 49.20 （1） ；（2） （ 时取最值
9、） ；12()log(01)xfx21maxy0x（3） 0,提示： 12()123xxxaaa2,(0,)3xtat因为-a0，所以当 x=0,t=1 时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时22102tta21 （1）证明：存在 ,此时 证毕mn* 1,22nmncacN（2）不是反例： 时， 无解；4（3） 0aq提示：因为 为递增数列，因此 或者1n 01aq1q当 时， ，因此0aq*,ncN32123Tc 因此不存在 ，不合题意。23mcT当 时，01aq1mnnnqc111()()()()nmnnmnn nqqq 两边同时取对数得： 11log()log()q qn n7 / 7记 1()log(),0qxfx则 1()nfmnf下面分析函数 的取值范围：(1),显然 时， 为减函数，q1log(),0qxfx因此 ，即()(0ffl()1qf()当 时， ，因此总有2qlog1)q0()nf此时 1()+0nfn因此总存在 符合条件，使得 成立m1()()fnmnf()当 时， ， 根据零点存在定理，并结合 的单减性可知：12qlog()0qx存在唯一正整数 使得k()ffk此时 ()1f即 1()()kfkmkf显然不存在满足条件的正整数综上： 0,2aq
