1、第十九讲 不定方程我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制（整数、正整数）的方程（组）称之为不定方程（组） 。通 常不定方程（组）问题有三种类型：（1）判断不定方程（组）是否有解；（2）求不定方程（组）的解；（3）计算不定方程（组）的解的个数。本讲主要学习二元一次不定方程（组） 、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问题的一些常用知识和方法。A 类例题例 1求不定方程 11x+15y=7 的整数解。分析 注意 到(11,15)=1，则存在惟一的一对整数 u，v，使得 11u+15 v=1，x=7u、y =7v 就是方程的一组特解，整数 u，v 可以通过观察试验得到，也可以用转辗
2、相除法求得。若 t 是整数，则 x=7u+15t，y=7 v11t 也是方程的解。可以证明方程11x+15y=7 的每一个整数解都能化为这种形式，x= 7u+15t，y=7v11 t，(tZ)是方程的一般解，称为通解。解 (11,15) | 7, 方程有解。15=11 1+4，11=42+3，4=31+1 。 11(-4)+153=1,即 11(-28)+1521=7,故方程的解为： （t 为任意整数） 。.12,58yx说明 求不定方程 ax+by=c 的整数解，先看(a，b) | c 是否成立，不成立则方程无整数解，成立则可以先求方程的一组特解，然后写出方程的通解。来源:Zxxk.Com例
3、 2求不定方程 2x+3y+5z=15 的正整数解。来源:Zxxk.Com分析 比例 1 的方程多一个未知数，可以判断方程有整数解，若求方程的整数解，可以考虑令 w=2x+3y，先求不定方程 w+5z=15 的整数解，再把 w 的每一个值代入 2x+3y = w 求解方程。一般情况可以参考链接。但这里求的是方程的正整数解，x，y，z 的可取值范围较小，如 z 只能取 1、2 两个值，可先考虑范围后讨论求解。 解 因为(2,3,5)=1，所以方程有整数解。令 u=x+2z,得 2u+3y+z=15,故 z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中 u,y 是任意整数，且 x0,z0
4、,即 5u+6y-300,15-2u-3y0,由上述两式消去 u 得：-3 y+150,从而 0b0,a,b 一奇一偶，( a,b)=1，使得（不妨设 y 是偶数）：x=a2b 2，y=2ab，z= a2+b2。由于 错误！未定义书签。 xy =(a-b)(a+b)ab 是平方数，而知 a-b,a+b,a,b12 （ ， ）两两互素，故它们都是平方数，即：a=p 2，b=q 2，a+b=u 2，ab=v 2。所以 u2v 2=2q2，即(u v)( u+v)= 2q2。因 u,v 是奇数，易知( uv，u +v)= 2，于是 uv 和 u+v 中有一个是 2r2，另一个是(2s)2，而 q2=
5、4r2s2。另一方面，由 a=p2，b=q 2，a +b=u2，a b=v 2 得：p 2= a= ( u2+v2)= ( u+v)12 142+( uv) 2= (2r2)2+(2s)4= r4+ s4。14所以，以 r2，2 s2，p 为边的三角形都是直角三角形，其面积等于 r22s2 是平方数，12但 (rs)2= = (a 2b 2)ab = 错误！未定义书签。 xy，q24 b4 12 （ ， ）于是构造出一个面积更小的勾股三角形，矛盾！例 12a 是一个给定的整数，当 a 为何值时，x，y 的方程 y3+1=a(xy1) 有正整数解？在有正整数解时，求解该不定方程。分析 分类讨论解
6、 若有质数 p | x3、p | xy1,则 p | x,从而 p | 1，矛盾。所以(x 3，xy1)=1 。所以xy1 | y3+1,当且仅当 xy1 | x3(y3+1)。因为 x3(y3+1)= (x3y31) + (x3+1)，显然 xy1 | x3y31,来源:学13,2y;0,4;7,6y;4,.,y当 z=2 时，原方程变为：3x+2y=24, 即 y= .23x故方程有 3 组正整数解： ;9,2yx;6,.,y当 z=3 时，原方程变为：3x+2y=16, 即 y .31x故方程有 2 组正整数解： ;5,2x.2,4当 z=4 时，原方程变为：3x+2y=8,即 y .3
7、8x故方程有 1 组正整数解： .1,2x故原方程有 11 组正整数解(见下表所列):x 2 4 6 8 10 2 4 6 2 4 2y 13 10 7 4 1 9 6 3 5 2 1z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 49略证：令 u= ,由 5a7b0 知，v=b-5u 只能是 0，1 ，2，3，4 中的一个.由条件5ba-7u .75vu当 v=0 时，取 y=z=0,x=a-7u,则 ;057vx当 v=1 时，取 y=1,z=0,x=a-7u-2,则 ;0,1257xx即当 v=2 时，取 y=0,z=1,x=a-7u-3,则 34即当 v=3 时，取 y=z=1,x=a-7
8、u-5,则 ;,xx即当 v=4 时，取 y=0,z=2,x=a-7u-6,则 .016528即10解：存在这样的正整数。易知(x,y,z,u,v)=(1,2,3,4,5)是原方程的正整数解。一般地，设(x,y,z,u,v)是原方程的正整数解，并且 xyzuv.则将原方程视为关于 x 的一元二次方程，可知(yzuv-x,y,z,u,v)也是原方程的正整数解，由对称性可知：(y,z,u,v,yzuv-x) 也是解，并且满足条件 yzuvyzuv-x.依此递推方式，可得原方程的无穷多组正整数解，并且后一步构造的解中，最小的数比前一组中最小的数大。故存在满足条件的正整数解。11解：显然 x=1,y=
9、1 是原方程的解，若 x 1,则 y 1。因为 1(mod4), ,1- ,x5)4(mod)13yy)4(od21(y所以 y=2 +1 是奇数（ ） 。1N因为 ，所以 。)9(od03y )9(25x因为 ，od,od1,556所以 ，正整数 x 为 6q+5 形式的整数。)(m256q因为 ，所以 ，7)6 )7(m3)2(55而 ，7(od33112yy故对任意不为 1 的正整数 x,y， 2(mod7)。此时原方程无解。yx5综上，原方程只有一组正整数解：（1，1） 。备选题12、求方程 xm=22n+1+2n+1 的三元正整数解 (x,m,n)。 （2003 年土耳其数学奥林匹克）13、证明：不存在一对正整数 x，y 满足方程 3y2=x4+x。 （2004 年韩国数学奥林匹克）14、已知 x，y 是质数。求不定方程 xyy xxy 219 的解。 （2004 年巴尔干数学奥林匹克）15、求有多少个正整数对（m，n ） ，使得 7m+3n=102004，且 m 整除 n。 （2004 年日本数学奥林匹克）学科网w。w-w*k&s%5￥u学科网w。w-w*k&s%5￥u
