1、第六章 散射 6.1 两体碰撞和散射截面 两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。如果两个粒子的内部状态在碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离），则称为非弹性散射。如果碰撞后有新粒子出现，则称为反应。非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。单粒子的衰变也可属于反应。粒子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。例如，贞瑟福（Rutherford）由对 X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。又如，电子与原子碰撞的夫兰克赫兹（Franc
2、k-Herty）实验证明了原子中有定态。 两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系的势能仅由相互作用能 决定。由2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为()Urr 的粒子在一个固定于质心位置的势场 中运动。这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为靶心。这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。这个粒子的能量 E 是连续谱，在弹性散射中，能量 E 在散射过程中保持不变。为了简单，设耙心质量比位于()Urrrr处的粒子质量大得多，则这个具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量 E 便化为这个真实粒子的能量。 考虑一束粒子沿 Z轴正
3、方向向散射中心 C射束，如下图： 在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写，所以穿过垂直于 Z 轴平面的 射粒子是均匀分布的。单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒子数 N 称为入射粒子流强度。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。设以 C点为球心以 r 为半径的球面上的面积元 ds 对C 点张开的立体角为 d ，则单位时间内散射到 d 内的粒子数 dn应与 d 成正比，也与 N 成正比： (, )dn q Nd = （6.1-1） 其中 (, )q 为比例系数。 (, )q 通常是 , 的函数，它的值与入射粒子的能量 E 以及势场有关，
4、但应与 N 无关。因()Urr2dSdnr= ，则上式可化为： 2(, )dn qds r = （6.1-2） 153上式中的dnds与 N 应具有相同的量纲，所以 (, )q 具有面积的量纲。 (, )q 称为微分散射截面。进入立体角 d 内的粒子数 dn来自入射粒子流，如果取垂直入射粒子前进方向的面积 dQ，使单位时间内穿过 dQ 的粒子数 NdQ等于 dn，则（6.1-1）式化为： (, )dQ q = ，即 (, )dQqd =（6.1-3） 由上式得： 200(, ) (, )siQq d q mdd = （6.1-4） Q 称为总散射截面。 上面关于微分散射截面和总散射截面的定义在
5、量子力学中和在经典力学中都同样适用。但量子力学中存在几率概念，每一个入射粒子都具有相同的被散射的几率。经典力学中不存在几率概念，但可引入瞄准距离的概念，均匀分布的入射粒子在进入势场前都各有一条平行于 Z 轴的轨道，此轨道与 Z 轴之间的距离（也是与散射中心之间的距离）称为瞄准距离，记为 b。当粒子被一个以 C 点为球心半径为 a 的刚性球散射时，只有 bU 区域内的解也称为振荡解，在 E0，则在 内波的振荡次数将减少，相当于Or 0l 。设 U（r）既有正值区间又有负值区间，则l 的大小与正负与入射粒子的能量 E 有关。由（6.2-12）式可知，入射波中第 l 个分波的径向波函数为 ()lj
6、kr ，其中22 EKh= 。在此分波中，入射粒子的径向几率分布为 ，而 的极大值位置将随22()lrj kr22()lrj kr160E 的变化而在 U（r）中移动，从而使得l 的大小和正负都可能发生变化。 设势场 U（r）的作用半径为 a，即当 ra 时，U（r）等于零或可近似地视为零，则入射波仅在ra，则 ()lj kr 的第一个极大值位于势场作用范围之外，则对 lka 的各分波都有 0l 。所以计算相移l 时，只要从 0l = 计算到 l 就够了，即 l 的取值范围为： kanulllka （6.2-20） 将最近 ka 的整数记为ka，则（6.2-5）式、 （6.2-16）式以及（6
7、.2-18）式中对 l 的求和上限便可改为ka，在 中只保留 l=0 一项的条件是l1kaa（6.3-1） 161其中 ，对 S分波，l=0。当 r()() ()olOOUrRr Rrr= ，则（6.2-3）式化为：2200120ldUUdr+=，得满足 的解为： 01(0) 0U =01 002() sin2( )Ur B rE Uh=+=（6.3-2） 当 ra 时，记22()() ()oOOUrRr R rr=，则（6.2-3）式化为：22020220dUkUdr+ = ，得： 02 02() sin( )2oUr A krEKh=+=（6.3-3） 当 r 时，将2()oUrr与（6.
8、2-6）式比较可知，上式中的0 就是S分波的相移。对于球方势阱，0 不可能为负值。U O（r）在r=a点的连续性条件为： 00sin sin( )cos cos( )ooBaAkaBaAkka=+（6.3-4） 由 可得： 22sin ( ) cos ( ) 1ooka ka+ +=22001cosoAUaBE=+（6.3-5） 上式是20oAB随E变化的关系式，20oAB有多个极值。在（6.3-4）式中，B 0与A 0有非零解的条件为： 00sin sin( )0cos cos( )akaakka +=+，得： 0karctg tg a ka= （6.3-6） 当 时，E k ，则0O0 。
9、一般说来，若U （r） 处处有限，则当 E 时，总有00O 。l 是E的函数， 所以可记为 ()lE ， ()lE 应是E的连续函数。 当E 0时， K0，00 22 UKh = 。162在上式中，若K 0a不是2的奇数倍，则当K 0时，ktg a的值很小，则由00arctgxx x n +uuuuuur得： 00000010,1, 2ktg aka nann + =L（6.3-7） 通常所说的低能散射是指满足 1ka=+当 足够小和 足够大时都有:（6.3-10） 163当l=0时， （6.3-9）式化为： 20011(0) sin ( )2ono= 对于球方势阱， 当l=0时， 由求解束缚
10、态的化径向方程可得：若2oKaa（6.3-11） 上式相当于将（6.3-1）式中的U O改为-U，对于EU o时的S分波，可以仿照上面对球方势阱的计算进行讨论，只要将球方势阱中的U o改为-U o并注意到EU o即可。对于低能散射， 应考虑E （6.3-12） 根据 在 r=a点的连续性条件可得 S分波的相移()oUr0 为： 0karctg th a ka= （6.3-13） 上式中， 1th aa时， ()f 在上半平面内的奇点为：ki =+ ，注意到 ，且： 10r 0()()ki ki +则根据柯西（Cauchy）留数定理和约当（Jordan）引理得： 1 ()()ik rkedkkk
11、ikki +2 i= ()f 在上半平面内各奇点的留数和 1()lim1() ()()2ik i resRfk i k i f eki+= + =+，则得： 111144ik r rikreeGrrr= =rrrr （6.4-5） 当 0 的场散射，求 S分波的微分散截面。 2、设粒子被一半径为 a质量很大的刚性球散射，试用分波法求总散射截面的高能极限。 3、用玻恩近似法求粒子被势能为 的场散射时的总散射截面。 22()roUr Ue=4、用玻恩近似法求粒子被势能为 ()raoUr Ue= （a0）的场散射时的微分散射截面；并根据（6.4-23）式和（6.4-24）式估算玻恩近似的适用条件。 5、设粒子沿Z 轴正方向入射，受到势能为2016()5aroUr U Ye=r（a0）的场散射，试用玻恩近似法求微分散射截面。 173
