1、一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1、已知 , ,且 ,则 2)(xefxf1(0)()(x)1ln(x解 , , .u2lnu1lnu2、已知 为常数, ,则 1 .a)2(limaxx a解: .axbxxx )(lim)1(1lili0 223、已知 ,则 4 .)(f ffx3li0解: )()31lim0x4、函数 的拐点数为 2 .)32()(xf解: 有 3 个零点 : ,1,431有 2 个零点 : ,)(xf22,显然 符号是:,故有 2 个拐点.)(1x)(xf5、 .xd2cosinCcottan解: .Cxxddx cottansisii 2222二、选择题(每
2、小题 3 分,共 15 分)1、设 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是 A)xf(x)(f)(f(A) 偶函数; (B) 奇函数;(C) 非奇非偶函数; (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、 是函数 的 D0x.0 ,0 ,cos1)(2xxf(A) 跳跃间断点; (B) 连续点;(C) 振荡间断点; (D) 可去间断点.3、若函数 在 处不可导,则下列说法正确的是 B)(xf0(A) 在 处一定不连续; (B) 在 处一定不可微;)(xf0(C) 在 处的左极限与右极限必有一个不存在; (D) 在 处的左导数与右导数必有一个不存在 .)(xf04、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润
3、的必要条件是: D (A) ; (B) ;)(QCR )(QCR(C) ; (D) .)( )(5、若函数 存在原函数,下列错误的等式是: B xf(A) ; (B) ;)()(fd )()(xfdf(C) ; (D) .xxfC三、计算题(每小题 6 分,共 60 分)1、设 ,求 . 答案: fx42)2(f 42)(4xxfx解:令 ,则t,(3 分) 于是)()( 484)2(4)( 22 tttf ttttt. (6 分)( 222 xxxx xxx2、计算 . 答案: 1coslimnn1解: (3 分)nnn cosli)(li. (6 分)10cos1coslimnn3、求极限
4、 .答案: )2(li 22 nn解:由于 , (3 分)11222 n而 , ,limli2nn limli22nn所以 . (6 分)1)1(li 222n4、求极限 .xxcose)li0解: (4 分)xxxxx cosin21lmsin)1l(lims)1ln(i 020020 . (6 分)ilco)(li020xx5、求函数 的导数. 答案: xy1sin )1sinlcos1(2sin xxxy解: (2 分)(ln1sixe 1sinlcos1(2sin xxx. (6 分)i1ln)(co2lsi xx6、求曲线 在点 处的法线方程. 答案: lny,( 02y解: 方程两
5、边对 求导得: ,x02lnyx将 代入得法线斜率 , (3 分)1,(,yx 1)(yk从而法线方程为: , 即: . (6 分)1(x02x7、求曲线 的凹凸区间和拐点. 1234xy答案:曲线在区间 和 是凹的,在区间 是凸的拐点为 , 0,(),)1(34解:(1) , )Cxf(2) , ,23(x )1(6)(2 xxf(3) ,得 , . , (3 分)0)f120f34f(4) 列表如下: x),()1,(),1()f+ 0 - 0 +凹 拐点 凸 拐点 凹(5) 曲线的拐点为 、 1,()34,(6) 曲线在区间 和 是凹的,在区间 是凸的 (6 分)01,08、计算 答案:
6、 xd)1(3 Cxx66arctn解: (3 分)1( )(1)()( 23526363 6tdxdxt22 1 6ttt (6 分)CxxCtt 66arcnarcn9、计算 答案: dex2si Cxe)2cossi21(04解: (3 分)dexexxcos1, xdexexexdexex 2sin412sincos21sin412cos (6 分)C )(010、设某商品的需求函数为 ,其中 分别表示需求量和价格,试求当总收益PQ51Q达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案: ,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .俞诗秋1)0(%11解:总收益函数为 ,25
7、0)5()( PPR令 ,得 ,而 ,0)(P3(R可见, 当 时, 总收益达到最大. (3 分)1此时需求弹性 , (5 分)1510)( 0PPdQ说明,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 . (6 分)%四、证明题(每小题 5 分,共 10 分)1、证明方程 在区间 内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋1xe0(证明:显然 ,由于 , ,)(Cf01)(f 01)(ef由零点定理知, ,即 ; (3 分)(.tse又因 , ,知 ,01)(xef )(xf所以方程 在区间 内有且只有一个实根 . (5 分)x 2、设 在闭区间 连续,在开区间 可导,且 ,证明在 内必存)(f2)21(1(8)ff2,(在一点 ,使得 . )(3ff证明: 令 , ,3)(xF623)()(xff显然 , ,且 ,21C)1(DF)2(8)1(FfF由罗尔定理知: , ,所以 .)21(.ts0)(F)(3ff