1、1江苏省前黄高级中学 2011届第二次模拟适应考试数 学（必修） (2011.5)一、填空题（每小题 5 分，共 70 分）1 是虚数单位，复数 的虚部是 i 23iz2 已知集合 ，集合 ，若命题“ ”是命 题“ ”的充分不|5Ax|BxaxAxB必要条件，则实数 的取值范围是 a3 抛物线 的焦点到准线的距离是 24yx4. 已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 = na231,a87109a5已知一组正数 的方差为 ，则数据1234,x222134(16)4Sxx12,x的平均数为 346已知函数 ，则不等式 的解集是 21(0)()xf()2fx7已知函数 的图象的一条对
2、称轴是 ，若 ()sincofxax53x()sincogxax表示一个简谐运动，则其初相是 si0,)A8设平面区域 D是由双曲线214yx的两条渐近线和直线 680xy所围成三角形的边界及内部。当 (,)xy时， 2y的最大值为 9在边长为 2 的正三角形 ABC 中，以 A 为圆心， 为半径画一弧，分别交 AB，AC 于3D，E 若在ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形 ADE 内的概率是 ADCB210 、四面体 ABCD 中，AB=CD=1 ，其余各棱长均为 2，则 VABCD= _11、若不等式 a ，在 上恒成立，则 a 的取值范围是 2t2t,0(t12如图，在长
3、方形 BCD中， A， 1BC， E为 D的中点， F为线段EC（端 点除外）上一动点现将 F沿 折起，使平面 A平面 BC在平面ABD内过点作 K， 为垂足设 Kt，则 的取值范围是 13、设 是从-1，0，1 这三个整数中取值的数列，125,a若 ，2 21 509,()(1)(1)7aa 且则 中数字 0 的个数为 1250,14 、已知向量 ,满足 |,|, ().若对每一确定的 ,|的最大值和最小值分别为 mn,则对任意 , mn的最小值是 二、解答题（共 90 分）15、 （本题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 ， ， ， .,abc8ABCA4a（）
4、求 的最大值及 的取值范围；bc（）求函数 的最值.22()3sin()os34f16、 （本题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAC2 AA1，BAA1 CAA160 ，D，E 分别为 AB，A 1C 中点（1 ）求证：DE平面 BB1C1C；（2 ）求证：BB 1平面 A1BC17、 （本题满分 14 分）如图，矩形 是机器人踢足球的场地， ， ，机器人先从BD170ABcm80Dc的中点 进入场地到点 处， ， 场地内有一小球从 点沿AEF4EcFB直线运动，机器人从 点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走
5、速度的 2 倍EABCC1B1A1DABCEF3若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？18、 （本题满分 16 分）椭圆 ： 的一个焦点 ，右准线方程 C12byax)0(a)0,2(1F8x（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）若 右准线上一点， 为椭圆 的左顶点，连结 交椭圆于点 ，求 的取MACAMPAM值范围；（3 ）设圆 Q： 与椭圆 有且只有一个公共点，过椭圆 上一点2()1(4)xtytC作圆 Q 的切线 、 ，切点为 ，求 的最大值 BSBT,SBT19、 （本题满分 16 分）对于函数 ，如果存在实数 使得 ，那么称12(),()fxh,ab12()()()
6、hxafbfx为 的生成函数。()h（1 ）下面给出两组函数， 是否分别为 的生成函数？并说明理由。()x12(),f4第一组： ；12()sin,()cos,()in)3fxfxhx第二组： 。2211（2 ）设 ，生成函数 。若不等式1212()log,()l,ffab()h40hxt在 上有解，求实数 的取值范围。,t（3 ）设 ，取 生成函数 图象的最低点坐标为121(),()0)fxfx,0ab()hx。(2,8若对于任意正实数 且 ，12,12试问是否存在最大的常数 ，使 恒成立？如果存在，求出这个 的值；m()hxmm如果不存在，请说明理由。20、 （本题满分 16 分）已知数列
7、 na是各项均不为 0的等差数列，公差为 d， nS为其前 项和，且满足21nS， *N数列 nb满足 1na， nT为数列 b的前 n 项和（1 ）求 1a、 d和 nT；（2 ）若对任意的 *，不等式 8()nn恒成立，求实数 的取值范围；（3 ）是否存在正整数 ,m(1)，使得 1,mnT成等比数列？若存在，求出所有,n的值；若不存在，请说明理由5江苏省前黄高级中学 2011 届第二次模拟适应考试数 学（理科附加题 共 40 分） 21、 （请在 A、B、C、D 中选择 2 题做答，每题 10 分）A.选修 4-l：几何证明选讲如图，O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，AB=AC ，延长
8、 BC 到点 D，使 CDAC，连接 AD 交O 于点 E，连接 BE 与 AC 交于点 F判断 BE 是否平分ABC，并说明理由；若 AE=6，BE=8，求 EF 的长B、选修 42：矩阵与变换请用逆矩阵的方法求下面二元一次方程组的解 23xyC、选修 44：参考方程与极坐标分别在下列两种情况下，把参数方程 化为普通方程：1()cos2inttttxey（1 ） 为参数， 为常数；t（2 ） 为参数， 为常数；tD.选修 45：不等式选讲设 均为正实数,abc（）若 ，求 的最小值；122abc（）求证： .12ab22、 （必做题，每题 10 分）第 26 届世界大学生夏季运动会将于 20
9、11 年 8 月 12 日到 23 日AB COEFD6ADMC BNPQ在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子” ，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。（1） 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿
10、者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望。23、 （必做题，每题 10 分）已知四棱锥 中 平面 ，且 ，PABCDABCD4P底面为直角梯形，09,CD2,1,2,分别是 的中点,MN,PB（1）求证： / 平面 ；Q（2）求截面 与底面 所成二面角的大小；CA（3）求点 到平面 的距离江苏省前黄高级中学 2011届第二次模拟适应考试数学参考答案及评分标准(2011.5)参考答案：1 ； 2. ； 3. ； 4 ； 54； 6 ； 25a18231,)27 ； 824； 9 10、 11、 ； 12 ； 336,1(,13、11； 14、 115、解（） 即 2cos
11、8b22cos4b23bc分又 所以 ，即 的最大值为 16 4 分217即 所以 ， 又 0 所以 0 6816cos1cos23分（） ()3()s3sin2cos1f10 分 2sin16因 0 ，所以 ， 12 分35261si()26当 即 时， 13 分53min()f当 即 时， 14 分26ax1316、 （每小题 7 分）17、解：设该机器人最快可在点 处截住小球 ，点 在线段 上GAB设 根据题意，得 FGxcm2Bxcm则 1 分170AB连接 ，在 中， ， ，E40FAEFD所以 ， 2 分45于是 在 中，由余弦定理，得 22cosFG所以 8 分201740172
12、cos45xxx解得 12 分1235所以 ，或 （不合题意，舍去） 13 分AGxcm3Acm答：该机器人最快可在线段 上离 点 70 处截住小球14 分B18、解：（1）由题意得， ， 得， ， ，28a2162b所求椭圆方程为 5 分162yx（2）设 点横坐标为 ，则 ，P0 1400xAPM8 ， 40x 214800xAPM 的取值范围是 10 分AP,21（3）由题意得， ，即圆心 Q 为 ，5t(5,)设 ，则BQx|cosSBTSBT 2|(1sin)SBQ，221()(23x ，即 ， ，9218易得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，y(,)(,1 时， . 16 分2
13、81xmax63081BST19、 （1）设 ，即sincosin()ab3sincosincos2axbx取 ，所以 是 的生成函数。3,2)hx12,f设 ，即2()(x22()()1xx则 ，该方程组无解。1ab所以 不是 的生成函数。4 分()hx12(),fx（2） 2122logllogx，即(4)()0t(4)()0t所以， 。因为 ，所以22logl0xtx,421log,3x则 ，函数 在 上单调递增，所以11ogt2ly,4max43y故 。 10 分t（3）由题意得， ，则 ，故 ，解()(0)bhxax()2bhxa82ba得 所以 。 1228ab8()2()分假设存
14、在最大的常数 ，使 恒成立。于是设m12hxm1214()()uhx9212112 126464()xxxx 121212803 设 ，则 ，即tx124xt(,t设 8043,(ut因为 ，所以 在 上单调递减，从而2()0,t8032,ut1(41894故存在最大的常数 16 分m20、解：（1） （法一）在 21naS中，令 n， 2，得 ,321Sa即 ,3)(,121d-2 分解得 1， d， na-3 分()()2nbn，123521Tn -5 分（法二） na是等差数列， na12 )12(12naS)1( -2 分由 2nS，得 nn)(2， 又 0n， n，则 1,2d -3
15、 分(T求法同法一)（2）当 为偶数时，要使不等式 8(1)nnT恒成立，即需不等式8)(2187n恒成立 -6分，等号在 2n时取得 此时 需满足 25 -7 分当 n为奇数时，要使不等式 8(1)nT恒成立，即需不等式 (8)15恒成立 -8分2n是随 的增大而增大， n时 2取得最小值 6 此时 需满足 21 -9 分综合、可得 的取值范围是 1 -10 分10（3） 1,21mnTT， 若 ,n成等比数列，则 21()()3n，即24163mn12 分（法一）由2416n， 可得20，即 20， -14 分61m 又 N，且 ，所以 2，此时 12n因此，当且仅当 ， 1n时，数列 T
16、中的 1,mnT成等比数列- 16 分（法二）因为 366，故 246，即 2410，12m， （以下同上） - -14 分理科附加题参考答案21、 （A. 几何证明选讲）BE 平分ABC. 1 分CDAC，D=CAD. ABAC，ABC=ACBEBC=CAD，EBC=D=CAD. 4 分ABC=ABE+EBC，ACB=D+CAD，ABE=EBC，即 BE 平分ABC. 6 分由知CAD=EBC =ABE.AEF=AEB，AEFBEA. 8 分 AEFB， AE=6， BE=8.EF= 298362. 10 分B、矩阵与变换解：记 ， ， ，则上述方程组可以写成13AxXy32B（） 2 分X
17、又 ，5 分1532在方程（）式两边左乘 可得： 8 分1A1XB135211所以，原方程组的解为 10 分1xyC、坐标系与参数方程解：（1）当 时， ，即 ；2 分0t,cosx1,0xy且当 时， 4 分in1()()22tt ttee而 ，即 5 分2cosin2211()()44ttttxy（2）当 时， ， ，即 6 分；,kZ0y2tte,0x且当 时， ， ，即 ；7 分x()tt当 时，得 ，即 9 分,2kZcos2inttttxey2cosinttyex得 ,即 .10 分()()cosicosttxyxe221cosinyD、不等式选讲D 解答：（）解：因为 均为正实数
18、，由柯西不等式得,ab，当且仅当 时等号成立，1)()1(2222 ccba 31cba的最小值为 5 分3（） 均为正实数， ，当 时等号成立；,c baba22则 ，当 时等号成立；cbcb121，当 时等号成立；aa三个不等式相加得， ，当且仅当 时bacb1121 cba等号成立。10 分22、解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 61305， 12ADMC BNPQ x yz所以选中的“高个子”有 261人， “非高个子”有 3618人3 分用事件 A表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件 A表示“
19、没有一名“高个子”被选中” ，则 ()P1253C 107 因此，至少有一人是“高个子”的概率是 5 分（）依题意， 的取值为 ,3 514)0(328P， 528C)1(34P， C14， 12 9 分因此， 的分布列如下： 023p54585151131285140E 10 分23、解析（一）：以 为原点，以 分别为 建立空间直角坐标系 ，A,DABP,xyzOxyz由 ， 分别是 的中点，2,12BC4QMN,PDB可得： ，20,0,0,430,1N ， 2 分,P2,1设平面的 的法向量为 ，BC0,nxyz则有： 0,2,12044nxyzPyz令 ，则 ，3 分1z0,1n ，又
20、 平面021MQn MQPCB /平面 4 分PCB（2）设平面的 的法向量为 ，N,nxyz又2,1,2013则有：22,100,nCMxyzxyzN令 ，则 ， 6 分1z212xyn又 为平面 的法向量，0,4APABCD ，4cos2Pn又截面 与底面 所成二面角为锐二面角，MN截面 与底面 所成二面角的大小为 8 分CAB3（3） ，所求的距离 10 分2,10 21032nCAd第 14 题解法：14 、已知向量 ,满足 |1,|, ()0.若对每一确定的 ,|的最大值和最小值分别为 mn,则对任意 , mn的最小值是 方法一：建立坐标系解析： |，因此向量 的终点一定在向量 的中
21、垂线上。()0，因此向量 与向量 、向量 终点的连线垂直。的终点在以 -为直径的圆上的最大值与最小值相差图中的直径。方法二： m-n=|14“对每一个确定的 ”，可以先固定 。以 的起点为原点， 方向为 x 轴建立坐标系，记三个向量的终点分别为：A、B 、C，记 AB 中点为 M，B 为定点（可以先固定 ） ，A 在单位圆上，C 在以 AB 为直径的圆上，所以，OC 的最大最小分别为：OM 加减|AB|/2 ，故 m-n=|AB|=| 接下来考虑，当 变化时，要使过以 B 为圆心过原点的圆 B 与单位圆有交点，|的最小值： 当圆 B 与单位圆内切时，|最小0.5 以上好像还有问题，|OM|也在变. 解决了，固定 后， OM 也随之固定，应该没问题了
