1、2015-2016 学年广东省东莞七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数 a+bi（a，bR）在复平面内的对应点在第二象限，则（ ）Aa0，b0 Ba 0，b0 Ca 0，b0 Da0，b02若 ab0，则下列结论正确的是（ ）Aa 2b 2 Bab b 2 C Daba+b3设 z=xy，式中变量 x 和 y 满足条件 ，则 z 的最小值为（ ）A1 B1 C3 D34在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，a 3+a5=14，则 S7 的值为（ ）A49 B
2、44 C53 D565变量 x 与变量 y 有如下对应关系x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0则其线性回归直线必过定点（ ）A （3，5） B （4，5） C （5，6） D （6，6）6在ABC 中，已知 c=1，A=60，C=45，则ABC 的面积为（ ）A B C D7在一组样本数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） （n2，x 1，x 2，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i） （i=1，2，n）都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A1 B0 C D18如果执行如图的程序框图，
3、若输入 n=6，m=4，那么输出的 p 等于（ ）A720 B360 C240 D1209函数 f（x）在 x=x0 处导数存在，若 p：f（x 0）=0：q：x=x 0 是 f（x）的极值点，则（ ）Ap 是 q 的充分必要条件Bp 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Cp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件10设 F1、F 2 是椭圆 的左、右焦点，P 为直线 x= 上一点，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）A B C D11下列关于复数的类比推理中，错误的是（ ）复数的加减运算可以类比多项式
4、的加减运算；由向量 的性质| |2= 2 类比复数 z 的性质|z| 2=z2；方程 ax2+bx+c=0（a，b，c R）有两个不同实数根的条件是 b24ac0，可以类比得到方程 az2+bz+c=0（a ，b，c C）有两个不同复数根的条件是 b24ac0；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义A B C D12已知函数 f（x）=a x（a0，a1） ，其导函数为 f（x） ，满足 f（x）f（x）对于任意实数 x 恒成立，则（ ）Af（1）e， fe，f e，fe，f 处的切线方程为 14设 a0，b0，若 是 2a 与 2b 的一个等比中项，则 ab 的最大值为 15设抛
5、物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，直线 L 过 F 且与 C 交于 A、B 两点，若|AF|=3|BF|，则 L 的方程为 16当 n=1 时，有（ab） （a +b）=a 2b2当 n=2 时，有（ab） （a 2+ab+b2）=a 3b3当 n=3 时，有（ab） （a 3+a2b+ab2+b3）=a 4b4当 nN*时，你能得到的结论是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知复数 z=1+i，求实数 a，b 使 az+2b =（a +2z） 218以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据：房屋面积 m2 1
6、10 90 80 100 120销售价格（万元） 33 31 28 34 39（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为 150m2 时的销售价格（提示：， ，110 2+902+802+1002+1202=51000，11033+9031+8028+10034+12039=16740）19某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20名学生某次考试成绩（满分 100 分）如下表所示：序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167
7、936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若单科成绩 85 分以上（含 85 分） ，则该科成绩为优秀（1）根据上表完成下面的 22 列联表（单位：人）：数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计物理成绩优秀物理成绩不优秀合 计 20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？参考数据：假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分别为x 1，x 2和y 1，y 2，其样本频数列联表（称为 22 列联表）为：y1 y2 合计x1 a b a+bx2 c d c+d合计 a+c
8、 b+d a+b+c+d则随机变量 ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量；独立检验随机变量 K2 的临界值参考表：P（K 2k 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820已知数列a n的各项均为正数，且满足 a2=5， （1）推测a n的通项公式；（2）若 ，令 cn=an+bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn21已知椭圆 的右焦点 F2 与抛物线 的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（
9、2）过椭圆 C1 的右焦点且斜率为 的直线 l2 被椭圆 C1 截得的弦 AB，试求它的长度22设函数 f（x）=e xax2（）求 f（x）的单调区间；（）若 a=1，k 为整数，且当 x0 时， （xk）f（x）+x+10，求 k 的最大值2015-2016 学年广东省东莞七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数 a+bi（a，bR）在复平面内的对应点在第二象限，则（ ）Aa0，b0 Ba 0，b0 Ca 0，b0 Da0，b0【考点】复数的代数表示
10、法及其几何意义【分析】利用复数的几何意义和点所在的象限与坐标的关系即可得出【解答】解：复数 a+bi（a，b R）在复平面内的对应点（ a，b）在第二象限，a0，b0故选 D2若 ab0，则下列结论正确的是（ ）Aa 2b 2 Bab b 2 C Daba+b【考点】不等式的基本性质【分析】由于 ab0，可得 a2b 2，ab b 2， ，aba+b，即可得出【解答】解：ab0，a 2b 2，abb 2， ，a ba+b，可知：只有 C 正确故选：C3设 z=xy，式中变量 x 和 y 满足条件 ，则 z 的最小值为（ ）A1 B1 C3 D3【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行
11、域，再利用几何意义求最值，z=xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图，当直线 z=xy 过点 A（2，1）时，即当 x=2，y=1 时，z min=1故选 A4在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，a 3+a5=14，则 S7 的值为（ ）A49 B44 C53 D56【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的下标和性质以及等差数列的前 n 项和公式解答即可【解答】解：因为等差数列a n，所以 a1+a7=a3+a5=14，所以 S7 的值为 7（a 1+a7）=49；故选 A5变量 x 与
12、变量 y 有如下对应关系x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0则其线性回归直线必过定点（ ）A （3，5） B （4，5） C （5，6） D （6，6）【考点】线性回归方程【分析】根据所给的数据，做出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到结果【解答】解： = =4， = =5，这组数据的样本中心点是（4，5）线性回归方程过样本中心点：（4，5） 故选 B6在ABC 中，已知 c=1，A=60，C=45，则ABC 的面积为（ ）A B C D【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：在ABC 中，由
13、正弦定理可得： = ，解得 a= B=180AC=75sin75 =sin（30 +45）= = ，S= acsin75= = 故选：C7在一组样本数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） （n2，x 1，x 2，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i） （i=1，2，n）都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A1 B0 C D1【考点】相关系数【分析】所有样本点（x i，y i） （i=1，2，n）都在直线 y= x+1 上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i
14、） （i=1，2，n）都在直线 y= x+1 上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选 D8如果执行如图的程序框图，若输入 n=6，m=4，那么输出的 p 等于（ ）A720 B360 C240 D120【考点】程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的 k， 的值，当有 k=4， =360 时不满足条件km，输出 p 的值为 360【解答】解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，=1第一次执行循环体，=3满足条件 km，第 2 次执行循环体，有 k=2，=12满足条件 km，第 3 次执行循环体，有 k=3，=60满足条件 km，第 4 次执行循环体，有 k=4，=360
15、不满足条件 km，输出 p 的值为 360故选：B9函数 f（x）在 x=x0 处导数存在，若 p：f（x 0）=0：q：x=x 0 是 f（x）的极值点，则（ ）Ap 是 q 的充分必要条件Bp 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Cp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：函数 f（x）=x 3 的导数为 f（x）=3x 2，由 f（x 0）=0，得 x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极
16、值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若 x=x0 是 f（x）的极值点，则 f（x 0）=0 成立，即必要性成立，故 p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件，故选：C10设 F1、F 2 是椭圆 的左、右焦点，P 为直线 x= 上一点，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【分析】利用F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，可得|PF 2|=|F2F1|，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，|PF 2|=|F2F1|P 为直线 x= 上一点
17、故选 C11下列关于复数的类比推理中，错误的是（ ）复数的加减运算可以类比多项式的加减运算；由向量 的性质| |2= 2 类比复数 z 的性质|z |2=z2；方程 ax2+bx+c=0（a，b，c R）有两个不同实数根的条件是 b24ac0，可以类比得到方程 az2+bz+c=0（a ，b，c C）有两个不同复数根的条件是 b24ac0；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义A B C D【考点】类比推理【分析】复数的加减运算可以类比多项式的加减运算，由两者运算规则判断；由向量 的性质| |2= 2 类比复数 z 的性质|z |2=z2，由定义判断；方程 ax2+bx+c=0（a
18、，b，c R）有两个不同实数根的条件是 b24ac0，可以类比得到方程 az2+bz+c=0（a ，b，c C）有两个不同复数根的条件是 b24ac0，可有两者运算特征进行判断；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者加法的几何意义判断；【解答】解：复数的加减运算可以类比多项式的加减运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；由向量 的性质| |2= 2 类比复数 z 的性质|z |2=z2；两者属性不同一个是数，一个是即有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；方程 ax2+bx+c=0（a，b，c R）有两个不同实数根的条件是 b24ac0，可以类比得到方程 az2+b
19、z+c=0（a ，b，c C）有两个不同复数根的条件是 b24ac0，数的概念推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故合理错误；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，是错误的故选 C12已知函数 f（x）=a x（a0，a1） ，其导函数为 f（x） ，满足 f（x）f（x）对于任意实数 x 恒成立，则（ ）Af（1）e， fe，f e，fe，f= ，求导 g（x）= =，从而可得 ae，从而解得【解答】解：令 g（x）= ，故 g（x）= = ，f（x）f （ x）对于任意实数 x 恒成立，g（x）0 对于任
20、意实数 x 恒成立，g（x）= = 在 R 上是增函数，故 1，即 ae ，f（1）=a e，f 曲线 y=x33x2+1 在点（1，1）处的切线方程为 y=3x+2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数 y=x33x2+1 在 x=1 处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可【解答】解：由曲线 y=x33x2+1，所以 y=3x26x，曲线 y=x33x2+1 在点（1，1）处的切线的斜率为：y |x=1=3（1） 26=3此处的切线方程为：y+1= 3（x1） ，即 y=3x+2故答案为：y=3x+214设 a0，b0，若 是
21、 2a 与 2b 的一个等比中项，则 ab 的最大值为 【考点】等比数列的通项公式【分析】 是 2a 与 2b 的一个等比中项，可得 a+b=1再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解： 是 2a 与 2b 的一个等比中项，2 a2b=（ ） 2=2，a+b=1又 a0，b0，ab（ ） 2= 当且仅当 a=b= 时取等号ab 的最大值为 故答案是： 15设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，直线 L 过 F 且与 C 交于 A、B 两点，若|AF|=3|BF|，则 L 的方程为 或 【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意设出直线 AB 的方程，联立直线和抛物线方程，求出 A，B 的横坐标
22、，由|AF|=3|BF|得到 x1=3x2+2，代入 A，B 的坐标得答案【解答】解：由 y2=4x，得 F（1，0） ，设 AB 所在直线方程为 y=k（x1） ，联立 ，得 k2x2（2k 2+4）x+k 2=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，结合|AF|=3|BF |，解方程得： ， 再由|AF|=3|BF |，得 x1+1=3（x 2+1） ，即x1=3x2+2， ，解得：k= 直线 L 的方程为 y= 或 故答案为： 或 16当 n=1 时，有（ab） （a +b）=a 2b2当 n=2 时，有（ab） （a 2+ab+b2）=a 3b3当 n=3 时，有（ab）
23、 （a 3+a2b+ab2+b3）=a 4b4当 nN*时，你能得到的结论是 【考点】归纳推理【分析】根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为（ab） ，另一项每一项的次数均为 n1，而且按照字母 a 的降幂排列，故可得答案【解答】解：由题意，当 n=1 时，有（ab） （a +b）=a 2b2；当 n=2 时，有（ab） （a 2+ab+b2）=a 3b3；当 n=3 时，有（ab） （a 3+a2b+ab2+b3）=a 4b4；当 n=4 时，有（ab） （a 4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a 5b5；所以得到猜想：当 nN*时，有（a b） （a n+an1b+abn1+
24、bn）=a nbn；故答案为：（ab） （a n+an1b+abn1+bn）=a n+1bn+1三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知复数 z=1+i，求实数 a，b 使 az+2b =（a +2z） 2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件【分析】把所给的复数代入条件中的等式中，整理变化成复数的标准形式，根据复数相等的充要条件，写出关于 a，b 的方程组，解方程组得到 a，b 的值，解方程组比较特殊，需要两式相加【解答】解：z=1+i，az+2b =（a+2b）+（a2b） i（a+2z） 2=（a+2） 24+4（a +2）
25、i=（a 2+4a）+4（ a+2）i因为 a，b 都是实数，所以由得两式相加，整理得a2+6a+8=0解得 a1=2，a 2=4对应得 b1=1，b 2=2所求实数为 a=2，b= 1 或 a=4，b=218以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据：房屋面积 m2 110 90 80 100 120销售价格（万元） 33 31 28 34 39（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为 150m2 时的销售价格（提示：， ，110 2+902+802+1002+1202=51000，11033+9031+8028+10034
26、+12039=16740）【考点】线性回归方程；散点图；独立性检验【分析】 （1）根据表中所给的五对数据，在平面直角坐标系中描出这五个点，得到这组数据的散点图（2）根据表中所给的数据，求出横标和纵标的平均数，把求得的数据代入求线性回归方程的系数的公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程（3）根据第二问求得的线性回归方程，代入所给的 x 的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值【解答】解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2） ， ，回归直线方程为 （3）据（2） ，当 x=150m2 时，销售价格的估计值为： （万元）19某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关
27、系，随机抽取高二年级 20名学生某次考试成绩（满分 100 分）如下表所示：序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若单科成绩 85 分以上（含 85 分） ，则该科成绩为优秀（1）根据上表完成下面的 22 列联表（单位：人）：数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计物理成绩优秀物理成绩不优秀合 计 20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩
28、之间有关系？参考数据：假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分别为x 1，x 2和y 1，y 2，其样本频数列联表（称为 22 列联表）为：y1 y2 合计x1 a b a+bx2 c d c+d合计 a+c b+d a+b+c+d则随机变量 ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量；独立检验随机变量 K2 的临界值参考表：P（K 2k 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验【
29、分析】 （1）直接查取数表，然后按要求把查取的数值填入 22 列联表；（2）由随机变量 的计算公式算出随机变量 K2 的值，对照临界值表即可得到正确答案【解答】解：（1）22 列联表为（单位：人）：数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计物理成绩优秀 5 2 7物理成绩不优秀 1 12 13合 计 6 14 20（2）提出假设 H0：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系根据列联表可以求得 当 H0 成立时，P （K 27.879）=0.005所以我们有 99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系答：我们有 99.5%的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系20已知数列a n的各项均
30、为正数，且满足 a2=5， （1）推测a n的通项公式；（2）若 ，令 cn=an+bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn【考点】数列递推式；数列的求和；归纳推理【分析】 （1）由递推式求出前 3 项，以此作出推测即得通项公式；（2）由（1）易求 cn，对各项分组后分别利用等差数列、等比数列的求和公式即可求得Tn【解答】解：（1）由 a2=5，a n+1=an22nan+2，a n0（nN*）知：a2=a122a1+2，故 a1=3，a3=a224a2+2=7，推测 an=2n+1 （nN*）；（2）由（1）知， Tn=（a 1+b1）+（a 2+b2）+（a 3+b3）+（a n+bn）=
31、（a 1+a2+a3+an）+（b 1+b2+b3+bn）=3+5+7+（2n+1）+（1+2+4+2 n1）=（n 2+2n）+（2 n1）=2 n+n2+2n1所以数列c n的前 n 项和 Tn 为 2n+n2+2n121已知椭圆 的右焦点 F2 与抛物线 的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆 C1 的右焦点且斜率为 的直线 l2 被椭圆 C1 截得的弦 AB，试求它的长度【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】 （1）由抛物线焦点可求得 c 值，由椭圆左端点可得 a 值，根据 b2=a2c2 可得 b 值；（2）由点斜式易求直线 l2 的方程，把 l2 的方程
32、代入椭圆方程消掉 y 可得关于 x 的二次方程，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，根据韦达定理及弦长公式即可求得弦 AB 的长；【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为（2，0） ，所以 c=2，又椭圆的左端点为（ ，0） ，所以 a= ，则 b2=a2c2= ，故所求椭圆方程为： ；（2）因为椭圆的右焦点 F（2，0） ，所以 l2 的方程为：y= （x2） ，代入椭圆 C 的方程 ，化简得，5x 218x+15=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由韦达定理知， ，x 1x2=3，从而|x 1x2|= = = ，由弦长公式，得|AB|= = = ，弦 AB
33、 的长度为 22设函数 f（x）=e xax2（）求 f（x）的单调区间；（）若 a=1，k 为整数，且当 x0 时， （xk）f（x）+x+10，求 k 的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a，故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I） ，将不等式， （x k） f（x）+x+10 在 x0 时成立转化为 k（x 0）成立，由此问题转化为求 g（x）= 在 x0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出 k 的最大值；【解答】解
34、：（I）函数 f（x）=e xax2 的定义域是 R，f （ x）=e xa，若 a0，则 f（x）=e xa0，所以函数 f（x）=e xax2 在（ ，+）上单调递增若 a0，则当 x（，lna ）时， f（x）=e xa0；当 x（lna，+ ）时，f （x） =exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（II）由于 a=1，所以， （x k） f（x）+x+1=（xk） （e x1）+x+1故当 x0 时， （xk） f（x） +x+10 等价于 k （x0）令 g（x）= ，则 g（x）=由（I）知，当 a=1 时，函数 h（x）=e xx2 在（0，+）上单调递增，而 h（1）0，h（2）0，所以 h（x）=e xx2 在（0，+ ）上存在唯一的零点，故 g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为 ，则有 （1，2）当 x（0，）时，g（x）0；当 x（ ，+）时，g（x）0；所以 g（x）在（0，+）上的最小值为 g（ ） 又由 g（）=0，可得 e=+2 所以 g（ ）= +1（2，3）由于式等价于 kg（） ，故整数 k 的最大值为 22016 年 11 月 14 日
