1、1.1.3 导数的几何意义,复习回顾：导数的概念,定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处及其附近有定义,当自变量 x 在点 x0 处有改变量x时函数有相应的改变量 y=f(x0+x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线 C 是函数y=f(x) 的图象, P(x0,y0) 是曲线C上的 任意一点, Q(x0+x,y0+y) 为 P 邻近一点, PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线P
2、Q绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,导数几何意义的理解:,初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。,割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.,P,Q,T,问题: 如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？提示1 l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线,曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。反之，若曲线与直线有一个公共点，直线也不一定是曲线的切线。,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的
3、切线的斜率.,即:,这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,例1. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图像，请描述、比较曲线 在 附近的变化情况.,(1)当 时，曲线 在 处的切线平行于x轴，故在 附近曲线比较平坦，几乎没有下降.,(2)当 时，曲线 在 处的切线斜率小于0，故在 附近
4、曲线下降，即函数 在 附近单调下降.,例1. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图像，请描述、比较曲线 在 附近的变化情况.,(3)当 时，曲线 在 处的切线斜率小于0，故在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调下降.,由图可知，直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明函数 在 附近比在 附近下降的快.,变式：“菊花”烟火是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)4.9t214.7t18，求烟花在t2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况,例2:求曲线 y=2x2-x 在点P(1,1)处的切线
5、的斜率，并写出切线方程.,因此,切线方程为 y-1=3(x-1), 即y=3x-2.,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,归纳:求切线方程的步骤,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,动动手:1. 求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线方程.,因此,切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.,练习:如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-
6、8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例3. 试求过点P(3,5)且与yx2相切的直线方程,例4. 试求过点P(3,5)且与yx2相切的直线方程,【错因】求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同,【当堂检测】 1已知曲线 上一点，则点 处的切线斜率为( )A.2 B.4 C.8 D.16 2. 已知曲线 在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_ . 3. 若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则.,C,(3,30),-1,【课堂小结】 1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，2“函数f(x)在点x0处的导数”是数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值 3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,即:,
