1、专题三 题中无圆,用圆解题,解答一道数学题,往往有好多种方法,其中有简单明了的,也有转弯抹角的.如果我们能将所学的数学知识融会贯通,就能在短时间里打开思路,找到较为简洁的方法,这一点在时间宝贵的考试中尤为重要. 比如一道数学题,试题表面没有涉及圆的知识,但如果我们能想到用圆的知识解答,往往就会柳暗花明,事半功倍,这就是我们说的“用圆求解,另辟蹊径”.有关这类试题,2016年和2018年安徽数学中考体现最为集中,如2016年的第10题、第14题、第23题,2018年的第14题、第23题等.,类型1,类型2,类型3,利用直角三角形外接圆解题 典例1 ( 2016安徽第10题 )如图,RtABC中,
2、ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( ),类型1,类型2,类型3,【解析】由PAB=PBC,易得APB=90,即P点在ABP的外接圆上.ABP外接圆的圆心O为AB的中点,如图,连接OC,OC与ABP的外接圆在ABC内部交于点P,这时线段CP长最小.在RtOBC中,OB=3,BC=4,由勾股定理得OC=5,又OP=3,CP=2.【答案】 B,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】 本题给我们的启发是:已知条件中有直角三角形,我们可以想到以这个直角三角形的斜边为直径画出它的外接圆,这个外接圆就成了“辅助线”,然后就可以用圆的有关知识
3、解题,这样可以起到事半功倍之奇效.这个方法还可在解答其他几何问题中推而广之.,类型1,类型2,类型3,命题拓展 考向 作一般三角形的外接圆解题 1.如图,在ABC中,AD平分BAC,交BC于点D,求证: .,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】 本题也可用相似三角形知识解答( 见本书相似三角形一节 ),这里不再赘述.,类型1,类型2,类型3,利用四边形外接圆解题 典例2 ( 2018安徽第23题节选 )如图,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F. ( 1 )求证:CM=EM; ( 2 )若BAC=50,求EMF的大小.,【解析
4、】( 1 )利用四边形BCDE外接圆证明CM=EM; ( 2 )根据圆周角定理求得CME=80,从而求出EMF. 【答案】 ( 1 )易得BED和BCD均为直角三角形,则这两个三角形有公共的外接圆,即四边形BCDE有一个外接圆,且直径为BD,M为圆心,CM=EM. ( 2 )BAC=50,ACB=90,ABC=40,由( 1 )得ABC为圆周角,CME为圆心角,且ABC与CME对同弧,CME=80,即EMF=100.,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】 本题在本书专题二 用“数”解“形”的典例3中已经用另一种方法解答.两个方法比较后发现:此题不用圆的知识也可以解答,但想到了圆的知识,就可以另
5、辟蹊径.通过本节课的学习希望同学们能形成“题中无圆,可用圆求解”的意识.,类型1,类型2,类型3,命题拓展 考向一 利用圆的对称性解题 2.如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,M,N分别为AC,BD的中点,求证:MN垂直平分BD.,【答案】ABC=ADC=90,易得RtABC和RtADC有同一个外接圆( 如图 ), M为圆心,N为BD的中点,由垂径定理得MN垂直平分BD.,类型1,类型2,类型3,考向二 利用有公共斜边的两个直角三角形外接圆解题 3.如图,在ABC中,AD,BE是两条高,M,N分别是AB,DE的中点.给出如下结论:;MN垂直平分DE;ANB90.其中正确结论的序号是
6、.( 把所有正确结论的序号都填在横线上 ),类型1,类型2,类型3,【名师点拨】 考向二中的问题就是将考向一中的一个直角三角形沿斜边折叠,折叠后这两个直角三角形仍有同一个外接圆,我们仍可以用圆的知识答题.,类型1,类型2,类型3,利用圆的定义解题 典例3 ( 2016安徽第23题节选 )如图1,点A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,C,D,E分别是OA,OB,AB的中点. ( 1 )求证:PCEEDQ; ( 2 )如图2,延长PC,QD交于点R,若MON=150,求证:ABR为等边三角形.,类型1,类型2,
7、类型3,【解析】( 1 )利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的定义和性质可证结论;( 2 )根据圆周角定理得出ARB=60,即可证明ABR为等边三角形. 【答案】 ( 1 )由三角形中位线定理易得CEOD,CE=OD,DEOC,DE=OC, 即四边形OCED为平行四边形,OCE=ODE,PCE=QDE, PC=OC,QD=OD,PC=DE,CE=DQ,PCEEDQ. ( 2 )由题可知RC垂直平分OA,RD垂直平分OB,即RA=RO=RB. 易得A,O,B三点都在以R为圆心,RA为半径的圆上, MON=150为圆周角,ARB为圆心角,易得ARB=60, ABR为等边三角形.,1,2,3,4,
8、5,6,7,8,9,10,1.如图,在ABC中,A=30,BC=4,点O到A,B,C三点的距离都为R,则R的长为 ( ),【解析】易得O为ABC外接圆的圆心,延长CO交ABC外接圆于点D,连接DB,则DBC为直角三角形,D=A=30,R=4.,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.如图,ABC中,AB=BC=CA=8,P是BC上一点,BP=5,沿着过P点的一条折痕PD折叠点B至B,连接AB,则线段AB的最小值为 ( ),【解析】如图,以P点为圆心,PB长为半径作圆,与PA交于点B,此时AB的长度最小. 过点A作AEBC于点E,在ABE中,BE=4,AE= , PE=1,在RtAPE
9、中,AP=7, PB=PB=5,AB的最小值为2.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.如图,在矩形纸片ABCD的CD边上找一点E,将BCE沿BE折叠,点C恰好落在边AD上的点F处,设FED=,则EBF= ( 用表示 ).,【解析】容易发现四边形BCEF有一个外接圆,FED=2EBF,EBF= .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.如图,P为等边ABC外的一个动点( P点与A点分别在BC所在直线的不同侧 ),且APB=60,AB=1,则PB+PC的最大值为 .,【解析】APB=60
10、, 动点P一定在ABC的外接圆O的劣弧BC上. 如图,取PD=PC,连接CD,ABC为等边三角形, APC=ABC=60, 即CDP也为等边三角形,易得ACDBCP, AD=BP,即AP=BP+CP, 当AP为O的直径时,BP+CP的值最大, PB+PC的最大值为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.如图,在等边ABC中,AB=3,M是AB边上一点,MA=2,N是AC边上一动点( N不与A重合 ),将AMN沿MN折叠得到AMN,A恰巧落在等边ABC的边上,则AN的长为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.( 2018浙江舟山
11、 )如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上,DE=1,点F为边AB上一动点,以EF为斜边作RtEFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是 .,【解析】在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆.当点F与点A重合时,以EF为斜边的RtEFP恰好有两个,符合题意.在点F从点A向点B运动过程中,当0AF1时,共有4个点P使EFP是以EF为斜边RtEFP.当AF=1时,有1个点P使EFP是以EF为斜边的RtEFP.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.如图,在ABC中,D是BC边的中点,E,F两点在A
12、B边上, FDE=FED,BDE与DFE相似,求证:BECE.,解:BDE与DFE相似,B=FDE,FDE=FED, B=FED,BD=DE=CD, 点B,C,E在以BC为直径的圆上,BECE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.如图,在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=2,P为ABC所在平面内一点,如果点P满足BPC=90,设Q是AB的中点,设PQ=x,试求x的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.( 2018贵州遵义 )如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上( AEBE ),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.( 1 )求证:OM=ON; ( 2 )若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解:( 1 )易证AOMBON,OM=ON. ( 2 )如图,MON=90,MAN=90. 点M,A,O,N四点共圆. 由( 1 )知OM=ON,OMN=OAB=45. 过点O作OHAD于点H, 正方形ABCD的边长为4, OH=2,HA=2.,
