1、4.5 解直角三角形,理解锐角三角函数的意义,理解并能熟记特殊角( 30,45,60 )的三角函数值;能够利用直角三角形的角之间的关系、边之间的关系( 勾股定理 )、边角之间的关系( 直角三角形中锐角的三角函数关系 )正确地解直角三角形.能够利用解直角三角形的方法解决简单的实际问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,锐角三角函数 如图,在ABC中,C=90.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,典例1 如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为 ( ),【答案】 B 【方法指导】 解直角三角形时辅助线的常用作法 初中阶段
2、的三角函数都是放在直角三角形中来研究的,所以如果没有直角三角形,就需要作出辅助线,构造一个适当的直角三角形,从而可以利用三角函数解决问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,特殊角的三角函数值( 8年8考 ) 1.特殊角的三角函数值,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,特别提醒 特殊角三角函数值的特点及速记口诀: 30,45,60这三个角的正弦值和余弦值的共同点是:分母都是2,若把分子都加上根号,则被开方数就相应地变成了1,2,3. 正切的特点是:将分子全部都带上根号,令分母值为3,则相应的被开方数就是3,9
3、,27. 正弦和正切的增减性都是:函数值都随着角度的增大而增大,余弦则随着角度的增大而减小. 根据此特点不妨编成如下口诀:三十四五六十度,三角函数记心间,分母弦二切是三,分子要把根号添,一二三来三二一,切值三九二十七,正弦正切递增值,余弦递减恰相逆.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,2.三角函数值的变化规律 ( 1 )当090时,sin ,tan 随着的增大( 或减小 )而 增大( 或减小 ) . ( 2 )当090时,cos 随着的增大( 或减小 )而 减小( 或增大 ) . 3.锐角三角函数之间的关系 ( 1 )同角之间的三角函数关系:tan = . 补充:sin2+c
4、os2=1. ( 2 )互余两角的三角函数之间的关系: sin =cos ( 90- ) ;cos =sin ( 90- ) .,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,典例2 ( 2018合肥长丰县模拟 )tan 45 sin 45-2sin 30 cos 45+tan 30= ( ),【答案】 D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,提分训练 2.一般地,当,为任意角时,cos( + )与cos( - )的值可以用下面的公式求得cos( + )=cos cos -sin sin ;cos( - )=cos cos +sin sin . 例如:cos 90=cos
5、( 30+60 )=cos 30cos 60-sin 30sin 60,类似地,可以求得cos 15的值是 .( 结果保留根号 ),3.计算:2cos 60+4sin 60tan 30-cos245.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,直角三角形中的边角关系和解直角三角形( 8年1考 ) 1.直角三角形中的边角关系 ( 1 )三边的关系:a2+b2=c2. ( 2 )角的关系:A+B=90. ( 3 )边角关系:,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,2.解直角三角形的类型及解法,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,名师指导 列出的这些解直角三角
6、形的方法,仅是一般方法,在具体的问题中,要根据所给出的条件灵活处理.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,典例3 在RtABC中,C=90. ( 1 )已知c=25,b=15,求a; ( 2 )已知a= ,A=60,求b,c. 【解析】( 1 )根据勾股定理即可直接求出a的值;( 2 )根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b,c的值.,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,考点1,考点2,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,运用解直角三角形解决简单的实际问题( 8年8考 ),考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,名师点睛 解直角三角形的应用,要注意
7、把这些实际问题抽象为解直角三角形的问题,如果实际问题中没有直角三角形,要注意根据实际问题的具体情况构造出直角三角形,从而为解决实际问题创造条件.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,典例4 ( 2018广西梧州 )随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30,测得瀑布底端B点的俯角是10,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27 m,GF=17.6 m( 注:C,G,F三点在同一直线上,CFAB于点F ),斜坡CD=20 m,坡
8、角ECD=40.求瀑布AB的高度.( 参考数据: 1.73,sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84,sin 100.17,cos 100.98,tan 100.18 ),考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,【解析】过点D作DMCE,交CE于点M,作DNAB,交AB于点N,在RtCMD中,通过解直角三角形可求出CM的长度,进而可得出MF,DN的长度,再在RtBDN,RtADN中,利用解直角三角形求出BN,AN的长度,结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度. 【答案】 过点D作DMCE,交CE于点M,作DNAB,交AB于点N. 在RtCMD中,CD=2
9、0 m,DCM=40,CMD=90, CM=CDcos 4015.4 m,DM=CDsin 4012.8 m, DN=MF=CM+CG+GF=60 m. 在RtBDN中,BDN=10,BND=90,DN=60 m, BN=DNtan 1010.8 m. 在RtADN中,ADN=30,AND=90,DN=60 m, AN=DNtan 3034.6 m.AB=AN+BN=45.4 m. 答:瀑布AB的高度约为45.4 m.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,【方法指导】 解直角三角形应用题的一般步骤: ( 1 )弄清题中的名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,
10、然后根据题意画出几何图形,建立数学模型. ( 2 )将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题.当有些图形不是直角三角形时,可添加适当的辅助线,把它们分割成直角三角形或矩形.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,提分训练 4.( 2018湖南张家界 )2017年9月8日-10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1000米高的A点出发( AB=1000米 ),沿俯角为30的方向直线飞行1400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC.,
11、考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,1.测量物体的高度的常见模型,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,典例1 ( 2018海南 )如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角HDE为45,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角GEF为60,点A,B,C三点在同一水平线上.( 1 )计算古树BH的高; ( 2 )计算教学楼CG的高.,【解析】( 1 )利用等腰直角三角形的性质即可解决问题;( 2 )作HJCG于点J.则HJG是等腰直角三角形,四边形BCJH
12、是矩形,设HJ=GJ=BC=x,构建方程即可解决问题.,考点扫描,备课资料,【答案】 ( 1 )由题意知四边形ABED是矩形,可得DE=AB=7米,AD=BE=1.5米, 在RtDEH中,EDH=45, HE=DE=7米. BH=EH+BE=8.5米. ( 2 )作HJCG于点J,则HJG是等腰直角三角形,四边形BCJH是矩形,设HJ=GJ=BC=x.,考点扫描,备课资料,2.锐角三角函数与相似知识相结合的综合问题 典例2 ( 2018江苏连云港 )如图1,水坝的横截面是梯形ABCD,ABC=37,坝顶DC=3 m,背水坡AD的坡度i( 即tan DAB )为10.5,坝底AB=14 m.,(
13、 1 )求坝高; ( 2 )如图2,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使得AE=2DF,EFBF,求DF的长.,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,命题点 解直角三角形的实际应用( 必考 ) 1.( 2018安徽第19题 )为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A( 此时AEB=FED ).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约
14、为多少米?( 结果保留整数 )( 参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02 ),2.( 2017安徽第17题 )如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和 BD都是直线段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长. ( 参考数据:sin 750.97,cos 750.26, 1.41 ),解:在RtABC中, AB=600 m,ABC=75, BC=ABcos 756000.26=156 ( m ). 在RtBDF中,DBF=45, DF=BDsin 45=600 3001.41=423( m ). 四边形BCEF是矩形, EF=BC
15、, DE=DF+EF423+156=579( m ). 答:DE的长为579 m.,3.( 2016安徽第19题 )如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E( 点E在线段AB上 ),测得DEB=60,求C,D两点间的距离.,解:过点D作l1的垂线,垂足为F, DEB=60,DAB=30, ADE=DEB-DAB=30, ADE为等腰三角形,DE=AE=20( 米 ), 在RtDEF中,EF=DEcos 60=20 =10( 米 ). DFAF,DFB=90,ACDF, 由已知l1l2,CDAF, 四边形ACDF为矩形, CD=AF=AE+EF=30( 米 ), 答:C,D两点间的距离为30米.,
