1、3.4 二次函数,通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a( x-h )2+k( a0 )的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,解决实际问题;会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解;掌握方程、不等式与函数的联系.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,备课资料,二次函数的概念及表达式( 8年5考 ) 1.二次函数 形如y=ax2+bx+c( a,b,c是常数,且a0 )的函数,叫做y关于x的二次函数. 特别提醒 二次函数中的自变量的取值范围是全
2、体实数,但需注意如果二次函数表示的是实际问题,还要使实际问题有意义.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,备课资料,2.二次函数的表达式 一般式: y=ax2+bx+c( a0 ) ; 顶点式:y=a( x+h )2+k( a0 ),其图象的顶点坐标是 ( -h,k ) ; 交点式:y=a( x-x1 )( x-x2 )( a0 ),其中的x1,x2是抛物线与x轴交点的 横坐标 . 名师指导 用待定系数法确定二次函数表达式的步骤: ( 1 )巧设二次函数的表达式.若已知抛物线顶点坐标,设为顶点形式;若已知抛物线经过的三个点的坐标,设为一般形式;若已知抛物线与x轴的交点坐标,设为交点形式.( 2
3、)根据已知条件,建立关于待定系数的方程( 组 ).( 3 )解方程( 组 ),求出待定系数的值,从而求出二次函数的表达式.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,备课资料,【解析】( 1 )把已知点的坐标代入抛物线解析式,求出b与c的值即可;( 2 )指出满足题意的平移方法,并写出平移后的解析式即可.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,备课资料,【方法指导】 确定二次函数表达式,先根据题目的已知条件,把二次函数设为合适的形式,再代入已知条件建立方程( 组 )求解.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,二次函数的图象和性质( 8年3考 ) 1.二次函数的图象和性质,考点1,考点2,考点3,考
4、点扫描,备课资料,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,4.抛物线的平移 实质是顶点的平移,故可以先把二次函数用配方法化为 ,再研究它的平移,即先把所给的二次函数的解析式写成顶点式,弄清其顶点,再弄清移动后的抛物线的顶点,然后写出移动后的抛物线的顶点式即可.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,典例2 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A( -1,0 ),与y轴的交点B在( 0,2 )与( 0,3 )之间( 不包括这两点 ),对称轴为直线x=2.,A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,考点1,考点2,考点3,考点扫描
5、,备课资料,【答案】 D,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,提分训练 1.( 2018四川南充 )如图,抛物线y=ax2+bx+c( a,b,c是常数,a0 )与x轴交于A,B两点,顶点P( m,n ).给出下列结论:2a+c0;,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,二次函数的应用( 8年6考 ) 1.二次函数与一元二次方程和不等式的关系 ( 1 )一元二次方程ax2+bx+c=0( a0 )的解,就是二次函数y=ax2+bx+c( a0 )的图象与x轴交点的 横坐标 . ( 2 )二次函数y=ax2+bx+c( a0 )的图象位于
6、x轴 上方 的部分对应的x的取值范围,就是不等式ax2+bx+c0( a0 )的解集;二次函数y=ax2+bx+c( a0 )的图象位于x轴 下方 的部分对应的x的取值范围,就是不等式ax2+bx+c0时,方程ax2+bx+c=0( a0 )有两个解;当b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0( a0 )有唯一解;当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0( a0 )没有解.反过来,也成立.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,2.用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 根据二次函数与一元二次方程的关系,我们可以作出二次函数y=ax2+bx+c( a0 )的图象,它与x轴交点的
7、横坐标 就是一元二次方程ax2+bx+c=0( a0 )的根. 温馨提示 由于作图或观察有误差,由二次函数的图象求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.用二次函数解决实际问题 ( 1 )在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题,我们要善于通过分析实际问题中的数量关系,尤其是两个变量之间的函数关系,建立二次函数的模型,从而用二次函数解决有关的实际问题. ( 2 )建立起实际问题中的二次函数关系后,要注意根据实际问题确定其自变量的取值范围.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,典例3 ( 2018山东威海 )为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业
8、贷款.小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每月支付其他费用1万元.该产品每月销售量y( 万件 )与销售单价x( 元 )之间的函数关系如图所示.( 1 )求该网店每月利润w( 万元 )与销售单价x( 元 )之间的函数表达式; ( 2 )小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,【解析】( 1 )根据待定系数法分别求线段AB和BC的解析式,再根据利润=( 售价-成本 )销售量-其他费用
9、,得结论;( 2 )分别计算两个利润的最大值,比较可得出利润的最大值,最后计算时间即可求解.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,提分训练 2.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y( m )与水平距离x( m )之间满足函数表达式y=a( x-4 )2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,1.探究二次函数中三角形面积的最大值问题 面积问题是近几年中考的热点之一,常结合
10、一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题,具有一定的综合性.在历届中考试题的解答中,一般都通过分割,建立面积函数,用函数知识解决问题.,考点扫描,备课资料,方法1:分割法 具体方法如下:( 1 )设出点坐标,求边长.根据题意,直接或间接设出所求点的坐标( 若所求的点在抛物线上时,该点的坐标可以设为( x,ax2+bx+c );若所求的点在对称轴上时,该点的坐标可以设为 ;若所求的点在已知直线y=kx+b上时,该点的坐标可以设为( x,kx+b ) ),并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长( 常利用相似三角形性质或勾股定理求解 );( 2 )建立关系式,并计算.观察所求图形的面积能不
11、能直接利用面积公式求出,若能,根据几何图形面积公式得到点坐标或线段长关于面积的二次函数关系式;若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时,则需要根据题意构造相似或全等三角形,得到对应线段比或进行线段等量代换得到所求面积关系式;另外,若所求图形可分割成几个可直接利用面积公式计算的图形,可以分别计算出每个图形的面积,再进行和差计算求解;( 3 )结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或对应函数自变量的取值范围.,考点扫描,备课资料,方法2: 作平行线等积变换法 动点在直线上运动,利用天然的平行条件,通过等积变形,把三角形转化为有一边在坐标轴上的三角形,从而比较简洁地建立函数模型,应用
12、函数知识解决问题.不必分割,不必分类. 方法3:利用“宽高公式”转化法 特殊公式:三角形面积= 水平宽铅垂高,然后利用二次函数求最值的方法求解.,如图,水平宽:指边BC投影到x轴上的线段长度. 求法:水平宽=xC-xB 铅垂高:过点A作x轴的垂线,交BC于点P,线段AP的长度就是铅垂高. 求法:铅垂高=yA-yP,考点扫描,备课资料,典例1 如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点( 点A在点B的左边 ),与y轴交于点C,顶点为M,MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x=-2,点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点,则PAC的面积的最大值为 ( ),C,考点扫描,备课资
13、料,考点扫描,备课资料,典例2 如图,抛物线y=ax2- x-2( a0 )的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为( 4,0 ). ( 1 )求抛物线的解析式; ( 2 )若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求MBC的面积的最大值,并求此时点M的坐标. 【解析】( 1 )该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可;( 2 )MBC的面积可由SMBC= BCh表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描
14、,备课资料,考点扫描,备课资料,解决问题 ( 1 )已知函数y1=x+3( x-3 )与函数y2=( x+3 )2+9( x-3 ),当x取何值时, 有最小值?最小值是多少? ( 2 )已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使用成本最低?最低是多少元? 【解析】( 1 )模仿例题解决问题即可;( 2 )构建函数后,模仿例题解决问题即可.,考点扫描,备课资料,命题点1 二次函数的图象与性质
15、( 常考 ) 1.( 2016安徽第22题 )详见专题八典例6 2.(安徽第22题 )详见专题八典例8,命题点2 确定二次函数图象的位置( 冷考 ) 3.如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+( b-1 )x+c的图象可能是( ),【解析】点P在抛物线上,设点P( x,ax2+bx+c ),又因为点P在直线y1=x上,所以x=ax2+bx+c,即ax2+( b-1 )x+c=0;由图象可知一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c交于第一象限的P,Q两点,方程ax2+( b-1 )x+c=0有两个正实数根,所以函数y=ax2+(
16、b-1 )x+c的图象与x轴有两个交点,并且这两个交点都在x轴的正半轴上,符合条件的只有选项A.,A,命题点3 二次函数的实际应用( 常考 ) 4.( 2017安徽第22题( 2 )( 3 ) )详见专题八典例5 5.( 2018安徽第22题 )小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现: 盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元; 花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2( 单位:元 ). ( 1 )用含x的代数式分别表示W1,W2; ( 2 )当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?,解:( 1 )W1=( 50+x )( 160-2x )=-2x2+60x+8000, W2=( 50-x )19=-19x+950. ( 2 )W=W1+W2=-2x2+41x+8950= . 由于x取整数,根据二次函数性质,得当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9160元.,
