1、20142018年全国中考题组 考点一 锐角三角函数,五年中考,1.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于 ( ) A. B. C.1 D.,答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30= ,故选B.,2.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,3.(2017云南,11,4分)sin 60的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 B sin 60= ,故选B.,4.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4
2、,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理可得BC= ,所以cos B= = .故选A.,5.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与 A,B重合),连接OP,设POB=,则点P的坐标是 ( )A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ),答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q,在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin = ,cos = ,PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.,6.(
3、2015甘肃兰州,4,4分)如图,ABC中,B=90,BC=2AB,则 cos A= ( )A. B. C. D.,答案 D 设AB=k(k0),则BC=2k,B=90,AC= = k,cos A= = = , 故选D.,1.(2016辽宁沈阳,9,2分)如图,在RtABC中,C=90,B=30,AB=8,则BC的长是( )A. B.4 C.8 D.4,考点二 解直角三角形,答案 D C=90,B=30,AC= AB=4,由勾股定理得BC= = =4 , 故选D.,2.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种
4、情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9.BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4, BC=1.综上,BC的长为1或9.,3.(2014重庆,20,7分)如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanBAD= ,求sin C的 值.,解析 ADBC, tanBAD= , (1分) tanBAD= ,AD=12, = , (2分) BD=9. (3分) CD=BC-BD=14-9=5, (4分) 在RtAD
5、C中,AC= = =13, (6分) sin C= = . (7分),1.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂 直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE =7米,升旗台坡面CD的坡度i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米, 则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6)A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米,考点三 解直角三角形的应用,答案 B 如图,延长AB交ED的延长线于M
6、,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , BM=CJ= ,DJ= , 又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE= , 在RtAEM中,tanAEM= ,tan 58= 1.6, 解得AB13.1(米),故选B.,2.(2017重庆A卷,11,4分)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40,若 DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=10.75,坡长BC=10米,则此时AB的长 约为 ( ) (参考数据:sin 400.64,cos
7、400.77,tan 400.84)A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米,答案 A 延长DE交AB于G,作CFAB交AB于点F,在RtBCF中,设CF=4x米,则BF=3x米, BF2+CF2=BC2, (3x)2+(4x)2=102, x=2(负值舍去), CF=8米,BF=6米. 在矩形FGEC中,FG=CE=2米,EG=CF=8米, BG=BF+FG=8米,DG=DE+EG=11米. DHAB,DAB=HDA=40. 在RtAGD中,AG= 13.1米,AB=AG-BG=13.1-8=5.1米.故选A.,思路点拨 通过作垂线,构造直角三角形,用锐角三角函数解决问题.,3
8、.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡 与水平地面夹角的正切值等于 ( )A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地 面夹角的正切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,4.(2016广西南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,B=36,则中 柱AD(D为底边中点)的长是 ( )A.5sin 36米 B.5cos 36米 C.5tan 36米 D.10tan 36米,答案 C
9、 tan B= ,AD=BDtan B=5tan 36米.故选C.,5.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功 完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70 方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如 果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 由题可知ACD=70,BCD=3
10、7,AC=80. 在RtACD中,cosACD= , 0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= , 0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,6.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门 的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变 (所有结果保留小数点后一位). (1)若OBC=50,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此
11、过程中运动的路径长. 参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14.,解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D,在RtOBD中, BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm). OC=OB,BC=2BD. AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm). (2)如图,AB=120 cm,AC=60 cm, BC=AB-AC=60 cm. OC=OB=60 cm,BC=OC=OB, OBC为等边三角形,OBC=60. 点O的运动路径为 , 点O运动的路径长为 =20=62.8(cm).,7.(2018天津,22,10分)
12、如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的 顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整 数). 参考数据:tan 481.11,tan 581.60.,解析 如图,过点D作DEAB,垂足为E.则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90. 可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB= , AB=BCtan 58781.60125. 在RtAED中,tanADE= ,AE=EDtan 48. DC=EB=AB-AE=B
13、Ctan 58-EDtan 48781.60-781.1138. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.,8.(2017陕西,20,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不 易到达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与 “乡思柳”之间的大致距离.于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方 案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23 ,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米;然后,小军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思 柳”顶端M点的
14、仰角为24,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米.请你利用以上所测得 的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长.(结果精确到1米,参考数据:sin 23 0.390 7,cos 230.920 5,tan 230.424 5,sin 240.406 7,cos 240.913 5,tan 240.445 2),解析 作BDMN,垂足为D,作CEMN,垂足为E.设AN=x米,则BD=CE=x米. 在RtMBD中,MD=xtan 23米. 在RtMCE中,ME=xtan 24米. (4分) ME-MD=DE=BC, xtan 24-xtan 23=1.7-1, x= , x34.
15、“聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为34米. (7分),解后反思 解决此类问题的步骤如下:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三 角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系;(2)若三角形是直角三 角形,则根据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,则可通过添加辅助线构造直角三角 形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形, 找准三角形.,9.(2017吉林,21,7分)如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射,当火箭到达点A, B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34,45,其中点O,A,B在同一
16、条直线上.求A,B两点间 的距离(结果精确到0.1 km). (参考数据:sin 34=0.56,cos 34=0.83,tan 34=0.67),解析 由题意,得AOC=90,OC=5 km. 在RtAOC中,tan 34= , OA=OCtan 34=50.67=3.35(km). (3分) 在RtBOC中,BCO=45, OB=OC=5 km. (5分) AB=5-3.35=1.651.7(km). 答:A,B两点间的距离约为1.7 km. (7分) 评分说明:(1)计算过程中写“=”或“”均不扣分; (2)计算过程不加单位不扣分.,10.(2017甘肃兰州,25,8分)如图1,“兰州中
17、山桥”位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前, 是黄河上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥”之美誉.它像一部史诗,记载着兰州 古往今来历史的变迁,桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱梁. 如图2,小芸和小刚分别在桥面上的A,B两处,准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面 的距离,AB=20 m,小芸在A处测得CAB=36,小刚在B处测得CBA=43,求弧形钢架拱梁顶部 C处到桥面的距离.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73;sin 430.68,cos 430.73,tan 430.93),解析 过点C作CDAB于点D. (1
18、分) 设CD=x m. (2分) 在RtADC中,AD= . (3分) 在RtBDC中,BD= . (4分)AD+BD=AB, (5分) + =20. (6分) x8.2. (7分) 答:弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离约为8.2 m. (8分),11.(2016新疆乌鲁木齐,20,10分)如图,建筑物AB的高为6 m,在其正东方向有一个通信塔CD,在 它们之间的地面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37 和60,在A处测得塔顶C的仰角为30,求通信塔CD的高度.(精确到0.01 m),解析 过点A作AECD于E,由题意,易知四边形ABDE是矩形,AB=D
19、E=6 m,AE=BD. 设CE=x m,在RtAEC中,AEC=90,CAE=30, AE= = x m. 在RtCDM中,CD=CE+ED=(x+6)m, DM= = m. 在RtABM中,BM= = m. 由AE=BD=BM+DM,得 x= + (x+6), 解得x= +3,CD= +915.90 m. 答:通信塔CD的高度约为15.90 m.,1.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是 ( )A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5. cos = = .故选D.,2.
20、(2015内蒙古包头,4,3分)在RtABC中,C=90,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tan B的值是 ( ) A. B.3 C. D.2,答案 D 在RtABC中,设BC=x(x0),则AB=3x, AC= =2 x,tan B= =2 .故选D.,3.(2015山东威海,2,3分)如图,在ABC中,ACB=90,ABC=26,BC=5.若用科学计算器求边 AC的长,则下列按键顺序正确的是 ( ),答案 D 在RtACB中,由三角函数的定义得BC、AC与ABC之间的关系为AC=BCtan ABC=5tan 26,计算5tan 26的按键顺序是 .故选D.,4.(2014贵州贵阳,6,3分
21、)在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5,则sin A的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5,所以AB= =13,所以sin A= = , 故选D.,5.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点. 已知菱形的一个角(O)为60,A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 .,答案,解析 如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得AEF=30, BEF=60,AE= a,EB=2a,AEB=90, tanABC= = = .,1.(2015辽宁沈
22、阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG,EF与AD 相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD的边长为 ,则AK= .,考点二 解直角三角形,答案 2 -3,解析 如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB= .在RtGBN 中,GB= ,GBN=30,BN= = =2,AN=BN-AB=2- .NAK=G=90, KNA+NKA=90,KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相等).在Rt KAN中,AN=2- ,NKA=30,AK= = =2 -3.,2.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四
23、边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=AD,连接BD,点E 在AB上,且BDE=15,DE=4 ,DC=2 . (1)求BE的长; (2)求四边形DEBC的面积. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号),解析 (1)在四边形ABCD中, ADBC,ABC=90,BAD=90. AB=AD,ABD=ADB=45. BDE=15,ADE=30. 在RtADE中,DE=4 , AE=sin 304 =2 ,AD=cos 304 =6. AB=AD=6,BE=6-2 . (5分) (2)过点D作DFBC于点F, BFD=90. BAD=ABC=90, 四边形ABFD是矩形, BF=AD=6
24、,DF=AB=6. 在RtDFC中, DC=2 ,FC=4 ,BC=6+4 . S四边形DEBC=SDEB+SBDC=36+6 . (8分),1.(2015山东聊城,10,3分)湖南路大桥于今年5月1日竣工(如图1),为徒骇河景区增添了一道亮 丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔AB底部50米的C 处,测得桥塔顶部A的仰角为41.5(如图2).已知测量仪器CD的高度为1米,则桥塔AB的高度约 为(参考数据:sin 41.50.663,cos 41.50.749,tan 41.50.885) ( )A.34米 B.38米 C.45米 D.50米,考点三 解直角三角
25、形的应用,答案 C 作DEAB于E,则BE=CD=1米,DE=BC=50米,在RtADE中,tan 41.5= = ,所 以AE=tan 41.5500.88550=44.25(米),所以AB=AE+BE45米.故选C.a,2.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C 在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 ( )A.4 km B.(2+ )km C.2 km D.(4- )km,答案 B 如图,在RtABE中,AEB=45, AB=EB=2 km,AE=2 km, EBC
26、=22.5, ECB=AEB-EBC=22.5, EBC=ECB, EB=EC=2 km, AC=AE+EC=(2 +2)km. 在RtADC中,CAD=45, AD=DC=(2+ )km. 即点C到l的距离为(2+ )km,故选B.,3.(2015宁夏,16,3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4.某船从港口A出发,沿北偏东15 方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向,则该船航行 的距离(即AB的长)为 .,答案 2,解析 如图,作ADOB于D. 在RtAOD中, ADO=90,AOD=30,OA=4, AD= OA=2. 在RtABD中, ADB
27、=90,B=CAB-AOB=75-30=45, BD=AD=2, AB= AD=2 , 即该船航行的距离(即AB的长)为2 .,4.(2015江西南昌,12,3分)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示 的几何图形,已知AB=AC=15 cm,BAC=40,则点A到BC的距离为 cm(参考数据:sin 2 00.342,cos 200.940,sin 400.643,cos 400.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器).,答案 14.1,解析 过点A作ADBC于点D,因为AB=AC,BAC=40,所以DAC= BAC=20.在Rt ADC中,AD=ACcos
28、 20150.940=14.1 cm.,5.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在 斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E 在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC= =20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在RtCDE中,DE= x米,CE= x米, 在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF=
29、米, DF=AE=AC+CE,20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD=(80 -120)米.,6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平 行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距 离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高 杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4 ,高杠的支架BD与直线AB的夹角
30、DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.98 3,cos 80.30.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7.(3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),7.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长
31、度为600米,且这段斜坡的坡度 i=13(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的 仰角为33,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用 含非特殊角的三角函数和根式表示即可),解析 过点D作DHBC,垂足为H.斜坡BD的坡度i=13, DHBH=13. 在RtBDH中,BD=600, DH2+(3DH)2=6002, DH=60 ,BH=180 . 设AE=x米,在RtADE中,ADE=45, DE=AE=x, 又HC=DE,EC=DH,HC=x,EC=60 , 在RtABC中,tan 33= = , x= , A
32、C=AE+EC= +60 = . 答:山顶A到地面BC的高度为 米.,8.(2018新疆乌鲁木齐,21,10分)如图,小强想测量楼CD的高度,楼在围墙内,小强只能在围墙外 测量.他无法测得观测点到楼底的距离,于是小强在A处仰望楼顶,测得仰角为37,再往楼的方 向前进30米至B处,测得楼顶的仰角为53(A,B,C三点在一条直线上),求楼CD的高度(结果精确 到0.1米,小强的身高忽略不计).,解析 设楼CD的高度为x米,依题意,有DAC=37,DBC=53, 在RtACD中,DCA=90,tanDAC= , AC= = , 同理,BC= = , (6分) 又AC-BC=AB,即 - =30, 解
33、得x52.3. 答:楼CD的高度约为52.3米. (10分),9.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”约为2 0,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”约为100.图2是其侧面简化示意图,其中视线 AB水平,且与屏幕BC垂直. (1)若屏幕上下宽BC=20 cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长; (2)若肩膀到水平地面的距离DG=100 cm,上臂DE=30 cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面 的距离FH=72 cm.请判断此时是否符合科学要求的100.参考数据:sin 69 ,cos 21 ,tan 20 ,tan
34、 43 ,所有结果精确到个位,解析 (1)如图a,ABBC, B=90.图a 在RtABC中,=20, AB= 20 =55(cm). (3分) (2)如图b,延长FE交DG于点I,图b DGGH,FHGH,EFGH, IEDG, 四边形GHFI是矩形,IG=FH, DI=DG-FH=100-72=28(cm). (4分) 在RtDEI中,sinDEI= = = , DEI69. (5分) =180-69=111100. 此时不符合科学要求的100. (6分),10.(2017新疆乌鲁木齐,21,10分)一艘渔船位于港口A的北偏东60方向,距离港口20海里的B处, 它沿北偏西37方向航行至C处
35、突然出现故障,在C处等待救援,B、C之间的距离为10海里,救援 艇从港口A出发20分钟到达C处,求救援艇的航行速度.(参考数据:sin 370.6,cos 370.8, 1.732,结果取整数),解析 如图所示.BDAD,BECE,CFAF, 由题意知,FAB=60,CBE=37, BAD=30, AB=20海里, BD=10海里. (1分) 在RtABD中,AD= =10 17.32海里. (3分) 在RtBCE中,sin 37= , CE=BCsin 37100.6=6海里. (5分) cos 37= ,EB=BCcos 37100.8=8海里. (7分) EF=AD=17.32海里,FC
36、=EF-CE=11.32海里. AF=ED=EB+BD=18海里. 在RtAFC中,AC= = 21.26海里. (9分) 21.26 64海里/时(21.26201海里/分). 答:救援艇的航行速度是64海里/时(1海里/分). (10分),11.(2017内蒙古呼和浩特,22,7分)如图,地面上小山的两侧有A,B两地,为了测量A,B两地的距离, 让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30角的方向,以每分钟40 m的速度直线飞行,10分钟 后到达C处,此时热气球上的人测得CB与AB成70角,请你用测得的数据求A,B两地的距离.(结 果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可),解析 如图,过点C
37、作CMAB交AB的延长线于点M,由题意得AC=4010=400 m, 在RtACM中,A=30, CM= AC=200 m,AM= AC=200 m, 在RtBCM中,tan 20= , BM=(200tan 20)m, AB=AM-BM=200 -200tan 20=200( -tan 20)m. 因此,A,B两地的距离为200( -tan 20)m.,解题关键 解答本题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形,把实际问题转化为直 角三角形中边角关系问题.,12.(2017四川成都,18,8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小明一家自驾 到古镇C游玩,到达A地后,导航显
38、示车辆应沿北偏西60方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45 方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.,解析 过B作BHAC于点H,在RtABH中,AB=4千米,BAH=60, sin 60= = ,BH= AB= 4=2 千米, 在RtCBH中,CBH=45,BH=2 千米, cos 45= = ,BC= BH=2 =2 千米. 答:B,C两地的距离为2 千米.,13.(2017天津,22,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120海里的A处,它 沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和BA的长(
39、结果 取整数). (参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 642.05, 取1.414),解析 如图,过点P作PCAB,垂足为C,由题意可知,A=64,B=45,PA=120, 在RtAPC中,sin A= ,cos A= , PC=PAsin A=120sin 64, AC=PAcos A=120cos 64.,在RtBPC中,sin B= ,tan B= , BP= = 153(海里), BC= = =PC=120sin 64, BA=BC+AC=120sin 64+120cos 641200.90+1200.44161(海里). 答:BP的长约为153海里,BA的
40、长约为161海里.,14.(2017湖北黄冈,22,8分)在黄冈长江大桥的东端一处空地上,有一块矩形的标语牌ABCD(如 图所示).已知标语牌的高AB=5 m.在地面的点E处,测得标语牌点A的仰角为30,在地面的点F 处,测得标语牌点A的仰角为75,且点E,F,B,C在同一直线上.求点E与点F之间的距离. (结果精确到0.1米,参考数据: 1.41, 1.73),解析 过点F作FMAE于点M.AFB=75,E=30, EAF=45,设AM=MF=x. (1分) 在RtABE中,AB=5,E=30, AE=2AB=10. (3分) 在RtEMF中,E=30,MF=x,EF=2x,EM= x. 又
41、AE=AM+EM,x+ x=10. x=5( -1). (6分) EF=2x=10( -1)10(1.73-1)=7.3.,即点E与点F之间的距离约为7.3米. (8分),15.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到 指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其 南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/时,B船的航速为 25海里/时,问:C船至少要等待多长时间才能得到救援? 参考数据:sin 53 ,cos 53 ,tan 53 , 1.41,解析 过点C
42、作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90. (1分) 已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里. (3分) 在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53, x= =20. (6分) BC= = 20 =25海里. B船到达C船处约需时间:2525=1(小时). (7分) 在RtADC中,AC= x1.4120=28.2海里, A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时). (8分) 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分),解题技巧 本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍
43、两种典型问题: (1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD= ,BD= . CD+BD=a, + =a,x= .(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD= ,CD= , CD-BD=a, - =a, x= .,16.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB 和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长. (参考数据:sin 750.97,cos 750.26, 1.41),解析 在RtBDF中,由sin = 可得, DF=BDsin =600sin 45=600 =300 423(m). (3分) 在RtAB
44、C中,由cos = 可得, BC=ABcos =600cos 756000.26=156(m). (6分) 所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m). (8分),17.(2016内蒙古呼和浩特,18,6分)在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度.如 图,已知塔基顶端B(和A、E共线)与地面C处固定的绳索的长BC为80 m.他先测得BCA=35, 然后从C点沿AC方向走30 m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50.求塔高AE.(人的高度忽略不 计,结果用含非特殊角的三角函数表示),解析 已知BCA=35,BC=80 m,由题意得EDA=50,DC=30 m. 在
45、RtABC中,cos 35= , AC=BCcos 35=80cos 35(m). (2分) 在RtADE中,tan 50= , (3分) AD=AC+DC=(80cos 35+30)m, (4分) AE=(80cos 35+30)tan 50m. (5分) 答:塔高为(80cos 35+30)tan 50m. (6分),18.(2016山东青岛,18,6分)如图,AB是长为10 m,倾斜角为37的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂 直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65,求大楼CE的高度(结果保留整 数).参考数据:sin 37 ,tan 37 ,sin 65 ,tan 6
46、5,解析 过B作BFAE于F,在RtABF中,sin 37= , , BF6. BFE=BDE=DEF=90, 四边形BFED是矩形, BF=DE=6. 在RtBCD中,tan 65= , , CD . CE=CD+DE= +627. 答:楼高CE约为27米. (6分),19.(2016吉林,21,7分)如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机 上看地平面指挥台B的俯角=43.求A与指挥台B的距离(结果取整数). (参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93),解析 根据题意,得ACB=90,ABC=43,AC=1 200 m.(2分) 在RtABC中,sinABC= , (4分) AB= = = 1 765(m). 答:飞机A与指挥台B的距离约为1 765 m. (7分) 评分说明:(1)计算过程加单位,不加单位均不扣分. (2)计算过程与结果中写“”或“=”均不扣分.,
