1、20142018年全国中考题组 考点一 二次函数的图象与性质,五年中考,1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25,答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.,2.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y 轴右侧.有下列结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数
2、根; -3a+b3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,抛物线 不能经过点(1,0),错误.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴 在y轴右侧,抛物线开口向下,与直线y=2有两个交点,方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数 根,故正确.抛物线的对称轴在y轴右侧,- 0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y= ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.故正
3、确.故选C.,3.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3,答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是 直线x=-1,选项B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=- 3,选项D正确.故选D.,4.(2017陕西,10,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.
4、若点 M在这条抛物线上,则点M的坐标为 ( ) A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20),答案 C y=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M 在抛物线上,m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C.,5.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该 抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物 线解析式为 ( ) A.y=x2+2x+1 B.y
5、=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1,答案 A 令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). y=x2-4x+3=(x-2)2-1,点M的坐标为(2,-1), 平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上, 抛物线向上平移了1个单位长度,向左平移了3个单位长度, 平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A.,解题关键 正确得出平移的方向和距离是解题的关键.,6.(2017黑龙江哈尔滨,4,3分)抛物线y=- -3的顶点坐标是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 抛物
6、线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k), 抛物线y=- -3的顶点坐标为 .故选B.,7.(2016四川南充,5,3分)抛物线y=x2+2x+3的对称轴是 ( ) A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=-2 D.直线x=2,答案 B 抛物线的对称轴为直线x=- =- =-1,故选B.,8.(2017上海,13,4分)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数 的解析式可以是 .(只需写一个),答案 y=x2-1(答案不唯一),解析 依题意,设二次函数的解析式为y=ax2-1(a0), 因为抛物线的开口向上,所以a取正数即可.,9.(2017甘肃兰州
7、,18,4分)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称, 则Q点的坐标为 .,答案 (-2,0),解析 P,Q两点关于对称轴x=1对称,则P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,设点Q的横坐标为m, 则 =1,解得m=-2.Q点的坐标为(-2,0).,10.(2016山东青岛,20,8分)如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角 坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边OA的距离分别为 m, m. (1)求该抛物线的解析式,并求图案最高点到地面的距离; (2)若该墙的长
8、度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案?,解析 (1)由题意可知,B ,C , 代入y=ax2+bx得: 解得 y=-x2+2x=-(x-1)2+1. 答:该抛物线的解析式是y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是1 m. (5分) (2)当y=0时,-x2+2x=0, x1=0,x2=2, 102=5(个). 答:最多可以连续绘制5个抛物线型图案. (8分),考点二 系数a、b、c的作用,1.(2018山东滨州,10,3分)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点 C,与x轴交于点A、点B(-1,0)则二次函数的最大值为a+b+c;a-
9、b+c0 时,-1x3.其中正确的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由图象可知,当x=1时,函数值取到最大值,最大值为:a+b+c,故正确;因为抛物线经 过点B(-1,0),所以当x=-1时,y=a-b+c=0,故错误;因为该函数图象与x轴有两个交点A、B,所以b2 -4ac0,故错误;因为点A与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据图象可知,当y0时,-1x3, 故正确;故选B.,2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列 说法正确的是 ( )A.abc0 B.abc0,b2-4ac0 C.ab
10、c0,b2-4ac0,答案 B 因为抛物线的开口向上,所以a0,又对称轴在y轴右侧,所以- 0,所以b0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.,思路分析 本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴 的交点位置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.,3.(2017新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,有下列结 论: abc0; 抛物线经过点(4,y1)与点(-3,y2),则y1y2; 无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点 ; am2+bm+a0.
11、 其中所有正确的结论是 .,答案 ,解析 因为图象开口向上,所以a0;因为对称轴为直线x=1,所以- =1,得b=-2a0,错误; 由题图可知抛物线与x轴交于点(-1,0),且对称轴为直线x=1,所以抛物线与x轴的另一个交点为 (3,0), 所以当x=3时,y=0,即9a+3b+c=0,所以10a+3b+c=a0,正确; 由抛物线的对称性可知,点(-3,y2)关于对称轴的对称点是(5,y2),当x1时,y随x的增大而增大,因 为45,所以y1y2,错误; 由题意知抛物线的解析式可以为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 结合y=ax2+bx+c可知c=-3a,即- =3. 当x=
12、3时,y=a32-2a3-3a=0, 所以抛物线一定过点(3,0),即过点 ,正确; 因为b=-2a,所以am2+bm+a=am2-2am+a=a(m-1)20,正确. 综上所述,正确.,考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系,1.(2018内蒙古呼和浩特,10,3分)若满足 2成立,则 实数m的取值范围是 ( ) A.m-1 B.m-5 C.m-4 D.m-4,答案 D 2可变形为2x2-x-m ,作出函数y=2x2-x-m,y= 的图 象,如图所示,易知抛物线的对称轴为直线x= ,当 2恒成立,即2x2-x-m 恒成 立,只需抛物线与双曲线的交点的横坐标x 即可,将x= 代入y= ,得y
13、=4,将 代入y=2x,2-x-m,解得m=-4.抛物线越往上平移越符合题意,m-4.,2.(2016辽宁沈阳,10,2分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B (x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中-3x1y2 C.y的最小值是-3 D.y的最小值是-4,答案 D 二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4图象的顶点坐标为(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1, 则二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴的两个交点为(-3,0),(1,0).由-3x1x20及二次函数的图象 可知,y1,y2的大小不能确定,选项A,
14、B错误;ymin=-4,选项C错误,故选D.,评析 本题考查了二次函数的图象和性质,难度适中.,3.(2014山东济南,15,3分)二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次 方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有解,则t的取值范围是 ( )A.t-1 B.-1t3 C.-1t8 D.3t8,答案 C 因为抛物线y=x2+bx的对称轴为直线x=1,所以b=-2,则y=x2-2x,所以当x=1时,y有最小 值-1,把x=-1代入x2-2x-t=0,得t=3.把x=4代入x2-2x-t=0,得t=8.所以当-1x4时,-1t8.故当-1t 8时,一元二
15、次方程x2+bx-t=0在-1x4的范围内有解.故选C.,4.(2016陕西,10,3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连 接AC、BC,则tanCAB的值为 ( ) A. B. C. D.2,答案 D 不妨设点A在点B左侧, 如图,作CDAB交AB于点D, 当y=0时,-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, 所以A(-3,0),B(1,0), 所以AB=4, 因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 所以顶点C(-1,4), 所以AD=2,CD=4, 所以tanCAB= =2,故选D.,评析 本题考查了二次函数的图象和性质,求
16、某个角的三角函数值.属于容易题.,5.(2017湖北咸宁,12,3分)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于 x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是 .,答案 x4,解析 观察函数图象可知:当x4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,不等式 mx+nax2+bx+c的解集为x4.,6.(2016宁夏,10,3分)若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是 .,答案 m1,解析 当二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点时,方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数 根,所以=4-4m0
17、,解得m1.所以m的取值范围是m1.,7.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴 相交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积; (2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧), 并与y轴相交于点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达 式.,解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0, 解得x=-3或x=2, A(-3,0),B(2,0). (2分) AB=5, 令x=0,得y=-6, C(0,-6), (3分) OC=6, SABC
18、= ABOC= 56=15. (4分) (2)由题意,得AB=AB=5. 要使SABC=SABC,只要抛物线L与y轴的交点为C(0,-6)或C(0,6)即可. 设所求抛物线L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6. (7分) 又知,抛物线L与抛物线L的顶点纵坐标相同, = , = , 解得m=7,n=1(n=1舍去).,抛物线L的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6. (10分),8.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=- x2+bx+c的图象经过A(0,3),B 两点. (1)求b、c的值; (2)二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴是否有公共
19、点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理 由.,解析 (1)二次函数y=- x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B 两点, 解得 b= ,c=3. (4分) (2) y=- x2+bx+c=- x2+ x+3. 由- x2+ x+3=0得x2-6x-16=0, 解得x=-2或x=8. (6分) 二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0). (8分),教师专用题组,考点一 二次函数的图象与性质,1.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在 ( ) A.第一象限 B.
20、第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 C 当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得- =- 0,= = 0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.,2.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 ( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2,答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最 小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在ax a+1内,
21、y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0a 1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.,3.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为 ( ) A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2 C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6,答案 A 直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.故选A.,4.(2015辽宁沈阳,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a0)
22、的图象可能是 ( ),答案 D 二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该 点在x轴上,符合这一条件的图象只有D.故选D.,5.(2015福建福州,10,3分)已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围 内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是 ( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数,答案 D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A不符 合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x的某个取值范围内,函数值y随x的增大而增
23、大,所 以B、C不符合题意;只有D正确,故选D.,6.(2014甘肃兰州,6,4分)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是 ( ) A.y轴 B.直线x=-1 C.直线x=1 D.直线x=-3,答案 C 抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是直线x=1,故选C.,评析 本题考查了二次函数的性质,属容易题.,7.(2014四川成都,9,3分)将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为 ( ) A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2,答案 D y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.故选D.,
24、8.(2014河南,1,3分)下列各数中,最小的数是 ( ) A.0 B. C.- D.-3,答案 D 正数大于0,负数小于0,两个负数绝对值大的反而小,所以-3- 0 ,故选D.,9.(2015吉林长春,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD.则对角线BD的最小值为 .,答案 1,解析 四边形ABCD是矩形,AC=BD.当A在抛物线的顶点处时,AC最短,此时A(1,1),AC=1, BD=1.即对角线BD的最小值为1.,10.(2014天津,16,3分)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是
25、.,答案 (1,2),解析 解法一:可把抛物线解析式配方成顶点式为y=(x-1)2+2,由顶点式可知,顶点坐标为(1,2). 解法二:可根据抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标公式 ,直接求出顶点坐标为(1,2).,11.(2015天津,25,10分)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数). (1)当b=2,c=-3时,求二次函数的最小值; (2)当c=5时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析 式; (3)当c=b2时,若在自变量x的值满足bxb+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求 此时二次函数的解析式.,解析 (1)当b=2,c
26、=-3时,二次函数的解析式为y=x2+2x-3,即y=(x+1)2-4. 当x=-1时,二次函数取得最小值-4. (2)当c=5时,二次函数的解析式为y=x2+bx+5. 由题意,得方程x2+bx+5=1,即x2+bx+4=0有两个相等的实数根. 有=b2-16=0,解得b1=4,b2=-4. 此时二次函数的解析式为y=x2+4x+5或y=x2-4x+5. (3)当c=b2时,二次函数的解析式为y=x2+bx+b2. 它的图象是开口向上,对称轴为x=- 的抛物线. 若- 0, 在自变量x的值满足bxb+3的情况下,与其对应的函数值y随x的增大而增大, 故当x=b时,y=b2+bb+b2=3b2
27、为最小值. 3b2=21, 解得b1=- (舍),b2= . 若b- b+3,即-2b0,当x=- 时,y= +b +b2= b2为最小值. b2=21, 解得b1=-2 (舍),b2=2 (舍). 若- b+3,即b-2,则在自变量x的值满足bxb+3的情况下,与其对应的函数值y随x的增大 而减小, 故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值. 3b2+9b+9=21,即b2+3b-4=0. 解得b1=1(舍),b2=-4. 综上所述,b= 或b=-4. 此时二次函数的解析式为y=x2+ x+7或y=x2-4x+16.,12.(2015北京,27,7分)
28、在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于 点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B. (1)求点A,B的坐标; (2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标; (3)若抛物线C2:y=ax2(a0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.备用图,解析 (1)由题意可得,点A的纵坐标为2. x-1=2,解得x=3. 点A的坐标为(3,2). 点B与点A关于直线x=1对称, 点B的坐标为(-1,2). (2)抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B, 解得 抛物线C1的表达式为y=x2-2x-1. y=x2-
29、2x-1=(x-1)2-2, 抛物线C1的顶点坐标为(1,-2). (3)由题意可知,a0. 当抛物线C2经过点B时,a=2,此时抛物线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意.,当抛物线C2经过点A时,a= . 结合函数的图象可知,a的取值范围为 a2.,13.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; (2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标; 将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2
30、,求a的值.备用图,解析 (1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5. (1分) 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0), (2分) 对称轴为直线x=2. (3分) (2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0), 可得其对称轴为直线x=- =2. (4分) 令x=0,有y=-5. 抛物线C1过定点(0,-5). (5分) 易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5), 由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5). (6分) y=-ax2+4ax-5(
31、或y=-a(x-2)2+4a-5). (7分) (3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5,抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5), (8分) |4a-5|=2,解得a1= ,a2= . (9分),考点二 系数a、b、c的作用,1.(2015内蒙古包头,12,3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对 称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:当x3时,y8a. 其中正确的结论是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由已知条件可知a3时, y2,4ac-b28a.故错,
32、正确.故选B.,2.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个 结论: 该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;a-b+c0; 的最小值为3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 D ba0,- 0,且抛物线与x轴最多有一个交点, y0, 当x=-1时,a-b+c0, 正确; y0,当x=-2时,4a-2b+c0, 即a+b+c3b-3a,即a+b+c3(b-a),ba,b-a0, 3,正确.故选D.,3.(2015山东聊城,16,3分)二次函数y=ax2
33、+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:2a+b=0;a+ cb;抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);abc0.其中正确的结论是 (填写序号).,答案 ,解析 因为抛物线的对称轴是直线x=1,所以- =1,-b=2a,2a+b=0,故正确;由题中图象 知,当x=-1时,y=a-b+c0,又- 0,所以b0,故正确.,4.(2014江苏扬州,16,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直 线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为 .,答案 0,解析 点(4,0)关于对称轴x=1对称的点为(-2,0),当x=-2时,y=4a-2b
34、+c=0.,5.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y =ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4,B(0,4). 点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4得x=-1, A(-1,0). 将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为
35、直线x=- =- =1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直 线x=1的对称点(3,0). a0时,如图1.,图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4, a . a0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.,图2 将x=0代入抛物线得y=-3a, 抛物线与线段BC恰有一个公共点, -3a4, a- . 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.,图3 将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a 或a- 或a=-1.,考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系,1.(
36、2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共 点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则 ( ) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确,2.(2015浙江宁波,11,4分)二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6 x7这一段位于x轴的上方,则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2,答案 A 二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段
37、 位于x轴的上方, 当x= 时,二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象位于x轴的下方;当x= 时,二次函数y=a(x-4)2-4(a 0)的图象位于x轴的上方, a . 结合各选项知a的值为1.故选A.,3.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到 的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 ( ) A.b8 B.b-8 C.b8 D.b-8,答案 D 由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象. 将 代入得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4
38、(8-b)=4b+320,所以b- 8,故选D.,4.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y= x的图象如图所示,则方 程ax2+ x+c=0(a0)的两根之和 ( )A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定,答案 A 根据题图可知a0,b0. 在方程ax2+ x+c=0(a0)中,= -4ac=b2- b+ -4ac=b2-4ac- b+ 0,设此方程的两 根分别为x1,x2,则x1+x2=- =- + 0,故选A.,5.(2014江苏南京,16,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:,则当y5时,x
39、的取值范围是 .,答案 0x4,解析 由抛物线的对称性及题中表格可知,当x=0或4时,y=5,又抛物线开口向上,故当0x4时,y 5.,6.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.,解析 (1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0, 因为=(4+k)2+40,所以直线l与该抛物线总有两个交点. (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1), 易知x
40、1+x2=4+k=2,x1x2=-1, 所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2 , 所以OAB的面积S= OC|x1-x2|= 12 = .,7.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左 侧),与y轴交于点C. (1)求直线BC的表达式; (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合 函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.,解析 (1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=3. 抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A
41、,B(点A在点B的左侧), 点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0). 令x=0,得y=3. 抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C, 点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+b,k0, 解得 直线BC的表达式为y=-x+3. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2. 由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)关于直线x=2对称, x2-2=2-x1,x1+x2=4. 由x1x2x3,结合函数的图象,可得-1y30,即-1-x3+30,解得3x34. 7x1+x2+x38.,8.(2016河北,26,
42、12分)如图,抛物线L:y=- (x-t)(x-t+4)(常数t0)与x轴从左到右的交点为B,A,过 线段OA的中点M作MPx轴,交双曲线y= (k0,x0)于点P,且OAMP=12. (1)求k值; (2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离; (3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标; (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程, 写出t 的取值范围.,解析 (1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OAMP=12,得2xy=12,即xy=6. k=xy=
43、6. (3分) (2)当t=1时,令y=0,0=- (x-1)(x+3), x1=1,x2=-3. 由B在A左边,得B(-3,0),A(1,0), AB=4. (5分) L的对称轴为x=-1,而M为 , MP与L对称轴之间的距离为 . (6分) (3)A(t,0),B(t-4,0), L的对称轴为x=t-2. (7分) 又MP为x= , 当t-2 ,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;,当t4时,L与MP的交点 就是G的最高点. (10分) (4)5t8- 或7t8+ . (12分) 注:如果考生答“5t8+ ”给1分 【供评卷人参考:(4)的简解. 对于双曲线,当4x06时,1y0
44、, 即L与双曲线在C ,D(6,1)之间的一段有个交点. 由 =- (4-t)(4-t+4),得t1=5,t2=7; 由1=- (6-t)(6-t+4),得t3=8- ,t4=8+ . 随着t的逐渐增大,L位置随着点A(t,0)向右平移,如图所示.,当t=5时,L右侧过点C;当t=8- 7时,L右侧过点D.即5t8- . 当8- t7时,L右侧离开了点D,而左侧未到点C,即L与该段无交点,舍去. 当t=7时,L左侧过点C;当t=8+ 时,L左侧过点D.即7t8+ 】,9.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且ab. (1)求抛
45、物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (2)说明直线与抛物线有两个交点; (3)直线与抛物线的另一个交点记为N. (i)若-1a- ,求线段MN长度的取值范围; (ii)求QMN面积的最小值.,解析 (1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a. 所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a - , 所以抛物线顶点Q的坐标为 . (2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0), 所以0=21+m,解得m=-2. 把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0, 所以=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4, 由(1)知b
46、=-2a,又a0. 所以0,所以方程有两个不相等的实数根, 故直线与抛物线有两个交点. (3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a, 得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+ x-2+ =0, 所以 = ,解得x1=1,x2= -2, 所以点N . (i)根据勾股定理得,MN2= + = - +45=20 , 因为-1a- , 由反比例函数的性质知-2 -1, 所以 - 0, 所以MN=2 =3 - , 所以5 MN7 . (ii)作直线x=- 交直线y=2x-2于点E.,把x=- 代入y=2x-2得,y=-3,即E . 又因为M(1,0),N ,且由(2)知a ,所以8S-540,
47、所以8S-5436 ,即S + , 当S= + 时,由方程可得a=- 满足题意. 故当a=- ,b= 时,QMN面积的最小值为 + .,10.(2016内蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a0)的最大值为4,且抛物线过点 .点P(t,0)是x轴上的动点,抛物线与y轴的交点为C,顶点为D. (1)求该二次函数的解析式及顶点D的坐标; (2)求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标; (3)设Q(0,2t)是y轴上的动点,若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点,求t的取值.,解析 (1)y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1, 所以抛
48、物线过(1,4)和 两点. (1分) 代入解析式得 (2分) 解得a=-1,c=3, y=-x2+2x+3, (3分) 顶点D的坐标为(1,4). (4分) (2)C、D两点的坐标为(0,3),(1,4), 由三角形两边之差小于第三边可知|PC-PD|CD|, (5分) P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值,此时最大值为|CD|= . (6分) 易知CD所在直线的方程为y=x+3, 将P(t,0)代入得t=-3, 此时对应的点P为(-3,0). (7分) (3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化为,y= (8分),设线段PQ所在直线的方程为y=kx+b(k0),将P(t,0),Q(0,2t)代入得到线段PQ所在直线的方程 为y=-2x+2t, (9分) 当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时,线段PQ与函数y= 的图象有一 个公共点,此时t= , 当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时,t=3,此时线段PQ与y= 的图象有两 个公共点,所以当 t0, 所以当t= 时,线段PQ与y= 的图象也有一个公共点. (11分) 当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(-3,0)重合时,线段PQ只与y=-x2-2x+3(x0)的图象有一个公共,
