1、1/81.3.2 球的体积和表面积学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1球的体积设球的半径为 R，则球的体积 V R3.432球的表面积设球的半径为 R，则球的表面积 S4R 2，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍 基础自测1思考辨析(1)球的体积之比等于半径比的平方( )(2)长方体既有外接球又有内切球( )(3)球面展开一定是平面的圆面( )(4)球的三视图都是圆( )提示 (1) 体积比应为 半径比的立方(2) 长方体不一定有内切球(3) 球面展
2、不成平面(4)2若球的过球心的圆面的周长是 C，则这个球的表面积是( )A B C D2C 2C24 C22 C2C 由 2R C，得 R ，所以 S 球面 4 R2 .C2 C23若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( )A2 倍 B4 倍 C8 倍 D16 倍2/8C 设 气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V r3.当气球的半径扩大到原来43的 2 倍后，其体积变为 (2r)38 r3.43 434一个球的外切正方体的表面积为 6 cm2，则此球的体积为( )A cm3 B cm343 68C cm3 D cm316 66C 设 球的直径为 2R cm，则正方体的
3、棱长为 2R cm，所以 64R26，解得R ，所以球的体积为 (cm3)12 43 18 16合 作 探 究攻 重 难球的表面积与体积(1) 已知球的表面积为 64，求它的体积；(2)已知球的体积为 ，求它的表面积5003【导学号：07742066】解 (1)设球的半径为 r，则由已知得4r264 ，r4.所以球的体积：V r3 .43 2563(2)设球的半径 为 R，由已知得R3 ，所以 R5，43 5003所以球的表面积为：S4R 24 52100.规律方法 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论1关键：把握住球的表面 积公式 S 球 4 R2，球的体积公式 V 球 R3 是计43算球
4、的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积3/8与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.2两个结论： 两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.跟踪训练1过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48 cm2，则球的表面积为_cm 2.256 易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的 过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48 cm2，可得AC4 cm.设 OAR ，则 OC R，所以 R2 (4 )2，解得 R8 cm.故球312 (12R)23
5、的表面积 S4R 2256(cm 2)2一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm，则该球的体积是 ( )A cm3 B cm31003 2083C cm3 D cm35003 416133C 根据球的截面的性质，得球的半径 R 5(cm) ，所以 V 球32 42 R3 (cm3)43 5003球的表面积及体积的应用一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降4/8后减少的体积来建立一
6、个关系式来解决解 设PAB 所在平面为轴截面， AB 为水平面，设球未取出时，水面高 PCh，球取出后水面高 PHx ，如 图 所示AC r，PC3r ，3以 AB 为底面直径的圆锥的容积为V 圆锥 AC2PC13 ( r)23r3r 3，V 球 r3.13 3 43球取出后水面下降到 EF，水的体积为V 水 EH2PH13 (PHtan 30)2PH x3.13 19而 V 水 V 圆锥 V 球 ，即 x33r 3 r3，x r.19 43 315故球取出后水面的高为 r.315规律方法 1画出截面图是解答本题的关键2球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是
7、表面积问题，然后再利用等量关系进行计算跟踪训练2圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？解 设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V 球2 3 ，此体 积即等于它们在容器中排出水的体 积 V5 2h，43 (52) 1253所以 5 2h，所以 h (cm)，1253 535/8即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm.53与球有关的切、接问题探究问题1若长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则其外接球半径 R 与三条棱长有何关系？提示 2R .a2 b2 c22棱长为 a 的正
8、方体的外接球，其半径 R 与棱长 a 有何数量关系？其内切球呢？提示 外接球半径 R a；内接球半径 R a.32 123若一球与正方体的 12 条棱相切，则球半径 R 与棱长 a 有何数量关系？提示 R a.22(1) 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为( )【导学号：07742068】2A B4 6 3C4 D6 6 3(2)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O的表面积为_思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径 R，进而求出其体积(2)先求出球半径，再求球的表面积(1)B (2)14 (1)画出截
9、面图，如图：R . 22 12 36/8其体积 V R34 .43 3故选 B.(2)球的直径是长方体的体对角线，2R ，S4R 214.32 22 12 14母题探究：1.若把本例(2)换成“棱长为 2 的正方体的各个顶点均在同一球面上” ，求此球的体积解 正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即 2R ，所以 R ，22 22 22 3所以 V 球 ( )34 .43 3 32若把本例(2)换成“棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上” ，求球的表面积解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a x，2由题意 2R x a，3 32a2 62所以 R a，所
10、以 S 球 4R2 a2.64 323若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a” ，求球的表面积和体积解 以三棱 锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体， 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故 2R a，R a，所以 S 球 4 R26a 2，a2 a2 2a2 662V 球 R3 a3.43 43 ( 62a)36规律方法 球的切接问题处理策略及常用结论1在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.2几个常用结论
11、7/8球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥 S 底 h S 表 R，求球的半径 R.13 13当 堂 达 标固 双 基1直径为 6 的球的表面积和体积分别是( )A144，144 B144，36C36，144 D36，36D 半径 R 3.所以 S 表 4R236，V R3 2736.43 43故选 D.2正方体的表面积为 54，则它的外接球的表面积为( )【导学号：07742069】
12、A27 B 823C36 D 932A 设 正方体的棱长为 a，则 S6a 254， a3.其外接球半径为 R a .32 332外接球表面积为 S4R 24 27.(332)23表面积为 Q 的多面体的每一个面都与表面积为 64 的球相切，则这个多面体的体积为( )A. Q BQ C. Q D2Q13 438/8C 4R 264R4， V QR Q，故选 C.13 434两个半径为 1 的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_. 【导学号：07742070】设大球的半径为 R，则有 R32 13，R32，所以 R .3243 43 325圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是 r，圆柱、圆锥的高都是 2r，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比解 (1)V 圆 柱 r 22r2r 3，V 圆锥 r22r r3，13 23V 球 r3，43所以 V 圆柱 V 圆锥 V 球 312.(2)S 圆柱 2 r2r2r 26r 2，S 圆锥 r r 2( 1)r 2，4r2 r2 5S 球 4r 2，所以 S 圆柱 S 圆锥 S 球 6( 1)4.5
