1、第 1 课时 绝对值三角不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理 1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理 2).3.会用定理 1、定理 2 解决简单的绝对值不等式问题.知识点 绝对值三角不等式思考 1 实数 a 的绝对值|a| 的几何意义是什么？答案 |a| 表示数轴上以 a 为坐标的点 A 到原点的距离.思考 2 代数式|x 2| x3|的几何意义是什么？答案 表示数轴上的点 x 到点2,3 的距离之和.梳理 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立.几何解释：用向量 a，b 分别替换 a
2、，b.当 a与 b不共线时，有|a b|a| b|，其几何意义为两边之和大于第三边；若 a，b 共线，当 a与 b同向时，|ab| |a| b|，当 a与 b反向时，|ab| |a| b|；由于定理 1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.定理 1 的推广：如果 a，b 是实数，那么 a| b |ab|a| b|.(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac |ab| bc|.当且仅当(ab)( bc )0 时，等号成立.几何解释：在数轴上，a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C，当点 B 在点 A，C 之间时，|ac| ab|bc |.当点 B 不在点 A，C
3、之间时：点 B 在 A 或 C 上时，|ac| ab|bc |；点 B 不在 A，C 上时，|ac| ab|bc |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.1.|a b|a|b|成立的条件是 ab0.( )2.对一切 xR，不等式| xa| |xb| ab|成立.( )类型一 含绝对值不等式的证明例 1 设函数 f(x)x 22x ，实数 |xa|1.求证：|f( x)f(a)|2| a|3.证明 f( x)x 22x ，且|xa|1，|f(x) f(a)| x22xa 22a|( xa )(xa)2(x a)|( xa )(xa2)|x a|xa2|x a2| |(xa)(2 a2
4、)|x a| |2a2|1|2a| |2|2|a| 3，|f(x) f(a)|2| a|3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用 a| b |ab|a| b|，通过适当的添、拆项证明.另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.跟踪训练 1 已知|Aa| ，|Bb| ，s3 s3|Cc| ，求证： |(ABC) (abc)|s.s3证明 |(ABC)( abc)|( Aa) (B b)(Cc)|(Aa )( B
5、b)| Cc|Aa| |Bb| |Cc|，又 |Aa| ，| Bb| ，|Cc | ，s3 s3 s3|Aa| Bb|Cc | s，s3 s3 s3|(ABC )( abc)|s.类型二 利用绝对值三角不等式求最值例 2 (1)求函数 y|x 3| x1| 的最大值和最小值；(2)如果关于 x 的不等式|x 3|x4| a 的解集为空集，求参数 a 的取值范围.解 (1)方法一 x3| x1 |(x3)( x1)| 4， 4| x3|x 1|4，y max4，y min4.方法二 把函数看作分段函数，y|x 3| |x 1|Error! 4y4， ymax4，y min4.(2)只要 a 不大
6、于| x3| |x4| 的最小值，则|x 3|x4|a 的解集为空集，而|x 3|x4| x3| |4x| |x34x| 1，当且仅当(x3)(4x)0，即 3x 4 时等号成立.当 3x4 时， |x3| |x4|取得最小值 1.a 的取值范围为( ，1.反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式.(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.跟踪训练 2 (1)已知 xR，求 f(x)| x1| x2|的最值；(2)若|x 3|x1|a 的解集不是 R，求 a 的取值范围.解 (1)| f(x)| x1|x 2 |(x1)
7、(x2)|3， 3f(x)3， f(x)min3，f (x)max3.(2)|x3|x 1|(x3)(x1)|4，|x3|x1|4.当 a4 时，|x 3|x 1|a 的解集为 R.又 |x 3|x1|a 的解集不是 R，a4.a 的取值范围是4， ).类型三 绝对值三角不等式的综合应用例 3 设函数 f(x)|x | xa|(a0)，1a(1)证明：f(x) 2；(2)若 f(3)5，求 a 的取值范围.(1)证明 由 a0，可得 f(x) |xa|x 1a| a2，所以 f(x)2.|x 1a x a| 1a(2)解 f(3) |3 a|，|3 1a|当 a3 时，f(3)a ，1a由 f
8、(3)5，得 3a ；5 212当 0a3 时，f(3)6a ，1a由 f(3)5，得 a3.1 52综上可知，a 的取值范围是 .(1 52 ，5 212 )反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件.跟踪训练 3 设 f(x)ax 2bxc ，当|x| 1 时，恒有|f(x)|1，求证：|f (2)|7.证明 因为当|x |1 时，有|f(x)|1，所以|f(0)|c|1，|f (1)|1，|f (1)|1，又 f(1)abc ，f(
9、1)abc，所以|f(2)|4a2bc |3( abc)(abc )3c|3 f(1)f( 1)3f(0)|3|f(1)|f( 1)|3| f(0)|3137，所以|f(2)|7.1.已知|xm| ，| yn| ，则|4 x2y4m 2n|小于( )2 2A. B.2C.3D.2答案 C解析 |4x2y4m2n| |4( xm)2(yn)|4|xm|2|yn|4 2 3.2 22.若|xa| h，| ya| ，则下列不等式一定成立的是( )A.|xy |2h B.|xy|2 C.|xy|h D.|xy |h |答案 C解析 |xy| |(x a)(ya)| |xa| ya|h .3.已知|a
10、|b|， m ，n ，则 m，n 之间的大小关系是( )|a| |b|a b| |a| |b|a b|A.mn B.mnC.mn D.mn答案 D解析 m 1.|a| |b|a b| |a b|a b|又 n 1，|a| |b|a b| |a b|a b|mn.4.已知 xR，不等式| x1| |x3| a 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A.( ，4 B.4，)C.1,3 D.1,3答案 B解析 |x1| | x3|(x 1)(x3)|4，a4.5.下列四个不等式：|log x10lgx| 2；|ab| a|b|；| |2(ab0) ；ba ab|x 1|x2|1.其中恒成立的是 .(
11、把你认为正确的序号都填上 )答案 解析 |log x10lg x| lg x| |lg x|2，正确；1lg x 1|lg x|当 ab0 时，|ab| a|b| ，不正确；ab0， 与 同号，ba ab| | | |2，正确；ba ab ba ab由|x 1|x2|的几何意义知，|x1| |x2| 1 恒成立， 正确.1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a| |b|的最大值比较困难，可采用求|a b|， |ab|的最值，及 ab 0 时，| a|b| |ab|，当 ab0 时，| a|b| |ab|的定理，达到目的.2.求 y|xm| |xn|和 y|xm | xn|的最值，
12、其主要方法有(1)借助绝对值的定义，即零点分段.(2)利用绝对值的几何意义.(3)利用绝对值不等式的性质定理.一、选择题1.已知 h0，a，bR，命题甲： |ab|2h；命题乙：|a1|h 且|b1| h，则甲是乙的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 “乙甲”|a1|h，|b1|h，|a1|b1|2h，又|a 1|b1|(a1)(b1)|ab| ，|ab|2h.“甲乙”当 ab5，h1 时，甲乙.2.设|a| 1，|b| 1，则| ab|ab| 与 2 的大小关系是( )A.|ab |ab|2 B.|a b|ab| 2C.|ab| a
13、b| 2 D.不能比较大小答案 B解析 当(ab)与( ab)同号时，|a b| |ab| |(ab) (ab)|2| a|2.当(ab) 与(ab)异号时，|a b| |ab| |(ab) (ab)|2| b|2.3.对任意 x，yR，|x 1| x|y1| |y1| 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 |x1| | x| y1| |y 1|(x1)x|(y1) (y 1)| 3.4.设变量 x，y 满足|x1| ya|1，若 2xy 的最大值是 5，则实数 a 的值是( )A.2B.1C.0D.1答案 B解析 由|x1| ya|1，得 |x1|1，0x2，且| xy 1a
14、| 1，axy 2a，2xy 4a，又 2xy 的最大值为 5，4a5，a1.5.已知不等式|xm|1 成立的一个充分不必要条件是 x ，则实数 m 的取值范围为( )13 12A. B. 43， 12 12， 43C. D.( ， 12) 43， )答案 B6.对于实数 x，y ，若|x1| 1，| y2|1，则| x2y1|的最大值为 ( )A.5B.4C.8D.7答案 A解析 由题意，得|x 2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y 2)2| 12| y2|25，即|x 2y1| 的最大值为 5.二、填空题7.若存在实数 x 使|xa| |x 1|3 成立，则实数 a 的取值范围是 .答
15、案 2,4解析 |xa| | x1|a1| ，则只需要|a1| 3，解得2a4.8.已知函数 f(x)|x 3| x a|.若存在实数 x，使得不等式 f(x)a 成立，则实数 a 的取值范围为 .答案 ( ， 32解析 由不等式性质可知，f(x)|x 3|xa|(x3)(x a)|a3|，所以若存在实数 x，使得不等式 f(x)a 成立，则|a 3| a，解得 a ，32所以实数 a 的取值范围是 .( ，329.以下三个命题：若|a b|1，则 |a| b|1；若 a，bR，则|ab| 2|a| |ab|；|x |2，|y|3，则| | .xy 23其中正确命题的序号为 .答案 解析 因为
16、|a| |b|ab| 1，所以| a|b|1，故正确；因为|a b| 2|a| ab|2a| |(ab)2a|ab|. 故正确； 显然正确.10.若不等式|2a 1| |x |对一切非零实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .1x答案 12， 32解析 |x | x| 2，1x 1|x|所以由已知得|2a1| 2，即 2a1 2 或 2a1 2，解得 a .12 3211.已知函数 f(x)|x 3|2，g( x)| x1|4，若函数 f(x)g(x)m 1 的解集为 R，则m 的取值范围是 .答案 (，3解析 f(x) g(x)| x3| x1|6，因为 xR，由绝对值三角不等式，得f
17、(x)g(x) |x3| x1| 6|3 x| |x1|6|(3x )(x 1)|6462，于是有 m12，得 m3，即 m 的取值范围是( ， 3.三、解答题12.求证：(1)|ab| ab|2|a| ；(2)|ab| |a b|2|b|.证明 (1)| ab|ab| |(ab) (ab)|2 a| 2|a|，|ab|ab|2|a|.(2)|a b|ab| |(ab) (ab)|2 b| 2|b|，|ab|ab|2|b|.13.设 aR，函数 f(x)ax 2xa(1x1).(1)若|a|1，证明：| f(x)| ；54(2)求使函数 f(x)有最大值 的实数 a 的值.178(1)证明 | x|1，| a|1，|f(x)| |a(x21)x |a x21| |x|x21|x|1|x| 2|x| 2 .(|x| 12) 54 54(2)解 当 a0 时，f (x)x；当1x 1 时，f (x)的最大值为 f(1)1 不可能满足题设条件，a0，又 f(1)a1a1，f( 1)a1a1，故 f(1)均不是最大值 .f(x)的最大值为 ，应在其对称轴上，即顶点位置取得，a0，178Error!得Error!即Error!a2.
