1、圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程【要点梳理】要点一：圆的标准方程 22()()xaybr，其中 ab、为圆心， 为半径.r要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时 ，圆的方程就是 22xyr.有关图形特征与方程的转0、化：如：圆心在 x 轴上：b=0 ；圆与 y 轴相切时： ；圆与 x 轴相切时： ；与坐标轴相切
2、时：|ar|b；过原点：|abr22abr(2)圆的标准方程 2()()xy圆心为 ，半径为 ，它显现了圆的几何特点.b、r(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，则有22()()xaybrCab、r(1)若点 在圆上0My、 2200|CMxy(2)若点 在圆外x|rr(3)若点 在圆内0y、 2200|xayb要点三：圆的一般方程当 时，方程 2xyDEF叫做圆的一般方程. 为圆心，24DEF ,2DE为
3、半径.21要点诠释：由方程 得20xyDEF2224EDFxy(1)当 时，方程只有实数解 .它表示一个点 (,)2E.24,(2)当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形0(3)当 时，可以看出方程表示以 为圆心， 为半径的圆.24DEF,2DE214DF要点四：几种特殊位置的圆的方程方程形式条件标准方程 一般方程圆心在原点 220xyr220xyr过原点 ()()abaDxEy圆心在 x 轴上 22xyr20F圆心在 y 轴上 ()0xy圆心在 x 轴上且过原点 22xaya2Dx圆心在 y 轴上且过原点 ()b0yE与 x 轴相切 22()()xay2xF4D与 y 轴相切 22()
4、()xyba20xyEF要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“ 待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于 或 的方程组.abr、DEF、 、(3)解方程组，求出 或 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.、 、要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量 之间的方程,xy1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的
5、动点运动时，可采用代入法（或称相关点法） 2求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“ 轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用 表示轨迹（曲线）上任一点 的坐标；(,)xyM（2）列出关于 的方程；,xy（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点） ；（5）作答【典型例题】类型一：圆的标准方程例 1求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是 3；(2)已知圆 经过 两点，圆心在 轴上；C(5,1),ABx(3)经过点 ，圆心在点 P8C【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来
6、求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径. 【答案】 （1） （2） （3）29xy2()10xy22835xy【解析】(1)(2)线段 的中垂线方程为 ，与 轴的交点 即为圆心 的坐标，所以半径为AB4xyx(2,)C，所以圆 的方程为 .|10CC2()10(3)解法一：圆的半径 ，圆心在点2|5835rP 8,3圆的方程是 2283xy解法二：圆心在点 ，故设圆的方程为,C22xyr又 点 在圆上， ，5,1P2251r5所求圆的方程是 .835xy【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心（a ，b）和半径 r，一般步
7、骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa) 2+(yb) 2=r2；（2）根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组；（3）解方程组，求出 a、b、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程举一反三：【变式 1】圆心是（4，1） ，且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A(x4) 2+(y+1)2=10 B(x+4) 2+(y1) 2=10C(x4) 2+(y+1)2=100 D (4)(1)0xy【答案】A例 2求下列各圆的标准方程：（1）圆心在直线 y=0 上，且圆过两点 A（1，4） ，B（3，2） ；（2）圆心在直线 2x+y=0 上，且圆与直线 x+y1=0
8、 切于点 M（2，1） 【思路点拨】 （1）求出圆心和半径，即可求圆 C 的方程；（2）设出圆心坐标，列方程组解之其中由圆心在直线 2x+y=0 上得出一个方程；再由圆心到直线x+y1=0 的距离即半径得出另一个方程【答案】 （1） ；（2）2()0xy2(1)()x【解析】 （1）圆心在直线 y=0 上，设圆心坐标为 C（a，0） ，则|AC |=|BC|，即 ，22()6(3)4即 ，1aa解得 a=1，即圆心为（1，0） ，半径 ，2|()165rAC则圆的标准方程为 ，0xy（2）设圆心坐标为（a，b） ，则 220|1|()(1)ab解得 a=1，b=2， ，r要求圆的方程为 22(
9、1)()xy举一反三：【变式 1】 （1）过点 且圆心在直线 上；(,3)(,5)AB230xy（2）与 轴相切，圆心在直线 上，且被直线 截得的弦长为 x0xy27【答案】 （1） （2） 或2()()122()()9(1)(3)9xy【解析】（1）设圆的方程为： ，则 22()xaybr，解得：22350abr 21,10r所求圆的方程为： 22(1)()0xy（2）设圆的方程为： ，则 abr解得： 或2223014rbar2139r2a所求圆的方程为： 或 ()()xy2(1)(3)9xy类型二：圆的一般方程例 3已知直线 x2+y22(t+3)x+2(14t 2)y+16t4+9=0
10、 表示一个圆（1）求 t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件 D2+E24F0，解题时，应充分利用这一隐含条件【答案】 （1） （2 ） （t+3 ，4t 21） （3） 17t 2167t4243679xy【解析】 （1）已知方程表示一个圆 D2+E24F0，即 4(t+3)2+4(14t 2)24(16t 4+9)0，整理得7t26t10 t（2）圆的方程化为x(t+3) 2+y+(14t 2)2=1+6t7t 2它的圆心坐标为（t+3 ，4t 21） ，半径为 167t（3）由 2
11、221 3164747rDEFttr 的最大值为 ，此时圆的标准方程为72241369xy【总结升华】 在本例中，当 t 在 中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系1,7列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由 得 y=4(x3) 21，再由2341xty，知 ，因此它是一个圆心在抛物线 的圆系方程17t2047x 0()47x举一反三：【变式 1】 （1）求过 的圆的方程，及圆心坐标和半径；(2,)5,3(,1)ABC（2）求经过点 且与直线 相切于点（ 8，6）的圆的方程4260xy【答案】 （1） （4，1） （2）22()xy52130xy【解析】（1）法一：设
12、圆的方程为： ，则20xDEyF，解得：82034510DEF821DEF所以所求圆的方程为： ，即 ，所以圆心为（4，1） ，280xy224()5xy半径为 5法二：线段 的中点为为 ，AB75,2321ABk线段 的中垂线为 ，即3yx0xy同理得线段 中垂线为BC260联立 ，解得26031xy41xy所以所求圆的方程为（4，1） ，半径 22()(1)5r所以 22()5xy（2）法一：设圆的方程为： ，则20xyDEF，解得：0406238100DEFEF130F所以圆的方程为 213xy法二：过点 与直线 垂直的直线是 ，B63180xy线段 的中垂线为 ，A40xy由 得：圆心
13、坐标为 ，由两点间距离公式得半径 ，31804xy1,2215r所以圆的方程为 235xy【变式 2】判断方程 ax2+ay24(a1)x+4y=0（a0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长【答案】表示圆，圆心坐标 ，半径2(1),a2|ar【变式 3】方程 表示圆，则 a 的取值范围是220xyA 或 B C Da3a223a【答案】D【解析】方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 转化为 ，所以若方程表示222()14xya圆，则有 ， ， 3104a340a3例 4 （1）ABC 的三个顶点分别为 A（1，5） ，B（2，2） ，C （5，5） ，求其外接圆的方程；（2）
14、圆 C 过点 P（1，2）和 Q（2，3） ，且圆 C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆 C 的方程【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数 D、E、F即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件【答案】 （1）x 2+y24x2y20=0（2）(x+1) 2+(y1) 2=5 或(x+2) 2+(y+2)2=25【解析】 （1）解法一：设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx
15、+Ey+F=0，由题意有，解得 5608DEF40DEF故所求的圆的方程为 x2+y24x2y20=0解法二：由题意可求得 AC 的中垂线的方程为 x=2，BC 的中垂线方程为 x+y3=0圆心是两中垂线的交点（2，1） ，半径 ，22(1)(5)r所求的圆的方程为(x2) 2+(y1) 2=25，即 x2+y24x2y20=0（2）解法一：如右图所示，由于圆 C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF| ，又|AC|=|GC|，RtABCRtGFC，|BC|=|FC|设 C（a ，b） ，则 |a|=|b| 又圆 C 过点 P（1，2）和 Q（
16、2，3） ，圆心在 PQ 的垂直平分线上，即 ，即 y=3x+4，b=3a+4 53yx由知 a=b，代入 得 或 1ab2 或 522(1)()ra故所求的圆的方程为(x+1) 2+(y1) 2=5 或(x+2) 2+(y+2)2=25即 x2+y2+2x2y3=0 或 x2+y2+4x+4y17=0解法二：设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0圆 C 过点 P（1，2）和 Q（2，3） ， ，解得 2049DEF 817ED圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+(3D8)y+117D=0 ，将 y=0 代入得 x2+Dx+117D=0圆 C 在 x 轴上截得的弦长为 将 x=0
17、代入得 y2+(3D8)21|4()xy+117D=0，圆 C 在 y 轴上截得的弦长为 212|(38)(17)yD由题意有 ，即 D24(117D)=(3D8) 24(117D) ，24(7)()4D解得 D=4 或 D=2故所求的圆的方程为 x2+y2+4x+4y7=0 或 x2+y2+2x2y3=0【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平
18、面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件举一反三：【变式 1】如图，等边ABC 的边长为 2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长【答案】 ， ，30,22234xy类型三：点与圆的位置关系例 5判断点 M（6，9） ，N（3，3） ，Q （5，3）与圆( x5) 2+(y6) 2=1
19、0 的位置关系【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】圆的方程为(x 5) 2+(y6) 2=10，分别将 M（6，9） ，N（3，3） ，Q （5，3）代入得(65) 2+(96) 2=10，M 在圆上；(35) 2+(36) 2=1310，N 在圆外；(55) 2+(36) 2=910，Q 在圆内【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为 O，半径为 r，则点 P 在圆内|PQ|r ；点 P 在圆上 |PQ|=r；点 P 在圆外 |PO|r从数的角度来看，设圆的标准方程为( xa)2+(yb) 2=r2，圆心为 A（a， b） ，半径为 r，则点 M（x 0， y0）
20、在圆上 (x0a) 2+(y0b) 2=r2；点M（x 0， y0）在圆外 (x0a) 2+(y0b) 2r 2；点 M（x 0， y0）在圆内 (x0a) 2+(y0b) 2r 2举一反三：【变式 1】点（a+1，a1）在圆 的内部，则 a 的取值范围是 240xya【思路点拨】直接把点（a+1，a1）代入圆的方程左边小于 0，解不等式可得 a 的范围【答案】 （，1）【解析】点（a+1 ，a1）在圆 的内部（不包括边界） ，2xy ，22()()(1)40整理得：a1故答案为：（，1） 类型四：轨迹问题例 6已知曲线 C 上任意一点到原点的距离与到 A（3，6）的距离之比均为 12（1）求
21、曲线 C 的方程（2）设点 P（1，2） ，过点 P 作两条相异直线分别与曲线 C 相交于 B，C 两点，且直线 PB 和直线PC 的倾斜角互补，求证：直线 BC 的斜率为定值【思路点拨】 （1）利用直接法，建立方程，即可求曲线 C 的方程（2）直线与圆的方程联立，求出 A，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线 BC 的斜率为定值【答案】 （1） ；（2）直线 BC 的斜率为定值 2()()0xy12【解析】 （1）曲线 C 上的任意一点为 Q（x，y） ，由题意得2 2221()()0(3)(6)xy（2）证明：由题意知，直线 PB 和直线 PC 的斜率存在，且互为相反数，P（1，2） ，
22、故可设 PA：y+2=k（x1） ，由 22222(1)()(4)8300kxkxk因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解，故可得 ，21Ak同理， ，2831Bk所以 (1)()2()12ABABAAByxkkxx故直线 BC 的斜率为定值 2【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为 M（x，y ） ；（2）几何点集：写出满足题设的点 M 的集合 P=M|P (M)；（3）翻译列式：将几何条件 P（M）用坐标 x、y 表示，写出方程 f (x,y)=0；（4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）
23、查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点例 7已知定点 A（4，0） ， P 点是圆 x2+y2=4 上一动点，Q 点是 AP 的中点，求 Q 点的轨迹方程【答案】(x2) 2+y2=1【解析】 设 Q 点坐标为（x，y） ，P 点坐标为（x，y） ，则 且 ，即42x0yx=2x4，y =2y又 P 点在圆 x2+y2=4 上， x 2+y 2=4，将 x=2x4 且 y=2y 代入得(2x4) 2+(2y)2=4，即(x2)2+y2=1故所求的轨迹方程为(x2) 2+y2=1【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法代入法，对于
24、“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x，y） ，在已知曲线上运动的点的坐标为（x，y） ，用 x，y 表示 x，y，即 x=f (x,y)，y=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解举一反三：【变式 1】已知定点 A（2， 0） ，点 Q 是圆 x2+y2=1 上的动点， AOQ 的平分线交 AQ 于 M，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程【答案】 2439xy【变式 2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于 1 的常数的动点的轨迹是一个圆【解析】以两定点所在的直线为 轴，以两定点所在线段的中垂线为 轴建立直角坐标系，设两定xy点分别为 ，设动点 ，则1,0(,)AB(,)Py，|Pc，2(1)xy整理得： 2222(1)()10cxcycx所以 ，即220y224cy所以动点的轨迹是一个圆
