1、第 2 课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法 .2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广对称性知识点一 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁” ，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用 f(x)的奇偶性写出 f(x)或 f(x)，从而解出 f(x)特别提醒：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0.知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函
2、数 yx 2 与奇函数 y 在( ，0)和(0，) 上的单调性，你有何猜想？1x答案 偶函数 yx 2 在(，0)和(0 ，)上的单调性相反；奇函数 y 在(，0)和1x(0，) 上的单调性相同梳理 一般地，若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性知识点三 奇偶性的推广一般地，对于定义域内任意 x，(1)若 f(ax) 2bf( ax)，则 f(x)的图象关于点( a，b)对称当 ab0 时，即为奇函数的定义(2)若 f(ax) f(ax)，则
3、f(x)的图象关于直线 xa 对称，当 a0 时，即为偶函数的定义1奇函数 f(x) ，当 x0 时的解析式与 x0 时，f(x) x1，求当 x0，f(x )(x)1x 1，又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(x )f(x )x1，当 x0 时，f (x)2xx 2，求 yf (x)的解析式考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 设 x0，因为 f(x)是奇函数，所以当 x0 对任fx1 fx2x1 x2意两个不相等的正实数 x1，x 2 都成立，则下列不等式中，正确的是( )Af(5)f(3) Bf(5)f(5) Df (3)0，得 f(x1)f(x 2)5，可得
4、 f(3)f(5)命题角度 2 由 fx的取值情况推导 x 的取值情况例 4 已知偶函数 f(x)在0，) 上单调递减，f (2)0.若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 (1,3)解析 f(x) 为偶函数，f(x 1)f(| x1|)，又 f(2)0，f( x1)0，即 f(|x 1|)f(2)，|x 1|,20，)，且 f(x)在0，) 上单调递减，|x 1|0.考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题解 f(x) 在0，)上单调递减且为奇函数，f(x)在(，)上单调递减，f(x 1)f(2x
5、3)0 f( x1)f(2x3) f (2x3) x10 时，f(x)x1，则当 xbC|a|b 0考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 C4已知对于函数 f(x)x 2ax 定义域内任意 x，有 f(1x)f(1x) ，则实数 a_.考点 函数图象的对称性题点 轴对称问题答案 25(2017沈阳检测)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y f(x)的图象关于直线 x 对称，则12f(1)f(2)f(3) f(4)f(5)_.考点 函数图象的对称性题点 轴对称问题答案 0解析 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.又 f(x)关于直线 x 对称，
6、f f .12 (12 x) (12 x)在式中，当 x 时，f(0) f (1)0.12在式中，以 x 代替 x，得12f f ，(12 (12 x) (12 (12 x)即 f(x )f(1x )f(2)f(1 1)f(1)f(1)0，f(3)f(1 2)f(2)f(2)0，同理，f(4)f(5)0.f(1)f(2)f(3) f(4)f(5)0.1函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称2(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f (x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论3具有奇偶性的函数的单调性的特点(1)奇函数在a，b和 b，a上具有相同的单调性(2)偶函数在a，b和 b，a上具有相反的单调性
