1、1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念 .2.理解函数相等的概念,了解构成函数的三要素 .3.能正确使用函数、区间符号知识点一 函数的有关概念函数的定义设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数函数的记法 yf(x),xA定义域 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域值域 函数值的集合 叫做函数的值域fx|x A特别提醒:对于函数的定义,需注意以下几点:集合 A,B 都是非空数集;集合 A 中元
2、素的无剩余性;集合 B 中元素的可剩余性,即集合 B 不一定是函数的值域,函数的值域一定是 B 的子集知识点二 函数相等一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同知识点三 区 间区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表:定义 名称 符号 数轴表示x|axb 闭区间 a, bx|aa (a,)x|xa (,ax|xx2A,可能有 f(x1)f(x 2)()4区间不可能是空集()类型一 函数关系的判断命题角度 1 给出三要素判断是否为函数例 1 判断下列对应
3、是否为集合 A 到集合 B 的函数(1)AR ,B x |x0,f:xy| x|;(2)AZ,BZ,f:x y x 2;(3)AZ,BZ,f:x y ;x(4)Ax|1x1 ,B0,f:x y0.考点 函数的概念题点 判断两个变量是否为函数关系解 (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素,故不是集合 A 到集合 B 的函数(2)对于集合 A 中的任意一个整数 x,按照对应关系 f:x yx 2,在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2与其对应,故是集合 A 到集合 B 的函数(3)集 合 A 中 的 负 整 数 没 有 平 方 根 , 在 集 合 B 中 没 有 对 应 的 元 素 ,
4、 故 不 是 集 合 A 到 集 合 B 的 函数 (4)对于集合 A 中任意一个实数 x,按照对应关系 f:xy0,在集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 和它对应,故是集合 A 到集合 B 的函数反思与感悟 判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:(1)A,B 必须是非空数集;(2)A 中任何一个元素在 B 中必须有元素与其对应;(3)A 中任何一个元素在 B 中的对应元素必须唯一跟踪训练 1 下列对应是从集合 A 到集合 B 的函数的是( )AAR,B xR|x0, f:x1|x|BAN,BN *,f:x | x1|CAxR|x 0,BR,f:xx 2DAR,B xR|x0,
5、f:x x考点 函数的概念题点 判断两个变量是否为函数关系答案 C解析 A 中,x0 时,集合 B 中没有元素与之对应;B 中,当 x1 时,绝对值|x1|0,集合 B 中没有元素与之对应;C 正确;D 中,当 x 为负数时,B 中没有元素与之对应命题角度 2 给出图形判断是否为函数图象例 2 下列图形中不是函数图象的是( )考点 函数的概念题点 函数概念的理解答案 A解析 A 中至少存在一处如 x0,一个横坐标对应两个纵坐标,故 A 不是函数图象,其余B,C,D 均符合函数定义反思与感悟 判断一个图象是否为函数图象的方法,作任何一条垂直于 x 轴的直线,不与已知图象有两个或两个以上的交点的,
6、就是函数图象跟踪训练 2 下列图形中,不能确定 y 是 x 的函数的是( )考点 函数的概念题点 函数概念的理解答案 D解析 任作一条垂直于 x 轴的直线 xa,移动直线,根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点,结合选项可知 D 不满足要求,因此不表示函数关系类型二 已知函数的解析式,求其定义域例 3 求下列函数的定义域(1)y3 x;12(2)y2 ;x 1 7x(3)y ;x 10x 2(4)y .2x 312 x 1x考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域解 (1)函数 y3 x 的定义域为 R.12(2)由Error!得 0x ,17所以函数 y2 的定义域为 .x 1
7、 7x 0,17(3)由于 0 的零次幂无意义,故 x10,即 x1.又 x20,即 x2,所以 x2 且 x1.所以函数 y 的定义域为Error!.x 10x 2(4)要使函数有意义,需Error!解得 x2,且 x0,32所以函数 y 的定义域为Error!.2x 312 x 1x反思与感悟 求函数定义域的常用依据(1)若 f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;(2)若 f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;(3)若 f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合;(4)若 f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;(5)若 f(x)是实际问题
8、的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义跟踪训练 3 函数 f(x) 的定义域为_xx 1考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域答案 x| x0 且 x1解析 要使 有意义,需满足Error!xx 1解得 x0 且 x1,故函数 f(x)的定义域为x |x 0 且 x1 类型三 函数相等例 4 下列函数中哪个与函数 yx 相等?(1)y( )2;(2)y ;(3)y ;(4) y .x 3x3 x2x2x考点 相等函数题点 判断是否为相等函数解 (1)y( )2x (x0),定义域不同,所以不相等x(2)y x (xR) ,对应关系相同,定义域也相同,所以相等3x3(3)y |x|,当
9、 x0 时,它的对应关系与函数 yx 不相同,所以不相等x2(4)y 的定义域为 x|x0,与函数 yx 的定义域不相同,所以不相等x2x反思与感悟 在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才相等值域相等,只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练 4 下列各组中的两个函数是否为相等的函数?(1)y1 ,y 2x5;x 3x 5x 3(2)y1 ,y 2 .x 1 x 1 x 1x 1考点 相等函数题点 判断是否为相等函数解 (1)两函数定义域不同,所以不相等(2)y1 的定义域为 x|x1,而 y2 的定义域为x|x1 或 x1 ,x 1 x 1 x 1x 1定义域不同,所以两函数不相
10、等类型四 对于 f(x),f(a)的理解例 5 已知 f(x) (xR 且 x1) ,g(x)x 22 (xR) 11 x(1)求 f(2),g(2) 的值;(2)求 f(g(2)的值;(3)求 f(a1),g(a1);(4)若 g(a)4,求实数 a 的值考点 对 f(a)与 f(x)的理解题点 已知函数值求参数解 (1)因为 f(x) ,所以 f (2) .11 x 11 2 13又因为 g(x)x 22,所以 g(2)2 226.(2)f (g(2)f(6) .11 6 17(3)f(a 1) .11 a 1 1a 2g(a1)(a1) 22a 22a3.(4)g(a)a 224,所以
11、a22,a .2反思与感悟 f(x )中的 x 可以是一个具体的数,也可以是一个字母或者是一个表达式,不管是什么,要求对应的函数值,只需把相应的 x 都换成对应的数或式子即可跟踪训练 5 已知 f(x) (x1)1 x1 x(1)求 f(0)及 f 的值;(f (12)(2)求 f(1x) 及 f(f(x);(3)若 f(x)2,求 x 的值考点 对 f(a)与 f(x)的理解题点 已知函数值求参数解 (1)f(0) 1.1 01 0f ,(12)1 121 12 13f f .(f (12) (13)1 131 13 12(2)f(1 x) (x2)1 1 x1 1 x x2 xf(f(x)
12、 f x(x1)(1 x1 x)1 1 x1 x1 1 x1 x(3)由 f(x) 2,得 1x2(1x),1 x1 x3x1,解得 x .131对于函数 yf ( x),以下说法正确的有( )y 是 x 的函数;对于不同的 x,y 的值也不同;f(a)表示当 xa 时函数 f(x)的值,是一个常量;f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A1 个 B2 个C3 个 D4 个考点 函数的概念题点 函数概念的理解答案 B2区间(0,1)等于( )A0,1 B(0,1)Cx|0 x1 D x|0x1考点 区间的概念题点 区间概念的理解与应用答案 C3对于函数 f:AB,若 aA,则下列说法错误的是
13、( )Af (a) BBf (a)有且只有一个C若 f (a)f (b) ,则 abD若 ab,则 f (a)f ( b)考点 函数的概念题点 函数概念的理解答案 C4设 f (x) ,则 _.x2 1x2 1 f 2f (12)考点 对 f(a)与 f(x)的理解题点 求函数值答案 1解析 f(2) ,f ,22 122 1 35 (12)(12)2 1(12)2 1 35 1.f2f (12)5下列各组函数是同一函数的是_(填序号)f(x) 与 g(x)x ;f(x)x 与 g(x) ; f(x )x 0 与 g(x) ;f(x) 2x3 2x x21x0x 22x1 与 g(t)t 22
14、t1.考点 相等函数题点 判断是否为相等函数答案 解析 f(x) x ,g(x)x ,对应关系不同,故 f(x)与 g(x)不是同一函数;f(x) 2x 2xx,g(x) | x|,对应关系不同,故 f(x)与 g(x)不是同一函数;f(x) x 01(x0),g( x)x2 1( x0) ,对应关系与定义域均相同,故是同一函数;f(x)x 22x 1 与 g(t)1x0t 22t1,对应关系和定义域均相同,故是同一函数1函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系由于函数的定义域和对应关系一旦确定,值域随之确定,所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可2定义域是一个集合,所以需要写成集合的形式,在已知函数解析式又对 x 没有其他限制时,定义域就是使函数式有意义的 x 的集合3在 yf(x) 中,x 是自变量, f 代表对应关系,不要因为函数的定义而认为自变量只能用 x表示,其实用什么字母表示自变量都可以,关于对应关系 f,它是函数的本质特征,如 f(x)3x5,f 表示 “自变量的 3 倍加上 5”,我们可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图),当投入 x 的一个值后,经过“数值加工器 f”的“加工”就得到一个对应值